- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
1. Способ треугольников (триангуляции).
Этот способ применяют для построения разверток гранных и всех развертывающихся линейчатых поверхностей. Способ триангуляции для этих поверхностей универсален.
Сущность способа заключается в том, что кривую линейчатую поверхность заменяют вписанной в нее многогранной с треугольными гранями, нахождению натурального вида их и последовательному построению на чертеже.
Пример: Построить развертку эллиптического конуса, заданного круговым основанием с вершиной S (рис. 89а,б).
Впишем в заданный конус двенадцатигранную пирамиду, имеющую в основании правильный 12-угольник. Далее заменим дуги основания хордами и определим ошибку этой замены. Она составит: .
Поверхность имеет плоскость симметрии, которая проходит через ось конуса параллельно фронтальной плоскости проекций. Поэтому можно построить развертку для половины поверхности. Способом прямоугольного треугольника определяем натуральные величины сторон треугольников S1, S2 …
Так как превышение точки S над точками 1, 2, 3 и т.д. постоянная величина ZS, то прямоугольный треугольник строим на фронтальной проекции. Один катет ∆Z=ZS, а второй - длина горизонтальной проекции отрезков (S111, S121 … и т.д.).
Гипотенузы прямоугольных треугольников дают натуральные величины отрезков S1, S2 и т.д. Натуральные величины отрезков А1, 12, 23 и т.д. можно замерить на горизонтальной проекции, т.к. они параллельны этой плоскости, т.е. А1 = А111; 12=1121 и т.д. Затем каждый треугольник графически строят по трем сторонам, один примыкает к другому. На произвольной линии откладываем отрезок А0S0= /AS / = A2S2 и на нем достраиваем треугольник со сторонами S1 и А1 (из точки S0 проводят дугу радиуса S1, а из точки А0 - дугу радиуса А1, в пересечении этих дуг получена точка 10).
Все последующие треугольники строятся аналогично, после чего через точки развернутого по способу хорд основания конуса проводят по лекалу плавную линию. Надо обратить внимание на одну из опорных точек развертки окружности основания конуса точку 40. Она является точкой перегиба и получается из той точки основания, через которую проходит образующая поверхности, являющаяся линией границы видимого контура по отношению к плоскости основания конуса (рис. 89б).
Фактически на рис. 89 построена развертка пирамидальной поверхности.
Пример 2. Построить развертку поверхности цилиндроида (рис. 90а,б).
Заменяется данная поверхность вписанной в нее многогранной поверхностью, так же состоящей из треугольников: строятся натуральные величины этих треугольников так же, как это было сделано в примере 1, и, проведя через их вершины по лекалу плавные кривые, получаем приближенную развертку поверхности цилиндроида (рис. 90б).
Для развертывания боковой поверхности прямого кругового конуса (рис. 91) используется известное из стереометрии построение с подсчетом угла сектора, представляющего собою искомую развертку φ0 = R/L x 360º , где R - это радиус основания конуса, L - длина его образующей.
Способ нормального сечения (рис. 92) используется для построения развертки призматических и цилиндрических поверхностей.
Построение разверток указанных поверхностей приводит, в общем случае, к многократному построению натурального вида трапеций и параллелограммов, из которых состоит данная призматическая поверхность или призматическая поверхность, описанная или вписанная в данную цилиндрическую поверхность и заменяющая её.
Поэтому для построения развертки необходимо предварительно пересечь поверхность плоскостью, перпендикулярной к ребрам. Стороны этого сечения и будут высотами трапеций или параллелограммов, из которых состоит поверхность.
Пример: Построить развертку поверхности эллиптического цилиндра (рис. 93а).
В заданную поверхность вписана 12-угольная призма, для чего основание цилиндра разделено на 12 равных частей и проведены ребра параллельно образующим цилиндра. Проводим плоскость нормального сечения а (а2) перпендикулярно фронтальным проекциям образующих и строим проекции (А1, В1, С1, D1 … и А2, В2, С2) и натуральную величину нормального сечения А0, В0, С0, D0 … (способом вращения вокруг проецирующей оси i).
На произвольной горизонтальной линии откладываем отрезки А0В0, В0С0, С0D0, D0Е0 … и т.д. Через полученные точки А0,, В0, С0 и т.д. проводим перпендикуляры, на которых откладываем длины ребер (образующих, взятые с фронтальной проекции, так как они являются фронталями (рис. 93б). Точки I0, II0, III0 и т.д. - развертка окружности верхнего основания; 10, 20, 30 и т.д. - развертка окружности нижнего основания цилиндра.
Полученная фигура является разверткой боковой поверхности цилиндра. Построение разверток призматических поверхностей производится аналогично.