Математика для инженеров(практика) I часть

5x + 3y − 7 = 0	æ		9		3	ö	, cosα =	1			β =	π
	. 30. A(3;-1) , B(3;3) , C ç	-		;		÷				,		4	,
			5		5
	è					ø		10

cosγ =							1								. 31.						5				373					. 32.					5x − 4y + 32 = 0 . 33. (4;–1), (−3;−3),																											(1;6).
																									3
										5
34.		а) −2;													б) -						1		;		в) не существует. 35. arctg																										3		. 36. arctg18						. 37. arctg							7			.
																					2																													11																23
38.		arctg											4				.		39.					arctg							27		.		40. arctg							4		. 41. а) совпадают; б)																	параллельны;
										13																																7
																											47
в) (−1;4); г) (0;5); д) (1;−1). 42. а)																																						al + bm ¹ 0 ; б)															al + bm = 0 ; в)										al + bm = 0 ,
ax0 + by0 + c = 0 .																								43. 6x +17 y − 63 = 0 ;																						18x − y − 33 = 0 .											44.				y = 0 ,					точка
(−1;0);								x = 0 ,													точка						(0;1).								45.		y = 2x									и			y = 7x ;					y =		1		x	и			y =		1	x .		46.
																																																							7								2
x − y +1 = 0 ,																					x + y +1 = 0 .														47.				3x − 8y + 4 = 0 .															48. 3x + 4y + 29 = 0 .													49.
5x + 2y +18 = 0 .																							50. 4x − 3y −17 = 0 .																				51. 2x + 3y + 4 = 0 .														52.			5x + y −16 = 0 .
53.	5x + 7 y −15 = 0 . 54. 3x +16y = 0 . 55. x − 3y − 5 = 0 . 56.																																																										5x − 3y +13 = 0 .
57.	5x + 2y + 21 = 0 .																										58.						7x + 5y − 21 = 0 ;																3x + 2y + 9 = 0 ;										4x + 3y − 30 = 0 .
	11																						11						.
59.						61							. 60.													2						61.			4,4.		62.									41			;		5x − 3y + 3 = 0 ;										y = 6 ;					y = 1;
		61																							2																					29
5x − 3y − 2 = 0 ;																								5x − 2y − 3 = 0 ;																5x − 4y + 4 = 0 .														63.				(1;−1).					64.					12		.
																																																																			13
65.	æ		7							5					ö						66.														67.										68.				x + 3y −10 = 0 ;											x + 3y − 20 = 0 ;
	ç -							;							÷ .										(6;5).												7,2 .
			3							3
	è														ø
3x − y −10 = 0 ;																						3x − y = 0 ;													точка (3;4). 69.																	3x − y +1 = 0,								x + 3y −13 = 0 .
70. (−5;9),																(1;1),									(4;5).							71.				tgB =			3				;			tgC =					1		. 72.		æ		2;-		4 ö			.	73. (2;3).
																																																							ç						÷
																																							16												3				è				3 ø
74.	3x + 4y − 22 = 0 ;																														3x + 4y + 3 = 0 ;																4x − 3y + 4 = 0 ;											4x − 3y − 21 = 0 ;
диагонали:																		7x + y −18 = 0 ;																	x − 7 y +1 = 0 . 75.																	x − 3 = 0					или				5x − 3y −1 = 0 .
76.		x − 4y + 20 = 0 ;																							4x − y −10 = 0 ; диагональ:																											x − y + 2 = 0 . 77. (1;6), (−2;1),
(3;2),			S = 11. 78.																				æ 13				;-					50 ö			. 79.		x + y − 7 = 0 ;															x + 7 y + 5 = 0 ;								x − 8y + 20 = 0 .
																							ç											÷
																							è 23									23 ø
80.	æ		-				13									8			ö				81.																						82.					5x − y − 8 = 0 ;										3x + 2y + 3 = 0 .
	ç													;					÷ .								(−2;−1),									(10;−6).
							3									3
	è																		ø
83.	(2																			+1),															(-2												+1).										84. 7x − 3y −19 = 0 .
					3;4													3																				3;-4							3
85.	42x + 7 y − 68 = 0 .																										86.								x − 5y = 0 ;										5x + y − 26 = 0 .										87.					2x + y −15 = 0 .

