- •Содержание
- •Введение
- •1. Содержание и задачи курса начертательной геометрии.
- •2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
- •Принятые обозначения
- •1. Лекция 1. Метод проекций. Эпюр Монжа.
- •1.1. Виды проецирования.
- •1.2. Свойства (инварианты) центральных проекций:
- •1.3. Свойства (инварианты) параллельных проекций:
- •1.4. Метод ортогональных проекций
- •1.5. Ортогональные проекции точки.
- •1.6. Вопросы для самопроверки.
- •2. Лекция 2. Ортогональные проекции прямой линии.
- •2.1. Задание прямой на эпюре.
- •2.2. Натуральная величина отрезка прямой
- •2.3. Точка на прямой линии
- •2.4. Следы прямой линии
- •2.5. Частные положения прямой
- •2.6. Взаимное расположение двух прямых
- •2.7. Угол между пересекающимися прямыми
- •Вопросы для самопроверки.
- •3. Лекция 3. Ортогональные проекции плоскости.
- •3.1. Способы задания плоскости в пространстве.
- •3.2. Плоскости частного положения.
- •3.7. Вопросы для самопроверки.
- •4. Лекция 4. Взаимное расположение прямой и плоскости, и двух плоскостей.
- •4.1. Прямая, параллельная плоскости.
- •4.2. Параллельные плоскости.
- •4.3. Прямая, перпендикулярная плоскости.
- •4.4. Взаимно - перпендикулярные плоскости.
- •4.5. Пересечение плоскостей.
- •4.6. Пересечение прямой с плоскостью.
- •4.7. Вопросы для самопроверки.
- •5. Лекция 5. Способы преобразования проекций.
- •5.1. Общие положения.
- •5.2. Способ замены плоскостей проекций.
- •5.3. Решение четырех основных задач методом замены плоскостей проекций.
- •Типы задач, решаемые способом преобразования плоскостей проекций.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Лекция 6. Способ вращения.
- •6.1. Сущность способа.
- •6.2. Вращение вокруг горизонтали или фронтали.
- •6.3. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси).
- •Вопросы для самопроверки.
- •7. Лекция 7. Кривые линии. Поверхности.
- •7.1. Общие положения. Классификация кривых линий.
- •7.2. Особые точки плоских кривых.
- •7.3. Плоские кривые.
- •7.4. Поверхности. Общие положения.
- •7.5. Классификация поверхностей.
- •7.6. Линейчатые поверхности.
- •Вопросы для самопроверки.
- •8. Лекция 8. Поверхности.
- •8.1. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана)
- •8.2. Поверхности вращения.
- •8.3. Принадлежность точки или линии поверхности.
- •8.4. Вопросы для самопроверки
- •9. Лекция 9. Пересечение поверхности плоскостью.
- •9.1. Общие положення
- •9.2. Пересечение поверхности вращения плоскостью.
- •9.3. Пересечение гранной поверхности с плоскостью.
- •9.4. Вопросы для самопроверки
- •Лекция 10. Пересечение прямой с поверхностью.
- •10.1. Общие положения
- •10.2. Примеры построения точек пересечения прямой с поверхностью
- •10.3. Вопросы для самопроверки.
- •11. Лекция 11. Взаимное пересечение поверхностей.
- •11.1 Общие положения.
- •11.2. Взаимное пересечение многогранников.
- •Условная развертка поверхностей.
- •11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.
- •11.4. Вопросы для самопроверки.
- •12. Лекция 12. Пересечение кривых поверхностей.
- •12.1. Пример пересечения конуса со сферой.
- •12.2. Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка.
- •12.3. Метод концентрических сфер.
- •12.4. Вопросы для самопроверки.
- •13. Лекция 13. Развертки поверхностей.
- •13.1. Общие положения.
- •13.2. Развертывающиеся поверхности и их свойства.
- •13.3. Основные графические способы построения разверток поверхностей.
- •13.4. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей вращения.
- •13.4. Вопросы для самопроверки.
- •14. Лекция 14. Проекции с числовыми отметками
- •14.1. Сущность метода. Проекции точки.
- •14.2. Проекции прямой
- •Интервал и уклон прямой.
- •14.3. Взаимное положение двух прямых
- •14.4. Проекции плоскости.
- •14.5. Взаимное положение плоскостей
- •Плоскости пересекающиеся
- •14.6. Точка, прямая и плоскость.
- •14.7. Вопросы для самопроверки
- •15. Лекция 15. Проекции с числовыми отметками.
- •15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью
- •Взаимное пересечение поверхностей.
- •15.3. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
2. Краткая история разработки и развития методов изображений.
Сведения и приёмы построений, обуславливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно с древних времён. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись как изображения наглядные.
С развитием техники первостепенное значение приобрёл вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобство измерений изображений, т.е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путём простых приёмов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приёмы построения таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского учёного Монжа, изданном в 1799 году. Изложенный Гаспаром Монжем (1746-1818) метод - метод ортогонального проецирования - обеспечивал выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остаётся основным методом составления технических чертежей.
