- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
2.1. Задание прямой на эпюре.
Прямая линия определяется двумя точками. Поэтому прямая считается заданной, если на эпюре даны проекции двух ее точек..
Проекция прямой в общем случае прямая. Лучи, проецирующие каждую точку прямой, в совокупности составляют проецирующую плоскость, которая пересечет плоскость проекций по прямой линии. Это и будет проекция прямой. Две проекции прямой определяют ее положение в пространстве, так как можно замерить координаты двух точек этой прямой.
Величина проекции отрезка прямой зависит от наклона прямой к плоскости проекций.
А1В1 = АВ х cosα
Отсюда, проекция отрезка прямой не может быть больше самого отрезка.
Если α = 0; АВ || пл. П1; А1В1 = АВ
Если α = 90°; АВ пл. П1; отрезок проецируется в точку.
2.2. Натуральная величина отрезка прямой
По двум проекциям отрезка прямой можно определить его натуральную величину. Для этого достаточно построить прямоугольный треугольник, равный пространственному треугольнику АВ0В (рис. 6), по двум катетам, величины которых имеются на эпюре (рис. 7).
Натуральная величина отрезка прямой определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого одним катетом служит любая из проекций отрезка, а второй катет равен разности расстояний концов отрезка прямой от той плоскости, на которой взят первый катет. Углом наклона прямой к плоскости проекций считают линейный угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Для определения угла наклона прямой также надо построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой является натуральная величина отрезка прямой, а одним из катетов должна быть проекция отрезка на ту плоскость, к которой определяют углы:
α =АВ ^ П1 ; β =АВ ^ П2.
2.3. Точка на прямой линии
Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой. Проекции точки делят проекции отрезка в таком же отношении, в каком сама точка делит отрезок прямой (рис. 6,7).
2.4. Следы прямой линии
Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. При трех плоскостях проекций прямая может иметь три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный.
Порядок построения следа вытекает из следующих фактов:
След прямой – это точка, принадлежащая прямой линии. Значит, проекции следа должны лежать на одноименных проекциях прямой.
След прямой – это точка, в плоскости проекций. Значит, одна из проекций следа должна лежать на оси. Поэтому, чтобы построить горизонтальный след М (рис. 6, 7) надо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью, и отметить здесь фронтальную проекцию следа М2. Горизонтальная проекция следа – М1 и совпадающий с ней след М будут располагаться на горизонтальной проекции прямой и на одной линии связи с фронтальной проекцией. Подобным образом строится фронтальный след (N).
2.5. Частные положения прямой
Прямые уровня – это прямые, расположенные параллельно плоскостям проекций (рис. 8, 9).
Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные плоскостям проекций (рис. 10, 11). Каждая из этих прямых имеет отличительные признаки на эпюре.
Например, у прямой, параллельной горизонтальной плоскости проекций, фронтальная проекция параллельна оси проекций. Это происходит потому, что все точки прямой одинаково удалены от плоскости П1. Если прямую ограничить отрезком, например МN, то на плоскость П1 этот отрезок будет проецироваться в натуральную величину (рис. 8).
К прямым уровня относятся:
а) горизонталь h - прямая, параллельная плоскости П1 (рис. 8, 9);
б) фронталь f- прямая, параллельная плоскости П2 (рис. 8, 9);
в) профильная прямая (АВ) - прямая, параллельная плоскости П3 (рис. 8, 9);
К проецирующим прямым относятся:
а) горизонтально - проецирующая прямая (CD) - прямая, перпендикулярная плоскости П1 (рис. 10, 11);
б) фронтально - проецирующая прямая (EF) - прямая, перпендикулярная плоскости П2 (рис. 10, 11);
в) профильно - проецирующая прямая (АВ) - прямая, перпендикулярная плоскости П3 (рис. 10, 11).