241

88.				2x − 5y + 22 = 0 ; 5x + 4y −11 = 0 ;																																																									7x − y − 22 = 0 . 89.																										y = x + 3 ; y = x − 6 .
90.				17x + 9y −101 = 0 ;																														19x + 3y − 7 = 0 ;																																			x − 3y −13 = 0 .																	91. А(−1;2), В(3;0),
																			5											.
С(5;−4).																92.											58						93.												y = 1;														y = 5 ;													4x − 3y − 9 = 0 ;																	4x − 3y +11 = 0 .
																										29
				æ 3																						1	ö						æ					3																							1		ö
94.													3																																3																									95.						x + 7 y − 6 − 0 ;															x − y − 6 = 0 ;
				ç											;3				3 +								÷ ,						ç -																;-3							3 +								÷ .
				ç						2																2	÷						ç					2																							2		÷
				è																							ø						è																														ø										x − y +1 = 0 ;																3x + 4y −11 = 0 .
7x + y −10 = 0 .																											96.											5x + 2y − 23 = 0 ;
																																																																						æ 597									222					ö
97.				(7 -															5 -10).														98. (0;1).																					99. (3;3);																																100.			3x + 4y − 8 = 0 ;
																5;3																																																						ç						;								÷ .
																																																																									49						49
3x + 4y −16 = 0 ; 4x − 3y −19 = 0 .																																																																						è														ø
																																																								§ 3
1.							2x − y −10 = 0 .																										2.							Взаимно																					перпендикулярны. 3. Параллельны.
																																arccos										12																																					3
4. Пересекаются. 5.																																																			3				. 6.					π - arccos																								. 7.			7x + 2y − z −16 = 0 .
																																											21																																	190
8. 6x + 5y + z −17 = 0 .																																		9. 10x −12y + 3z − 23 = 0 .																																														10. 2x −15y − 6z +12 = 0 .
11.				6x − 3y − 4z −12 = 0 .																																		12.																	x							y									z					.			13.							7x + 5y − 3z −17 = 0 .
																																																										+											+				= 1
																																																						-		1					-		3							3
				2x −12y +19z −18 = 0 . 15.																																																				2									8																					y − z = 0 . 17. Точка
14.																																																			5x − 2y −11z + 23 = 0 . 16.
æ 4						;-				10						;-		31 ö									18.																																																														19. Нет общих
ç																						÷ .												Плоскости пересекаются по прямой.
										23
è 23																		23 ø
																														21.							17															.																.		23. -								1				x -			1			y -		1				z -		1
точек. 20. (2;1;−1).																																														11								22.									6																																				= 0 .
																																																													12
																																						11																																									3							3			3					3
24.						2						x +					1				y +						1					z -						3						= 0 .																25.													15x −11y −17z − 59 = 0 .																										26.
						6												6									6											6
	x + 2z − 7 = 0 . 27. 3x −11y + 6z + 39 = 0 . 28.																																																																108								.			29. arccos										42					. 30.
																																																																									7						14															1770
11																	3
							. 31.													11						. 32. 17x + 43z = 0 . 33.																																							31x − 26y −10z − 6 = 0 . 34.																														x = 5 . 35.
																		22
14
			139							.					36. 3x - y + z ± 4																																- 4 = 0 .														37.									x + 20y + 7z −12 = 0 ; x − z + 4 = 0 .
																																									11
1123
38.					Oxz . 39. Нет. 40.																													x	+				y				-						z						= 1 . 41. x = 2 ;																					y = −1 ;										z = −3 . 42. а) α = 3 ;
																																	2															12
																																						6

