- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
2.6. Взаимное расположение двух прямых
Две прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться. Каждые из этих положений определенным образом отражаются на эпюре (рис. 12).
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны на основании свойств параллельных проекций АВ||СD; А2В2 || С2D2; А1В1 || С1D1 (рис.12).
Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций располагаются на одном перпендикуляре к оси, т.е. на одной линии связи
(ЕF∩QL) = К
(E1F1∩Q1L1) = К1; (E2F2∩Q2L2) = К2
Ускрещивающихся прямых проекции могут пересекаться, но точки пересечения не лежат на одной линии связиМN и РR - скрещивающиеся прямые (рис.12). МN ● РR
Рис.12
По эпюру можно определить видимость точек в случае совпадения их одноименных проекций. Считается, что фронтальная проекция представляет вид спереди, а горизонтальная – вид сверху, и поэтому видимость у каждой проекции своя.
На горизонтальной проекции будет видимой та из конкурирующих точек 3 и 4, которая находится выше - точка 3; на фронтальной – та, которая дальше от фронтальной плоскости, ближе к наблюдателю - точка 2. Невидимые точки на проекциях показывают в скобках (рис.12).
2.7. Угол между пересекающимися прямыми
Угол между пересекающимися прямыми может быть любой – острый, тупой или прямой (рис. 13). Для того, чтобы угол спроецировался на плоскость проекций в натуральную величину, нужно, чтобы обе стороны угла были параллельны этой плоскости проекций (рис. 14).
Проецирование прямого угла в истинную величину определяется теоремой «Проецирование прямого угла».
Теорема. Для того, чтобы прямой угол спроецировался на плоскость проекций в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна этой плоскости, а вторая не перпендикулярна ей. (рис. 15)
Дано:
АВС=90°; АВ//П1; ВС неП1; Доказать: А1В1С1=90°
Доказательство. АВ пл. (ВВ1СС1),т.к. АВ ВС – по условию теоремы, АВ ВВ1 по условию ортогонального проецирования. АВ || А1В1, а если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая также перпендикулярна этой плоскости, а, значит А1В1 ВВ1СС1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, расположенной в этой плоскости, следовательно, А1В1 В1С1, а, значит,
А1В1С1 = 90°, что и требовалось доказать.
Вопросы для самопроверки.
Какую прямую называют прямой общего положения?
Перечислите прямые частного положения, дайте определение каждой из них и укажите особенности их проекций.
Что называют следом прямой?
Как построить горизонтальный и фронтальный следы прямой?
Как задаются на комплексном чертеже параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые?
Как найти натуральную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника? Как определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций П1 и П2?
В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого?