Математика для инженеров(практика) I часть

10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(2;0) и

M2 (4;6) .

11.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку: а) (–3;5), б) (7;–1).

12.Построить прямые 6x − 7y + 2 = 0, 3x −16 = 0, 8y + 3 = 0 .

13.Написать уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки a =1,25 и b =1,5 .

14.Вычислить координаты точки M , если угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку M , равен

12 , и точка M удалена от начала координат на 5 .

15.Диагональ прямоугольника, две стороны которого совпадают с положительными направлениями осей координат, равна 20.

Угловой коэффициент диагонали равен 43 . Найти вершины прямоугольника.

16.Дано общее уравнение прямой 3x − 4y +16 = 0 . Написать:

а) уравнение прямой с угловым коэффициентом; б) уравнение прямой в отрезках; в) нормальное уравнение прямой.

17. Дано общее уравнение прямой x − 3y + 5 = 0 . Написать: а)

уравнение прямой с угловым коэффициентом; б) уравнение прямой в отрезках; в) нормальное уравнение прямой.

18.Составить нормальное уравнение прямой, проходящей через точки M1(0;4) и M2 (3;−5) .

19.	Найти точки	пересечения	с	осями	координат прямой: а)
	6x + 2y − 3 = 0 ;	б) 7x + 5y − 2 = 0 и построить их.
20.	На прямой 3x + y − 2 = 0 найти точку				M , равноудаленную от
	точек A(2;5) и B(3;6) , и		вычислить		площадь треугольника
	ABM .			y = 3x + 4, y = −2x +1;
21.	Найти угол между прямыми: а)
	б) 6x − y = 2, 4x + 2y = −1; в)			3x − 4y + 2 = 0, 4x + 3y −1 = 0 .

22.Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой 4x − 2y =1 с осями координат.

23.Найти длину отрезка, отсекаемого прямой y = 3x +12 на осях координат.

141

24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются точки (6;5) ,

(−1;−2), (2;7) .

25. В треугольнике с вершинами A(−1;2), B(4;4), C(4;−1) найти

длины всех высот.

26. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами

A(3;−1), B(4;2), C(−1;−4) .

27. Даны вершины треугольника A(3;0), B(0;−2), C(3;2) . Составить

	уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины C и
	найти ее длину.			A(4;5), B(2;6), C(−3;−4)
28.	Для	треугольника с	вершинами
	составить уравнение биссектрисы угла B.			ABC: −3x + 5y −18 = 0 ,
29.	Даны	уравнения высот	треугольника

2x + 7y + 26 = 0, 5x + 2y − 8 = 0 и координаты вершины B(4;6) . Составить уравнения сторон треугольника.

30.Найдите вершины и величины углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями x + 3y = 0, x = 3, x − 2y + 3 = 0 .

31.Найти длину отрезка, отсекаемого координатными осями от прямой, проходящей через точки M (12;7), N(−6;14) .

32.Прямая, проходящая через точку A(−4;3) , отсекает на оси Oy отрезок равный 8. Составить уравнение этой прямой.

33.Найти вершины треугольника, если его стороны заданы уравнениями 7x + 3y − 25 = 0, 2x − 7 y −15 = 0, 9x − 4y +15 = 0 .

34. Найти угловой коэффициент прямой: а) x = 2t, y = −4t ;

б) x = 5 + 2t, y = 4 − t ; в) x = 2, y = 4t + 2 .

35. Найти острый угол между двумя прямыми, если первая из них проходит через точки (3;6) и (2;1) , вторая – через точки

(−2;−8), (0;−4) .

36.Найти острый угол между двумя прямыми, имеющими общую точку M (0;1) , если первая из них проходит через точку A(3;5) , вторая – через точку B(6;−3) .

37.Дан треугольник с вершинами A(−4;2), B(6;8), C(2;0) . Найти

угол между стороной AB и медианой, проведенной из вершины A.

38. Найти острый угол между	прямой x + 6y − 3 = 0 и прямой,
проходящей через точки (2;−3)	и (4;−4) .

142

39. Найти острый угол между двумя прямыми, проходящими через начало координат и через точки, которыми отрезок прямой x + 3y − 9 = 0 , содержащийся между осями координат, делится в

отношении 1:3:2 в направлении от точки пересечения его с осью Ox к точке пересечения с осью Oy .

