Математика для инженеров(практика) I часть

направляющей эллиптического цилиндра является окружность, то эллиптический цилиндр называется круговым.

Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид

				x2	+	y2	= 1, z = 0 .
				a2
						b2
		Поверхности (2)-(4) схематически изображены на рисунках 1-3.
		Пример 5. Какие поверхности в пространстве задают уравнения:
		а) 2x2 + 3y2 = 36 ; б) 2x2 = 3y ; в) 3x2 − y2 = 7 .
		Решение. а) переписав			уравнение в каноническом виде
x2	+	y2	=1, заключаем, что это уравнение определяет эллиптический
18
	12

цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей

	цилиндрической поверхности является эллипс		x2	+	y2	=1,	z = 0 .
		18
				12				3
	б) из канонического уравнения	поверхности					x2 =		y
								2

заключаем, что данная поверхность – параболический цилиндр с

	образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической
	поверхности является парабола x2 =	3	y , z = 0 .
	2			x2		y2
	в) переписав уравнение в каноническом виде				−		=1,
				73
					7

заключаем, что это уравнение определяет гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической

	x2		y2
поверхности является гипербола		−			=1,	z = 0 . □
	73			7
Пример 6. Дана ось кругового				цилиндра x = 9 − t, y = 4 − 2t,
z = 7 + 2t и точка M0 (1;−2;3)		на		его		поверхности. Составить

уравнение цилиндра.

Решение. Перепишем уравнения оси цилиндра в канонической форме

x − 9 = y − 4 = z − 7 .

−1 −2 2

221

Тогда	образующие	цилиндра	параллельны
вектору a = (−1;−2;2) . Уравнение		плоскости, перпендикулярной
образующим,	и проходящей через	точку M0 (1;-2;3)	имеет вид

−x − 2y + 2z + d = 0 . Подставляя координаты точки M0 и вычисляя d ,

получаем −x − 2y + 2z − 9 = 0 .
Обозначим через	N	точку пересечения плоскости

−x − 2y + 2z − 9 = 0 и оси цилиндра. Найдем ее координаты из системы

x - 9 = y - 4 = z - 7 , −x − 2y + 2z − 9 = 0 . -1 -2 2

æ 23 4 29 ö

Получим точку N ç ; ; ÷ .

è 3 3 3 ø

Линия, по которой искомый цилиндр пересекает плоскость, перпендикулярную образующим, является его направляющей. В общем виде эта линия представляет собой эллипс. Для кругового цилиндра направляющей является окружность. Ее уравнение найдем как линию пересечения плоскости −x − 2y + 2z − 9 = 0 и сферы с

центром в точке N и радиуса

M0 N =

æ 23

ö2

æ 4

ö2

æ

29

ö2

ç

-1÷

+ ç

+ 2

÷

+ ç

- 3

÷

=10 .

3

3

3

è

ø

è

ø

è

ø

Уравнение сферы имеет вид

æ

23 ö2

æ

4 ö2

æ

29

ö2

ç x -

÷

+

ç y

-

÷

+ ç z

-

÷

=100 .

3

è

3 ø

è

3 ø

è

ø

Таким образом, уравнения направляющей цилиндра:

ìæ	23 ö2		æ	4 ö2		æ	29 ö2
ïç x -		÷	+ ç y -		÷	+ ç z -		÷	=100,
							3
ïíè	3 ø		è	3 ø		è		ø
î-x - 2y + 2z - 9 = 0.

Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей, т.е.

ìæ

23

ö2

æ

4

ö2

æ

29 ö2

ïç x0

-

÷

+ ç y0

-

÷

+ ç z0

-

÷

=100,

3

3

íè

ø

è

ø

è

3 ø

ï-x - 2y

0

+ 2z

0

- 9 = 0.

î

0

Составим уравнения образующей, проходящей через эту точку:

x - x0 = y - y0 = z - z0 .

-1 -2 2

Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 :

222

x =		8	x -		2	y +					2	z -1, y = -								2			x +		5	y +				4	z - 2, z					0	=	2	x +		4		y +		5	z + 2 ,
0	9				9						9						0	9							9				9								9			9				9
	æ 8				x -			2			y +		2			z -1-		23 ö2							æ		2		x +			5	y		4		z - 2 -			4		ö2
	ç																					÷ +			ç	-								+								÷		+
								9					9					3									9					9			9					3
	è 9																				ø				è																	ø
	æ				2		x				4	y			5		z + 2 -				29			ö2
	+ç							+					+											÷	=100.
					9						9				9						3
	è																							ø
	Искомое уравнение цилиндра
		8x2 + 5y2 + 5z2 - 4xy + 8yz + 4xz -156x - 60y -138z + 405 = 0 . □
	Пример 7. Написать уравнение цилиндрической поверхности,
направляющая											которой							имеет							уравнение											x2 + y2 = 36, z = 0 , а

образующая составляет равные углы с осями координат.