Чертёж - язык инженера, начертательная геометрия - грамматика этого языка.
В России начертательную геометрию начали преподавать с 1810 года в первом ВУЗе страны, только что организованном. Лекции там читал Я.А. Севастьянов (1796-1849), с именем которого связано появление первого оригинального труда под названием "Основания начертательной геометрии" (1821 г.), в основном посвящённого изложению метода Монжа.
Крупный след в развитии начертательной геометрии в России в XIX веке оставили Н.И. Макаров (1824-1904) (адмирал Макаров, погибший в Порт-Артуре) и В.И. Курдюмов (1853-1904).
Если начертательная геометрия как предмет возникла из нужд практики и в середине XIX века она расширила свои разделы, то к началу XX века аналитические методы, применённые в начертательной геометрии, вышли на первый план, точность графических методов не удовлетворялась и начертательная геометрия пошла на убыль. Последними книгами были книги Н.А. Рынина (1877-1942) и В.О. Гордона.
С появлением трудов Н.Ф. Четверухина (1891-1973) начертательная геометрия была выведена из застоя. Н.Ф. Четверухин стал рассматривать начертательную геометрию как самостоятельную науку (не связанную с черчением). Он первый увидел, что методами начертательной геометрии можно решать сложные конструктивные задачи. Появилась "Прикладная геометрия" и начался её расцвет. За период с конца 40-х годов начертательная геометрия развивалась и расширялась. В науке большая роль принадлежит И.И. Котову (1905-1975) и его ученикам.
Основателем украинской школы начертательной геометрии в теории изображений считается профессор С.М. Колотов.
Принятые обозначения
Точки, расположенные в пространстве, - прописными буквами латинского алфавита A, В, С, D … или цифрами 1, 2, 3, 4 ...
Прямые и кривые линии в пространстве - строчными буквами латинского алфавитам a ,b, с, d ...
Плоскости - строчными буквами греческого алфавита α, β, γ, δ ...
Поверхности - прописными буквами греческого алфавита Φ, Θ, Λ, Σ ...
Основные операции над геометрическими образами:
а) совпадение двух геометрических образов ≡ например a≡b, А1≡B1;
б) взаимная принадлежность геометрических образов , например А а, а а, B β.
в) пересечение двух геометрических образов ∩, например t ∩ α, α ∩ β ;
г) результат геометрической операции =, например К = l ∩ α .
6. Способ задания геометрического образа указывается в скобках рядом с его буквенным обозначением. Например:
а(А, В) - прямая задана двумя точками А и В;
α (А, В, С) - плоскость задана тремя точками А, В, С;
β (а, А) - плоскость задана прямой а и точкой А;
γ (а∩b) - плоскость задана пересекающимися прямыми а и b;
δ (l║ т) - плоскость задана параллельными прямыми l и т.
Углы - строчными буквами греческого алфавита φ, ω, ψ.
Прямой угол обозначается точкой внутри сектора.
Особые прямые и плоскости имеют постоянные обозначения:
а) линии уровня: горизонталь - h, фронталь -f;
б) следы плоскости обозначаются той же буквой, что и плоскость, с добавлением подстрочного индекса, соответствующего плоскости проекций –аП2, βП1;
в) линии уклона - и, касательная прямая - t, нормаль - п, оси вращения – i, j;
9. Последовательность геометрических образов - надстрочным индексом: точек - А1, А2, А3 …; прямых - а1, а2, а3 …; плоскостей - α 1, α 2, α 3 ...
Центр проецирования - прописной буквой латинского алфавита S.
Направление проецирования - строчной буквой латинского алфавита s.
Плоскость проекций при образовании комплексного чертежа - прописной буквой греческого алфавита П:
горизонтальная - П1; фронтальная - П2; профильная - П3.
Новая плоскость проекций при замене плоскостей проекций - буквой П с добавлением подстрочного индекса: П4; П5; П6 ...
Проекции точек, прямых и плоскостей - соответствующей буквой с добавлением подстрочного индекса, характеризующего плоскость проекций:
на плоскости П1 – А1, a1, α1;
на плоскости П2 - А2, а2 , α 2;
на плоскости П3 - А3, а3, α 3.
Оси проекций на комплексном чертеже - х12, у13, у31, z23.
Вторичные проекции - с добавлением подстрочного индекса: А'1, А'2, А'3, а'1, а'2, а'3, α'1, α'2, α'3
Проекции точек в проекциях с числовыми отметками - той же буквой, что и натура, с добавлением числа, характеризующего расстояние точки до плоскости проекции - А15, В-20, С0.
Масштаб уклона плоскости - той же буквой, что и плоскость, с добавлением индекса i; изображается двойной линией, тонкой и жирной, разделенной на интервалы.
Масштабы уклонов плоскостей одинакового уклона, но различного положения к плоскости уровня - одной буквой с добавлением надстрочного индекса: α 1i α 2i α 3i, β 1i, β 2i, β 3i, γ 1i, γ 2i, γ 3i.