242

б) α = −10 . 43. 25;												25;	50.		44.							57			- 2								2			. 45.														α = 1;													β = −7 .												46.						α = 2 ;
																											38
β = −3 .										15x + 5y + 3z −15 = 0 .																									x + y + z + 3 = 0 ;																																x + y + z − 3 = 0 .
			47.																								48.
49.	x + 3y = 0 ;									3x − y = 0 . 50. 2x − 8y − 3z + 7 = 0 .																																									52.											3					;					5					;			-								1											.
																																																														35										35															35
53.	6.		54. 5x − 8y − 2z + 9 = 0 ;																			14x + 4y + z − 21 = 0 ;																																										2x − y − 3x + 8 = 0 ;
x + 5y + 4z − 7 = 0 . 55. 8. 56. 8x − 4y − 4z + 5 = 0 . 57.																																																							108							. 58.							æ			-			19					-		5								ö
																																																																					ç									;								;0				÷ .
																																																							7																				6							6
																																																																					è																					ø
59.			x + 2y − 6z + 3 = 0 ;																4x + y + z −1 = 0 .																																				60.													æ 4							;-			17				;-					5			ö
																																																																				ç																						÷ .
																																																																														15									3
																																																																				è15																						ø
61.	3x − 7 y + 4z + 3 = 0 .												62.				Нет.				63.						9,5.										64. 6x + 3y + 2z − 78 = 0 .																																											65.								Да.
66.	Нет. 67.						12x + 3y +10z − 63 = 0														; S =									1														. 68. 12. 69.																								1			. 70.									α = 26 ,
																																					253
																													2																																							3
													2								5												3																																															6														.
β = −2 ,					γ = −14 . 71.												;		-								;													.			72.								2.						73. а)															;			б)													13
																																																																						2
																																																																																		13
													38								38												38
																							23								.																										.
74.	2x + 4y +									+z − 20 = 0 .								75.										3							76.																		30										77. 3y + 4z − 32 = 0 .
																					6
78.	10x − 9y + z − 7 = 0 .																																																		5
																					§ 4
2. x = 2 − 2t ; y = 1; z = 2t − 2 . 3.																								x - 3									=					y +1													=	z -1						. 4.									x		=				y -1									=		z + 2													.
																																						1																													1					-1
																											2																											1																																-2
																		1																																																														154
5. arccos						14				6.			æ		-				ö		7.							α = 29 .																				8.											173										9. d =
								.				arccosç							÷ .																																													.																													;
			21															6																																					14
													è						ø																																																													1537
{174x -116y - 29z - 261 = 0,																					10.													d =																;					{							2x + 7 y - 5z -11 = 0,
															0.																																3
159x + 212y +106z - 2915 =																																																														8x + 7 y + z +13 = 0.
			64									25x - 43y +12z -100 = 0,																																																			x - 2										y -1											z + 3
11.	d =							;				{x - 51y -18z -14 = 0.																																										13.															=											=																		.
																																																														22													2									-47
					154
14.	5x − 4y − z −12 = 0 .												15.					α = −1 .											16.						æ								7			;		-			4			;	31ö							.					17.							Нет										точек
																																			ç																									÷
																																											9								3
																																			è																				9 ø
пересечения,										прямая				параллельна																				плоскости.																												18.										α = arcsin																	6							.
																																																																																							7
								10																					3																																						4x + 3y -12 = 0,
											38
																																		650
19.	α = arcsin											.		20. α = arcsin																												.												21.													{z = 0.
										114																							26

243

22.	α = arccos																	6										;					β = arccos																7									;									γ = arccos																		2						.					23.														На													Оху:
																		89																															89																																				89
{4z x=-0.7 y + 7 = 0, ;																												на						Оуz:											{3xx=+0,4z - 3 = 0, ;																																				на												Oxz:													{3yx=+0.7z = 0,
24.		x - 2							=					y -1						=							z +1					;					x		=			y - 5										=							z - 4										;				x - 3								=						y - 5									=		z				.								25. (1;0;0).
			-1																																	5																																						-4
															8													6												-4																				-9																												-4								3
		x - 3												y								z -1														7								.																																																																														1
26.									=									=											;												6																				27. x − y − z = 0 .																																			28.																																		;
			7										-2																											9
																							1																																																																																																		265
9x + 3y + 4z - 31 = 0,																																								AC1 :x = y = z ;																														BD : 2 − x																		= y = z.															30. x = 5t −1;
{4x - 87 y -10z +174 = 0.																																		29.
y = −11t + 4 ;																					z = −2 .														31.																			,																.						32.													треугольник																														BAD .
																																															33																				105
	arccos										11														.																								17																																17																																					34													.
33.																	119															34. arcsin																														;							arcsin																							;									arcsin
													238																											2485																																									2556																																		14910
	æ		16					57							13 ö																									æ									5							5						16 ö																										4x +11y +10z +15 = 0,
35.	ç						;						;						÷ .														36.							ç													;							;						÷ .												37.									{3x - 2y + z -1 = 0.
			11					11																																									9							9
	è														11 ø																									è																						9 ø
			z - y +10 = 0,																																																																																										x - 9												y - 4															z - 2
38. {2x + y + z - 3 = 0.																																		39.											5y + 8z − 81 = 0 .																																						40.																	=															=																	.
																																																																																											-26																	9													-23
41.	æ		-		14						5				1			ö					42.									x - 2					=			y - 4									=							z + 2													x	= −t + 2, y																			= 18t + 4, z = −15t − 2 .
	ç								;					;				÷ .																																																;
	è						3				3				3			ø															-1							18																-15
		x + 4												y - 6														z - 3																																																																				æ				136							;			11				;-				204							ö
43.									=												=												;	x = t						- 4, y = -																								2t + 6, z = -t + 3 . 44. ç																																																													÷ .
			1										-															-1																																																																								29										29								29
																		2																																																																														è																													ø
46.	α = −8 .														47.								α = -									12		, β = −4															. 48.															arcsin													3							.				49.								2626																		» 0,931.
																																	5
																																																																						2						481																				9				98209
																																																																					æ 67									71										9 ö																	æ11													2							ö
50.		x = 2,									y = t + 3, z = −t + 5 . 51. (2;4;8). 52. ç																																																																	;							;-											÷		. 53.									ç								;		-								;2÷ .
																																																																														58																																5								5
																																																																					è 58																			58 ø																	è																				ø
54.	5x −12y + 4z + 34 =																																		55. −9x + 3y + z +1 = 0 .																																											56.							æ			-			2643									;-					801								;-					405							ö
																																	0 .																																																				ç																																								÷ .
																																																																																											364														182													52
																																																																																					è																																								ø
57.																																																						58. » arccos																				1189																	59.									æ			19								71				;-							23 ö
							Нет													таких														точек.																																																			.															ç								;																		÷ .
																																																																										1199																										è			7								14										14				ø
		x - 28													y + 30															z + 27
60.											=																=									, а) N(-2;2;-3) ,																																				б)						50,									в)				4						с.						61.									2							1473									.
	-7,5																	8															6																																																																																								74