Решение. Так как образующие составляют равные углы с осями координат, то они параллельны вектору a = (1;1;1) .

Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей цилиндра, тогда

(x0 )2 + ( y0 )2 = 36, z0 = 0 .

Запишем уравнения образующей цилиндра, проходящей через эту точку: x - x0 = y - y0 = z - z0 .

Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 : x0 = x - z, y0 = y - z , (x - z)2 + ( y - z)2 = 36 .

Искомое уравнение цилиндра x2 + y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 36 = 0 . □

Пример 8. Составить уравнение кругового цилиндра, описанного около двух сфер:

(x -1)2 + ( y - 2)2 + (z + 2)2 = 36, x2 + y2 + z2 = 36 .

Решение. Очевидно, ось цилиндра проходит через центры

(1;2;−2), (0;0;0)	заданных сфер. Уравнения оси						цилиндра в
канонической	форме имеют вид	x - 0	=	y - 0		=	z - 0	или
		1- 0					-2 - 0
			2 - 0

1x = 2y = -z2 .

Тогда образующие цилиндра параллельны вектору a = (1;2;−2) .

Уравнение плоскости, перпендикулярной образующим, и проходящей через центр (0;0;0) второй сферы, имеет вид x + 2y − 2z = 0 .

223

Таким образом, направляющей цилиндра является линия пересечения любой из сфер, например, второй, и плоскости

x + 2y − 2z = 0 ,

т.е. уравнения направляющей цилиндра:

														ì		2		+ y		2			+ z						2	= 36,
														ïx
														í		+ 2y - 2z = 0.
														ïx
														î
	Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на направляющей, т.е.
										ì					2	+ ( y )							2				+		(z					)	2		= 36,
											ï(x )																				0
										í				0				0
											ïx + 2y - 2z																0	= 0.
										î		0						0
	Составим уравнения образующей, проходящей через эту точку:
													x - x0				=		y - y0										=				z - z0								.
														1								2													-2
	Исключаем из полученных уравнений x0 ,																																							y0 ,			z0 :
	x =		8	x -		2		y +		2	z, y = -					2		x +			5				y +					4		z, z							0	=		2	x +	4		y +	5	z ,
		0	9			9				9		0				9				9										9												9		9	9
æ	8		2			2			ö2	æ		2				5				4								ö2						æ	2							4		5	ö2
ç		x -			y +				z ÷	+ ç -				x +				y +								z		÷		+				ç					x +				y +			z ÷ = 36 .
	9		9			9						9				9				9															9							9		9
è									ø	è																		ø						è											ø

Искомое уравнение цилиндра

8x2 + 5y2 + 5z2 - 4xy + 8yz + 4xz - 324 = 0 . □

30. Конические поверхности. Конической называется поверхность,

описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и проходящей через некоторую точку (вершину). Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде

x2

+

y2

−

z2

= 0 .

(5)

a2

b2

c2

Геометрически коническую поверхность можно изобразить, как

показано на рис. 4.

Аналогично, уравнения

x2

−

y2

+

z2

= 0 ,

−

x2

+

y2

+

z2

= 0

b2

c2

a2

b2

c2

a2

являются уравнениями конусов второго порядка, осями которых служат соответственно оси Оу, Ох, с вершинами в начале координат.

224

Пример 9. Составить уравнение конуса, направляющая

которого задается уравнениями

x2

+

z2

=1, y = 0 ,

а вершина

25

находится в точке S(0;−3;4) .

36

Решение. Составим

уравнение

образующей

АS,

где

A(x0; y0; z0 ) – точка, лежащая

на

направляющей эллипса.

Это

уравнение имеет вид

x

=

y + 3

=

z − 4

. Так как точка А лежит на

x

y + 3

z

0

− 4

0

0

эллипсе, то ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса, т.е.

x2

z2

0

+

0

=1, y0 = 0 .

25

36

Найдем x0 , y0 , z0

из системы

z − 4

x

z − 4

y + 3

=

,

=

, y0 = 0 .

x

z

0

− 4

y

0

+ 3

z

0

− 4

0

3z −12

3z + 4y

Получим

x0

=

3x

,

z0 =

+ 4 =

и подставим в

y +

3

y + 3

y + 3

уравнение

x02

+

z02

=1:

9x2

+

(3z + 4y)2

= (y + 3)2 .

36

25

36

25

После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид

324x2 − 500y2 + 225z2 + 600zy − 5400y − 8100 = 0 . □

Пример 10. Написать уравнение конуса с вершиной S(1;2;4) , образующие которого составляют с плоскостью 4x + 4y + 2z − 3 = 0

угол 45o .

Решение. Направляющий вектор оси MS (рис. 5) конуса совпадает с нормальным вектором данной плоскости a = (4;4;2) .

