- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
14.5. Взаимное положение плоскостей
Если плоскости параллельны, параллельны их масштабы уклонов, интервалы и уклоны равны, отметки возрастают в одну сторону (рис. 104а).
Плоскости пересекающиеся
Если хотя бы один из признаков параллельности плоскостей отсутствует, плоскости пересекаются. Линии пересечения находятся на основе метода секущих плоскостей – посредников. Решение задачи сводится к нахождению точек пересечения двух пар горизонталей с одинаковыми отметками (рис. 104б).
14.6. Точка, прямая и плоскость.
Пересечение прямой и плоскости.
Для нахождения точки пересечения прямой АВ с плоскостью аi через данную прямую проводится вспомогательная плоскость β которую можно задать параллельными прямыми, т.е. горизонталями произвольного направления А8N8 и B6M6. Точки пересечения М6 и N8 этих горизонталей с однозначными горизонталями плоскости а определяют линию пересечения двух плоскостей (заданной а и вспомогательной β ). Точка К пересечения этой линии MN с данной прямой АВ - искомая (рис. 105а).
Инцидентность (принадлежность) точки, прямой и плоскости.
Задачи на взаимную принадлежность точки, прямой и плоскости решаются обычными методами. Прямая в плоскости строится по двум точкам, отметки которых определяются в местах пересечения проекции прямой с горизонталями плоскости. Точка в плоскости строится с помощью произвольной прямой, проходящей через точку. Для определения отметки точки прямая градуируется (рис. 105б).
14.7. Вопросы для самопроверки
В чем сущность метода проекций с числовыми отметками?
Что называют уклоном, заложением прямой?
Как проградуировать прямую?
Как определить натуральную величину отрезка прямой в проекциях с числовыми отметками?
Как определить взаимное положение прямых в пространстве в проекциях с числовыми отметками?
Что такое масштаб уклона плоскости? Как расположены горизонтали плоскости к масштабу уклона?
Дайте определение углов падения, простирания плоскости.
Как построить линию пересечения плоскостей в проекциях с числовыми отметками?
Как построить точку встречи прямой с плоскостью в проекциях с числовыми отметками?
Как построить прямую и точку, принадлежащую плоскости в проекциях с числовыми отметками?
15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
15.1. Поверхности в проекциях с числовыми отметками
В проекциях с числовыми отметками форма любых поверхностей достаточно полно характеризуется их горизонталями.
Пирамиды
Пирамиды можно задать проекциями ребер с указанием отметок вершин (рис. 106а).
Точки А, В, С имеют отметки ноль, следовательно, основание пирамиды лежит на нулевой плоскости П0, Произведя градуирование проекций ребер, например, AS можно провести проекции горизонталей 1 и 2 плоскости грани ASB, соединив прямыми линиями точки, имеющие одинаковые отметки.
Кривые поверхности
Конус.
Прямой круговой конус (рис. 106б) как поверхность равного наклона изображается серией концентрических окружностей, проведенных через равные интервалы.
Поверхность равного уклона.
Это линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с горизонтальной плоскостью постоянный угол (рис. 107а). Такая поверхность может быть образована, если прямой круговой конус с вертикальной осью и образующими заданного уклона перемещать вдоль некоторой направляющей кривой, оставляя ось конуса вертикальной.
Поверхность, огибающая конусы во всех положениях, и будет поверхностью равного уклона (рис. 107а).
Поверхности откосов насыпей и выемок на криволинейных участках дорог являются поверхностями равного уклона (рис. 107б).
На рис. 107в показано построение проекций горизонталей этой поверхности. Вершина конуса перемещается по градуированной криволинейной направляющей. Из точек деления направляющей, как из центров, проводят концентрические дуги – горизонтали с постоянным интервалом между ними. Строят семейство линий касательно огибающих горизонтали конусов, имеющие одинаковые отметки. Эти линии являются горизонталями поверхности равного уклона. Линии пересечения любой поверхности горизонтальными плоскостями принято называть горизонталями поверхности.
Кривые поверхности задаются проекциями горизонталей (случайного вида) поверхностей, так называемых графических или в применении к земной поверхности – топографических. На рис. 108 при помощи горизонталей изображена котловина, на что указывают форма и отметки горизонталей.
Рис. 108