244

62. 5x − 9y − 3z +17 = 0 . 63.								x - 2				=	y		=		z - 3			. 64. C1D1 :					x -1		=	y - 4			=	z - 6	;
								1					2											3
															-3												-1				0
	x -1		y - 4		z -1			13							65							65
A C :		=		=		; а)						; б)								; в)				; г)			329		.
1	2	-5		4				17							1314					894							10

§5

1.(x - 5)2 + (y + 7)2 = 37 . 2. (x - 3)2 + ( y + 5)2 = 26 .

æ

3

ö2

25

3. а) ç x -

÷ + ( y -1)2 =

; б) (x - 6)2 + ( y + 3)

2 = 1 .

2

4

è

ø

æ

1 ö2

æ

1

ö2

13

æ

3

3 ö

. 5. (0;4); (0;−2); (4

6;0) . 6.

4. ç x -

÷

+ ç y -

÷ =

± 2

ç

;

÷

; (−4;−4).

è

6 ø

è

4

ø

144

è

2

2 ø

7.

(2;−4);

(1;3).

8.

(x -1)2 + (y + 2)2 = 68 .

9.

(x + 3)2 + (y - 2)2 = 40 .

10.

(x + 2)2 + ( y - 4)2 = 37

. 11. (x + 4)2 + ( y -1)2 = 125 .

12.

(x - 4)2 + ( y ± 5)2 = 25

. 13. (x ± 4)2 + ( y - 6)2 = 16 .

14.(x - 25)2 + ( y +16)2 = 625 ; (x - 5)2 + (y - 4)2 = 25 .

15.(x - 3)2 + ( y - 2)2 = 4 ; (x + 5)2 + (y -10)2 = 100 .

16.(x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 ; (x - 25)2 + ( y - 25)2 = 625 .

17.		(x - 4)2 + y2 = 52 .									18.				x2 + (y - 7)2 = 41 .											19.				(x + 3)2 + (y + 2)2 = 61 .
20.		x2 + y2 - 2x + 4y -15 = 0 . 21. (x + 2)2 + ( y - 2)2 = 90 .
22.	(x - 2)2 + ( y + 4)2 = 20 . 23. а) (4;5), R =																								; б) (2;−2),										R = 2 ; в) (−4;6),
																						47
R = 7 . 24. 10. 25.								4x + 2y −1 = 0 . 26.											x - y - 6 - 2											= 0 . 27.						x − y − 4 = 0 .
																	3												3
28.			5x + y − 21 = 0 .									29.			x + y + 5 = 0 .													30.						5x +12y + 69 = 0 .
31.	11x − 6y +198 = 0 . 32. а)													x + 3y = 0 ; б) x − 2y + 4 = 0 .
33.	(x - 2)2 + ( y + 6)2 = 30 ;														(x - 2)2 + (y + 6)2 = 625 .																		34.				x = ±			3			.
																																										3
																																							2
35.		R =					; (−2;10),						(10;2),			(−10;−2).								36.								x2 + y2 - 5x - 2y = 0 .
					104
37.	9x + 2y − 7 = 0 ;								114x + 37 y + 28 = 0 .									38.					7x2				+	y2			= 1 .			39.			x2	+	y2		= 1 .
																								30				15								9			45
40.		x2	+	y2		= 1 . 41.				x2	+	y2		= 1 . 42.		x2		+			y2			= 1. 43.								x2	+		y2	= 1 . 44. (8;3),
	25			16					16			10				144				108											16			4