Тогда уравнение оси MS:

x4−1 = y 4− 2 = z −2 4 .

Найдем точку M пересечения оси с данной плоскостью из системы

225

x -1

=

y - 2

=

z - 4

, 4x + 4y + 2z − 3 = 0 .

4

4

2

Откуда точка пересе-

æ

8

1

55

ö

Рис. 5

чения

M ç

-

;

;

÷ .

9

9

18

è

ø

Рассмотрим осевое сечение конуса ABS . Так как образующие конуса составляют с плоскостью 4x + 4y + 2z − 3 = 0 углы 45o , то ÐASB = 90o , т.е. ABS является равнобедренным и прямоугольным.

Тогда высота MS = AM =

æ

8

ö2

æ

1

ö2

æ

55 ö2

17

ç1

+

÷

+ ç

2 -

÷

+

ç4

-

÷

=

.

9

9

18

6

è

ø

è

ø

è

ø

Уравнение сферы с центром в точке M радиуса AM имеет вид

æ

8 ö2

æ

1

ö2

æ

55 ö2

289

ç x +

÷

+

ç y -

÷

+

ç z -

÷ =

.

9

36

è

9 ø

è

ø

è

18 ø

Эллипс, по

которому пересекается

конус

с

плоскостью

4x + 4y + 2z − 3 = 0 , задается

как

линия

пересечения

полученной

сферы с центром в точке

M радиуса AM

и заданной плоскости,

т.е.системой

ìæ

8 ö2

æ

1 ö2

æ

55 ö2

289

ïç x +

÷

+ ç y

-

÷

+ ç z

-

÷ =

,

ïíè

9

ø

è

9 ø

è

18

ø

36

î4x + 4y + 2z - 3 = 0.

Возьмем произвольную точку (x0; y0; z0 ) на эллипсе, т.е.

ìæ

8 ö2

æ

1 ö2

æ

55 ö2

289

ïç x0 +

÷

+

ç y0

-

÷

+ ç z0

-

÷

=

,

36

íè

9 ø

è

9 ø

è

18 ø

ï4x + 4y

0

+ 2z

0

- 3 = 0.

î

0

Уравнение образующей АS,проходящей через эту точку,

имеет вид

x -1

=

y - 2

=

z - 4

.

y - 2

x -1

z

0

- 4

0

0

Исключаем из полученных уравнений x0 ,

y0 , z0 :

x =

-13x + 4y + 2z - 3

, y =

8x - 9y + 4z - 6

, z =

16x +16y - 9z -12

,

2(2x + 2y + z -10)

0

2(2x + 2y + z -10)

0

0

2(2x + 2y + z -10)

226

Рис. 6

æ

-13x + 4y + 2z - 3

8

ö2

æ

8x - 9y + 4z - 6

1

ö2

ç

+

÷

+ ç

-

÷ +

2(2x + 2y + z -10)

9

2(2x + 2y + z -10)

9

è

ø

è

ø

æ

16x +16y - 9z -12

55

ö2

289

+ç

-

÷

=

.

è

2(2x + 2y + z -10)

18

ø

36

После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид

x2 + y2 + 7z2 -16xy - 8xz - 8zy + 62x + 44y - 32z -11 = 0 . □

Пример 11. Составить уравнение конуса, описанного около

сферы x2 + y2 + z2 = 9 , если

вершина конуса находится в точке

S(0;0;6) .

Решение. Радиус OB сферы равен 3, центр находится в точке O(0;0;0) . Расстояние OS = 6 (рис. 6). Найдем уравнения окружности,

по которой сфера пересекает конус. Очевидно, плоскость окружности параллельна плоскости Oxy . Обозначим через A точку пересечения

плоскости окружности с осью OS

цилиндра.

Найдем

третью

координату точки A. Треугольники SBO,

BAO подобны. Тогда

BO

=

AO

,Û

3

=

z

, z =

3

.

6

2

SO

BO

3

Таким образом, направляющая конуса

имеет вид

ìx2

+ y2 + z2 = 9,

ìx2 + y2 =

27

,

4

ï

или

ï

í

3

í

3

ïz =

ï

î

2

ïz =

2

.

î

Возьмем

произвольную

точку

(x0; y0; z0 ) на эллипсе, т.е.

(x0 )2 + (y0 )2 = 274 , z0 = 32 .

Уравнение образующей конуса, проходящей через точку S, имеет вид

x = y = z - 6 . x0 y0 z0 - 6

Исключаем из полученных уравнений x0 , y0 , z0 :

227

x =

-9x

, y =

-9y

, z

=

3

,

æ -9x ö2

+

æ -9y

ö2

=

27

.

