- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
Интервал и уклон прямой.
Длина проекции отрезка прямой называется его заложением и обозначается буквой L (рис. 99), разность расстояний концов отрезка до плоскости П0 называется превышением и обозначается буквой Н.
Наклон прямой может быть выражен не только величиной угла α, но также уклоном. Уклон - i - равен тангенсу угла наклона прямой к плоскости П0:
i =H / L = tg α. Если превышение равно единице (Н=1), то заложение, ему соответствующее, называется интервалом и обозначается буквой l. Уклон в этом случае равен i=1 / l. Откуда следует, что уклон и интервал прямой - величины, обратные друг другу.
Следствие: прямую линию в проекциях с числовыми отметками можно задать направлением ее проекции с проекциями одной точки и интервалом или уклоном (рис. 100).
Проградуировать прямую - это значит, определить точки, отметки которых выражены целыми числами. Существует несколько способов градуирования прямой.
1 способ (рис. 101) - проведем через произвольные, но равные интервалы, параллельно отрезку АВ серию параллельных прямых; обозначим их как горизонтали с целыми отметками.
На перпендикулярах, восстановленных к проекции прямой АВ из точек А5,8 и В3,5, отметим положение точек А1В1. Точки пересечения ее с построенными горизонталями дают положение искомых точек.
2 способ (рис. 101) - вариант решения задачи делением отрезка в заданном отношении по теореме Фалеса.
3 способ - аналитический - с помощью формул уклона и интервала прямой. Зная длину проекции прямой - заложение L (рис. 101) легко определить величину интервала из отношения: l = L/H, где Н - превышение точки В над точкой
А.
14.3. Взаимное положение двух прямых
Параллельные прямые (рис. 102а).
Две прямые параллельны между собой, если их проекции также параллельны, интервалы и уклоны равны и числовые отметки возрастают в одну и ту же сторону.
ℓAB=ℓCD; ίAB=ίCD
Пересекающиеся прямые (рис. 102б).
Точка пересечения пересекающихся прямых имеет одинаковые отметки на первой и второй прямой. Это легко проверить, если прямые проградуированы: прямые, соединяющие точки с одинаковыми отметками, параллельны между собой.
Скрещивающиеся прямые (рис. 102в).
Если признаки параллельности и пересечения прямых отсутствуют, прямые скрещиваются. Отметки прямых в точке пересечения их проекций разные для каждой прямой.
14.4. Проекции плоскости.
Плоскость в проекциях с числовыми отметками может быть задана всеми известными в начертательной геометрии способами. Но часто плоскость задается масштабом уклонов (рис. 103 а, б). Такое задание является наиболее наглядным и удобным при решении инженерных задач.
Проекции горизонталей плоскости и масштаб уклонов пересекаются под прямым углом. Интервал плоскости равен интервалу ее линии ската. Линия ската плоскости иначе называется линией падения. Она определяет угол наклона или угол падения плоскости (рис. 103а).
Масштабом уклонов называют проградуированную проекцию линии ската плоскости. Масштаб уклонов изображается на плане двумя параллельными прямыми: толстой и тонкой с нанесенными на ней отметками горизонталей плоскости (рис. 103б).
Направление и угол простирания. При проведении проектно – изыскательских и геологических работ возникает необходимость определять положение плоскости относительно сторон света. Это положение определяется такими понятиями как направление простирания и угол простирания. За направление простирания плоскости принимается направление вправо по горизонталям, если смотреть на масштаб уклона плоскости в сторону возрастания отметок (рис. 103 а, в).
Углом простирания плоскости называется угол между северным концом меридиана и направлением простирания против хода часовой стрелки (рис. 103в).