245

(6;4).						45.																										. 46. а)																a = 3 ,																b =														;					F (±																											ε =						6				;				x = ±											3							6				;
																						245																																																					3																					6;0) ;
																																																																																																																		3																									2
											5																		5															æ							5													ö																																									5
б) a =															6			, b =																		3	; F																				3												ε =													2				; x = ±																					3
																																												ç ±																	;0			÷	;																																													;
											6																		6															ç										6										÷																2																									3
																																												è																				ø
																																																																									2																											5
в) a =																, b =																				; F (0;±2																								); ε =																	5				; y = ±																					3				;
											3																					15																							3
																																																																							5																										2
																																																																							;
г) a = 2 , b =																														; F (±																																						2							x = ±2																		.
																										2																		2;0); ε =																																															2
																																																																	2
																																								x2													y2																						x2													2																									x2															y2
																																																																																							y
47. (−3;2),																		d =											3 . 48.																		-												= 1 . 49.																						-									= 1 .											50.																	-																					= 1 .
																																									9										16																							49											72																										256			49									2880										49
51.					x2								-							y2									= 1 .										52.												x2							-					y2			= 1.														53.											x2									-						y2					=		1;								x		2				-						y		2				= 1.
	9						8										135								8																										2			5									8	5																										144															256													256												144
54.		x2								-							y2						= 1 ;															x2						-						y2								= 1 .											55.															x2						-						y2					= 1.												56.										x2				-						y		2				= 1 .
	576														100																						100										576																																				225											64																													25										1
		x2														y		2																																																																																			æ							28						21				ö					æ						28									21						ö
57.										-											= 1.																58.																	y = ±													2				x .														59.																				-								-												-
																																																																																																					ç											;						÷		,			ç												;									÷ .
	144														36																																																		3																																													5				5															11									11
																																																																																																					è																	ø					è																					ø
60.		x2					-							y2						= 1 .									61.										x2					-						y2						= 1 .									62.														x2						-			y2									= 1 .											63.						A(0;±4) ;																				ε =									5				;
	16														9																								9												5																							675														300																																																			4
y = ±					4			x ;										F(0;±5) . 64.																										A(0;±8) ;																				ε =								5		;						x = ±									3					y ;								F(0;±10) . 65.																							d = 2																				.
																																																																																																																																													39
	3																																																																						4																	4
66.		y2 = 20x .																									67. 5x2 = -9y .																																		68.							y2 = x .																	69.					æ							-			5					;-4						ö		70.																				71.
																																																																																										ç																					÷ .												53 .																16.
																																																																																																				4
																																																																																										è																					ø
																																																																																																																		æ																														ö
																																																																																																																																						2					3
72. (6;9), (−4,4;4,84). 73. (0;0), (16;16). 74.																																																																	x2 + ( y -1)2 = 2 . 75. ç ±																																										5;±														÷ .
																																																																																																																		ç																					3									÷
																																																																																																																		è																														ø
																													77.									2							-					1			.
76. (-6;±2																								).																		2																78.						а)							(−4;0);																окружность;																										R = 5 ;											б)						(−2;−6);
																						3
																																					1+ 2										2
гипербола;																						a = b = 8 ;																			в)									(−6;1);															эллипс;																					a =												97							,					b =									;					г)						(−4;−4);
																																																																																																																			97
																																																																																																	2
гипербола;																				a = b = 4 ; д) (0;1); окружность;																																																																		R = 3																	; е) (−1;−2); гипербола;
																																																																																																			3
a =	3																					b =																			79.																			а)										x = -4; (-4;46) ;																																									б)							y = 6;											æ				34											ö
										,																			6 .																																																																																																													;6									;
																																																																																																																																	ç															÷
																																																																																																																																					6
	2																																																																																																																																è															ø
в) y =							1								æ		-			39									1 ö															г)																	x =				5						æ			5									1 ö																		д)												x = -							3					æ		-						3				19							ö
												;			ç												;						÷ ;																																				;ç										;	-							÷	;																																				;	ç										;									÷			;
							4													32																																													2									2																																														2													2				12
															è														4 ø																																										è												4 ø																																										è																			ø

246

æ 3

ö

2

æ

4

10

ö

е) y = -1;

;-1

80.