0

ç

÷

ç

÷

0

2z -12

0

2z -12

2

4

è

2z -12 ø

è 2z -12 ø

После преобразований уравнение искомого конуса имеет вид

3x2 + 3y2 - z2 +12z - 36 = 0 или x2 + y2 -

(z - 6)2

=1. □

3

40. Пары плоскостей. Пара пересекающихся плоскостей задается

уравнением

x2

−

y2

= 0 ,

(6)

a2

b2

пара параллельных плоскостей задается уравнением

x2

= 1,

(7)

а пара совпадающих плоскостей –

a2

x2 = 0 .

(8)

Пример 12. Какую поверхность определяет в пространстве

уравнение 2z2 = 3xz ?

Решение.

Уравнение

2z2 = 3xz

может

быть представлено в

виде z(2z − 3x) = 0 и распадается на два уравнения z = 0, 2z = 3x , т.е.

оно определяет две пересекающиеся плоскости – плоскость Оху и плоскость 2z = 3x , проходящую через ось Оу. □

Пример 13. Каков геометрический смысл уравнения x2 + 4y2 + 9z2 +12yz + 6xz + 4xy - 4x - 8y -12z + 3 = 0 ?

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

x2 + x(6z + 4y - 4) + (4y2 + 9z2 +12yz - 8y -12z + 3) = 0 .

Разрешая это уравнение как квадратное относительно x , имеем уравнение

(x + 2y + 3z − 3)(x + 2y + 3z −1) = 0 ,

которое распадается на два уравнения параллельных плоскостей x + 2y + 3z − 3 = 0 и x + 2y + 3z −1 = 0 . □

228

50 . Эллипсоид. Эллипсоидом

(рис. 7) называется поверхность,

определяемая

в

декартовой

системе

координат

Oxyz

каноническим уравнением

x2

+

y2

+

z2

= 1 ,

(9)

a2

c2

b2

где величины а, b, c называют полуосями

эллипсоида.

Из

уравнения

(9)

вытекает, что

координатные

плоскости

являются

Рис. 7

плоскостями симметрии эллипсоида, а

начало координат – центром симметрии.

Точки пересечения осей координат с эллипсоидом

называют вершинами эллипсоида.

В случае a = b = c эллипсоид является сферой.

Пример 14. Составить уравнение эллипсоида вида (9), если на его

æ

5

ö

æ

2 ö

поверхности заданы три точки A(3;0;0), Bç -2;

;0÷

, C ç

0;-1;

÷ .

3

è

ø

è

5 ø

Решение. Подставим координаты точек

A, B, C в уравнение (9).

Получим систему уравнений

9

=1,

4

+

25

=1,

1

+

4

=1.

a2

a2

5c2

9b2

b2

Отсюда

a2 = 9, b2 = 5, c2 =1.

Тогда

искомое

уравнение

эллипсоида

x2

+

y2

+

z2

=1. □

9

5

1

Пример 15. Привести к каноническому виду уравнение

4x2 + 9y2 +16z2 - 8x -18y - 32z +13 = 0 .

Решение. Выделим полные квадраты для каждой из переменных x, y, z :

4(x2 - 2x +1) - 4 + 9(y2 - 2y +1) - 9 +16(z2 - 2z +1) -16 +13 = 0

или 4(x -1)2 + 9( y -1)2 +16(z -1)2 =16 . Разделим обе части уравнения

на 16 и получим	(x -1)2	+	( y -1)2			+ (z -1)2 =1.
	4		16
				9

229

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (1;1;1) и полуосями a = 2, b = 43 , c =1. □

60. Поверхности вращения. Поверхность, образованная вращением

линии

ìx = ϕ1(z),

(10)

í

= ϕ2 (z)

î y

вокруг оси Oz определяется уравнением

x2 + y2 = ϕ12 (z) +ϕ22 (z) .

(11)

Аналогично определяются поверхности вращения вокруг осей Ox и Oy .

Пример 16. Составить уравнение поверхности, полученной в

результате вращения эллипса

x2

+

z2

=1, y = 0 вокруг оси Oz .

a2

c2

Решение. Поверхность, полученная при

вращении

эллипса

x2

+

z2

=1, y = 0 вокруг оси Oz , называется эллипсоидом вращения.

a2

c2

По формулам (10) имеем

æ

z2

ö

x2 = ϕ12 (z) = a

2 ç1-

÷, y = ϕ2

(z) = 0 .

2

ç

c

÷

è

ø

Согласно (11), получим уравнение эллипсоида вращения

æ

z

2 ö

x

2

y

2

z

2

=1. □

x2 + y2 = a2 ç1

-

÷ или

+

+

2

2

2

ç

c

2 ÷

a

a

c

è

ø

70. Гиперболоиды. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой системе координат Oxyz определяется

каноническим уравнением
	x2	+	y2	-	z2	= 1.	(12)
	a2		b2		c2

Такой гиперболоид изображен на рис. 8.

230