81.

±

5

;±

ç

÷

.

arctg

.

ç

÷ .

3

ç

3

3

÷

è 4

ø

è

ø

82. 444x +1295y + 2257 = 0 ;																			y = 1.										83.					x + 3y +12 = 0 ;														x + 3y − 28 = 0 ;
3x − y − 4 = 0 . 84.													x =	3	;		x + y								+ 3 = 0 ; x - y													+ 3 = 0 . 85. -												1		. 86.		144					.
																							3														3
														2																																				32						5
87.	24.				88.							.	89.		5x−2y+39 = 0;															2x + 5y − 25 = 0 .												90. 5x + 3y −15 = 0 ;
										10
5x + 3y +15 = 0 ; 5x − 3y −15 = 0 ; 5x − 3y +15 = 0 . 91. ≈ 0,35 м.
																										§ 6
1.			1)			гипербола								(x - 2)2					-			(y +1)2								= 1,				центр						(2;−1);				2)						окружность
																5	4									1
(x - 2)2 + ( y + 3)2 = 4 , центр (2;−3), R = 2 ; 3) эллипс																																									(x - 0,5)2								+		( y +1)2					= 1 ,
																															3 ö2											4										2
			æ		1				ö																	æ								+ ( y - 3)2 = 5 ,																		æ	3			ö
центр			ç					;-1÷			;		4)	окружность													ç x		+			÷												центр								ç -				;3÷ ,
			è		2				ø																	è					2 ø																					è	2			ø
R =				.	2.				1)			y¢ = 15(x¢)2 ,							где								x′ = x -1, y′ = y +10 ;															2)		y¢ = 2(x¢)2 ,													где
			5
x′ = x + 3 ,									y′ = y + 43 ;								3)								y¢ = 3(x¢)2 ,										где						x¢ = x +							2		, y¢ = y +							34	;
																																															3									3
4) y¢ = -(x¢)2 ,													где				x¢ = x -							3			, y¢		= y -				25		;					5)		x¢ = 2								( y¢)2 ,							где
																					2													4		37								5
x′ = x - 3, y′ = y - 2 ; 6)															x¢ = -( y¢)2 , где																x¢ = x -								,	y¢ = y +							; 7)					(x¢)2 = y¢ ,
																																												2
																																		4
где x′ = x + 4, y′ = y + 25 ; 8) 2( y¢)2 = x¢ , где x′ = x + 7, y′ = y -1 .
3. 1) x′y′ = 1 , асимптоты: x =																			1		, y = 1 ; 2)										x′y′ = -7 , асимптоты:																			x = −3, y = 2 ;
					7													1	4								3
3) x¢y¢ =								, асимптоты:								x =			, y =									; 4)			x′y′ = 7 , асимптоты:																	x = −1, y = −1 ;
					4																					2
																	2																										15
5)	x′y′ = -1,											асимптоты:								x = 2, y = −2 ;														6)						x¢y¢ = -							,				асимптоты:
	5							3																																				4
x =			, y =						. 4. 1) 3ρ2 sin 2ϕ = 4 ; 2) 3ρ2 sin 2ϕ = 5 ;
	2							2

3)2ρ2 cos2 ϕ = 4ρ sinϕ +1 ;

4)ρ (cos2 ϕ - 2sin2 ϕ ) = 4sinϕ ; 5) ρ sinϕ = 3ρ2 cos2 ϕ - 6 ;

247

6)			ρ + ρ sin2 ϕ = 8sinϕ ; 7)																																										ρ = 4cosϕ ; 8)																					ρ cos 2ϕ = 3sinϕ ;
																																																																																				æ										12 ö2
																																																																																						ç x +														÷										y			2
																																																																																															5
9)					ρ = 3cosϕ +12sinϕ ;																																							10)								ρ2 sin 2ϕ = 12 .																				5.							1)							è														ø					-													= 1 ,
																																																																																										64					25													64					20
																																																																					æ									8	ö2
																											(x + 4)									2					y	2																													ç x -									÷								y		2
																																																																														9
гипербола; 2)																																						-							= 1 , гипербол;. 3)																										è									ø		+											= 1 , эллипс;
																															9										7																															100
																																																																														81						4						9
																																																																																										æ										4				ö2
										1													3																															2											5																										ç x					+								÷									y		2
																2																																												2																																								3
4)			x =										y					-										,			парабола;														5) x =												y				-						,		парабола;															6)							è													ø				-										= 1 ,
									6														2																															5										8																																4				9												4			3
гипербола.																				6. 1) пара параллельных прямых																																																				(x¢¢)2 -												4					= 0 ,									где										x = x′ + 2 ,
																																																																																			26
	y = y′ +1;																												x¢ =							5					x¢¢ -							1					y¢¢, y¢ =														1				x¢¢ +								5					y¢¢ ;														2)															эллипс
																																				26												26																			26												26
			¢¢		2											¢¢				2
																																																																																																								3												1
	(x )								+			(y )											= 1,															где												x = x′ + 2 ,																				y = y′ - 3 ;																							x¢ =															x¢¢ -											y¢¢ ,
		1		2								7					2																																																																																							2											2
																																																												¢¢	2
						1														3
	y¢ =									x¢¢ +																	y¢¢ ;							3)							эллипс														(x )										+ ( y¢¢)2 = 1, где																									x = x′ -1 ,																							y = y′ ;
					2															2																																				3				29
									5																			1																	1											5																																																¢¢ 2
		¢															¢¢																	¢¢					¢													¢¢												¢¢																										¢¢			2						( y )
	x		=						26						x					-								26						y , y							=					26 x							+			26							y				;		4)			эллипс													(x )										+									7				= 1,											где
																																																1																												x¢¢ +								1
	x = x′ +1,																				y = y′ -1;																				x¢ =											x¢¢ -							2			y¢¢, y¢ =												2															y¢¢ ;									5)								гипербола
																																																								3																3
																																																3																																				3
																¢¢		2																																																																														1																	7
( y¢¢)					2 -						(x )												= 1,													где												x = x′ -1 ,																			y = y′ +1;																			x¢ =																		x¢¢ -															y¢¢ ,
									29								21																																																																													5						2								5							2
	y¢ =								7							x¢¢ +												1						y¢¢ ;					6)					пара пересекающихся прямых																																																x′ = y′, 2x′ = -3y′ ,
					5							2													5						2
где							x = x′ - 2 ,																									y = y′ +1;																7)				пара совпадающих прямых																																																	2x + y +1 = 0 ;
																							¢¢					2								¢¢ 2																																																												4																	1
8) эллипс																			(x )												+			(y )							= 1 ,							где x = x′ -1 ,																					y = y′ - 2 ;																		x¢ =																	x¢¢ -															y¢¢ ,
																				1														5
																									7																																																																							17																	17

248

y′ =	1			x′′ +	4			y′′ ;			9)	гипербола				(x′′)2				−		(y′′)2			= 1 , где		x = x′ + 3 ,
															22							2
	17				17												23
y = y′ −1			;		x′ =					3	x′′ −		5	y′′ ,	y′ =			5				x′′ +			3	y′′ ;	10)	пара
							34					34					34							34

параллельных прямых x + 2y + 4 = 0; x + 2y − 6 = 0; 11) пара пересекающихся

прямых 3x − y + 4 = 0;

x + 2y − 8 = 0,

точка пересечения (0;4); 12) гипербола

(x′′)2

−

( y

′′)2

= 1 ,

где

x = x′ +1,

y = y′ −1;

x′

=

5

x′′ −

2

y′′ ,

3

1

5

29

29

14

( y′′)2

y′ =

2

x′′ +

5

y′′ ;

13)

эллипс,

(x′′)2 +

= 1, где

x = x′ ,

y = y′ − 2 ;

21

29

29

x′ =

3

x′′ −

1

y′′ ,

y′ =

1

x′′ +

3

y′′ ;

14)

пара

пересекающихся

10

10

10

10

прямых

x = 3,

y = −4 ;

15) пара параллельных прямых

( y′′)2 −

2

= 0 ,

где

5

x = x′ − 3 ,

y = y′ − 2 ;

x′ =

1

x′′ −

3

y′′ ,

y′ =

3

x′′ +

1

y′′ ;

16) эллипс

10

10

10

10

(x′′)2

+

(y

′′)2

= 1 ,

где

x = x′ −1 ,

y = y′ + 2 ;

x′

=

1

x′′

−

1

y′′ ,

1

15

7

2

2

(x′′)2

′′)2

y′ =

1

x′′ +

1

y′′ ;

(y

x = x′ − 2 ,

y = y′ ;

17) эллипс

+

= 1 ,

где

4

4

2

2

3

7

x′ =

1

x′′

−

1

y′′ , y′ =

1

x′′

+

1

y′′ ;

18) гипербола

(y′′)2

−

(x′′)2

= 1 ,

где

2

12

2

2

2

2

23

x = x′ − 5 ,

y = y′ − 3 ;

x′ =

3

x′′ −

7

y′′ ,

y′ =

7

x′′ +

3

y′′ ; 19) эллипс

58

58

58

58

(x′′)2

+

(y

′′)2

= 1,

где

x = x′ +1,

y = y′ +1;

x′

=

9

x′′ −

1

y′′ ,

10

10

91

9

82

82

y′ =

1

x′′ +

9

y′′ ;

20)

пара

пересекающихся

прямых

82

82

3x + y −1 = 0, 2x − y +1 = 0 ;

21)

пара

совпадающих

прямых

x − y + 2 = 0 ;

4x − 3y = 0, 4x + 3y = 0 ;

22)

пара

пересекающихся

прямых

23)

пара

параллельных

прямых

x − y + 3 = 0,

x − y − 4 = 0 ;

24)

гипербола

249

			¢¢		2										¢¢			2																																																																																										5																1
	(x )							-					( y )								= 1,																где													x = x′ +1,																								y = y′ - 3 ;																									x¢				=										x¢¢ -																	y¢¢ ,
50												50
				48												82																																																																																												26																26
	y¢ =							1							x¢¢ +										5							y¢¢ ;				25)										пара пересекающихся прямых																																																												x = 5,											3y + 2 = 0 ;
											26														26
																					¢ 2														¢	2																													1														4																										4																1
																			(x )													( y )																																										¢																¢																						¢														¢
26)					эллипс																1									+					9					= 1,										где x =																						x			-													y				,				y =														x			+												y		;
																									2																																								17														17																										17																17
																																			¢¢			2												¢¢					2
27) мнимый эллипс																																		(x )							+					(y )															= -1, где x = x′ +1,																																	y = y′ +1;
																																		15		37														5
	x	¢	=					4						x		¢¢	-								1					y		¢¢		,	y			¢		=							1							x				¢¢			+		4							y	¢¢		;			28)							парабола																				y			¢¢		= 2															¢¢ 2			, где
								17																	17																						17																17																																																						2(x )
					1													1																				1																	1																											3																													9
														¢														¢																			¢															¢						¢							¢¢										2										¢								¢¢									2
	x =												x		-											y				,			y =												x				+												y		; x							= x						-					8								, y							= y									-			16									;
								2													2																			2															2
																																													8																														2															1																							1												2
																														¢¢			2													5						¢¢																													¢																¢																								¢										¢
29)						парабола																					(x )								= -					25										y					,						где								x =							5			x				-									5			y				,						y =								5					x				+				5 y						;
																3																												21
		¢						¢¢																								¢						¢¢														5																																																			¢¢			2															¢¢
	x		= x								+										,										y			= y						+																		;					30)												парабола																																			=						5x							,							где
																																															50
														5			5																																																																																			( y )
	x =				1							x¢ -						2								y¢ ,						y =						2						x¢ +										1							y¢ ;				x¢					= x¢¢						+			1							,				y¢ = y¢¢ +																1			; 31) гипербола
								5														5																		5																5																									5																								5
			¢¢		2										¢¢			2																																1															1																							1															1
	(x )							-					( y )								= 1 ,												где								x =																		x¢ -											y¢ ,									y =															x¢ +														y¢ ;										x′ = x′′ -1 ,
		16													4
																																																						2											2																										2												2
																																																																																								¢¢				2
	y′ = y′′ ;													32) точка (4;2);																											33) гипербола																														(x¢¢)2 -											( y )													= 1,								где							x =								4			x¢			-		3			y¢			,
																																																																																								4																													5									5
					3											4																								9																												13
	y =								x¢ +										y¢ ;											x¢ = x¢¢ -																	,							y¢							= y¢¢ +												;			34)													точка														(1;−1);														35)									пара
						5										5																											5																											5
																																					x + y = 2, x + y = −2 ; 36) точка																																																										æ		1					-			1			ö
параллельных прямых																																																																																															ç					;								÷.
																																																																																																	3								6
																																																																																															è													ø

§7

1.(x + 3)2 + (y + 3)2 + (z - 3)2 = 9 . 2. 2x + 3y + 4z −10 = 0 .

3.	6x − 6y + z + 23 = 0 . 4. x2 + ( y - 2)2 + (z + 3)2 = 9 . 5.	æ	3;4;-	1	ö	, R =		117	.
		ç			÷
				2				2
		è			ø

250