40. Найти острый угол между двумя прямыми, проходящими через точку M (4;3) и через точки, которыми отрезок прямой

x + 2y − 6 = 0 , содержащийся между осями координат, делится в

отношении 3:1:2 в направлении от точки пересечения его с осью Ox к точке пересечения с осью Oy .

41.Установить, какие из пар прямых совпадают, параллельны или пересекаются. В случае пересечения прямых найти их общую точку:

а) x + 2y +1 = 0 и 3x + 6y + 3 = 0 ;

б) x = 3t + 2, y = 2t −1 и x = 3t −1, y = 2t ; в) 2x − y + 6 = 0 и 3x + y −1 = 0 ;

г) 3x − y + 5 = 0 и 2x − 4y + 20 = 0 ; д) 2x − y − 3 = 0 и x = 2t +1, y = 3t −1.

42.Даны две прямые ax + by + c = 0 и x = x0 + lt, y = y0 + mt . Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эти прямые: а) пересекались; б) были параллельны; в) совпадали.

43.Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(2;3) и

образующих с прямой 3x + 2y −10 = 0 угол arctg 34 .

44.Составить уравнения прямых, проходящих через начало

координат и образующих с прямой x − y +1 = 0 угол 45o . Найти точку пересечения полученных прямых с данной.

45.Две прямые, проходящие через начало координат, образуют между собой угол arctg 13 . Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно 72 . Составить уравнения этих прямых.

46.В треугольнике с вершинами A(3;3), B(5;8), C(−1;0) составить

уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине С.

143

47.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (4;2) параллельно прямой 3x − 8y +1 = 0 .

48.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (5;−11) параллельно прямой 6x + 8y −1 = 0 .

49.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (−2;−4)

параллельно прямой 2x + 5y =1.

50.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2;−3) параллельно прямой, проходящей через точки (2;6), (−1;2) .

51.Составить уравнение прямой, проходящей через точку

пересечения прямых 3x + y −1 = 0 и x − 2y − 5 = 0 параллельно прямой 2x + 3y + 7 = 0 .

52.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2;6) перпендикулярно прямой x − 5y + 3 = 0 .

53.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (−4;5)

перпендикулярно прямой 5x − 7y =1 .

54.Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, пересекающей ось Ox в точке (3;0) и ось Oy в точке (0;−16) .

55.Составить уравнение прямой, проходящей через точку

пересечения	прямых	x + y − 5 = 0, 6x − 8y − 30 = 0	и
перпендикулярно прямой 3x + y +1 = 0 .

56.Составить уравнение серединного перпендикуляра отрезка, соединяющего точки A(−3;5) и B(2;2) .

57.Прямая проходит через середину отрезка прямой 2x − 5y + 20 = 0 ,

заключенного между осями координат, перпендикулярно к этому отрезку. Составить уравнение этой прямой.

58. Даны уравнения сторон треугольника 2x − 3y − 6 = 0 , 5x − 7y −16 = 0 , 3x − 4y − 9 = 0 . Составить уравнения его высот.

59.Найти длину траектории, по которой должна двигаться точка, начальное положение которой (2;0) , чтобы кратчайшим путем дойти до прямой 6x + 5y −1 = 0 .

60.Найти расстояние от точки (−5;−8) до прямой x + y + 2 = 0 .

144

61. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

3x + 4y −10 = 0 и 3x + 4y +12 = 0 .

62.В параллелограмме ABCD даны вершины A(0;1), B(3;6) , C(4;6) .

Найти отношение длин диагоналей AC и BD, а также составить уравнения сторон параллелограмма и его диагоналей.

63.Даны точки A(3;1), B(2;4), C(−2;0) , являющиеся вершинами

равнобедренной трапеции ABCD. Найти координаты точки D, если длина основания BC в 2 раза больше основания AD.

64.При повороте вокруг начала координат точка A(2;3) перешла в точку B(3;2) . Найти косинус угла AOB.

65.Известны координаты D(1;2) , E(−3;2), F(−5;1) середин сторон

треугольника. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

66.Даны координаты двух вершин треугольника A(2;−3) , B(−2;4) и

координаты	точки пересечения медиан этого		треугольника
M (2;2) . Найти координаты вершины C.
67. Докажите,	что фигура, ограниченная	прямыми	x + 2y + 7 = 0 ,
x + 2y +1 = 0, 2x − y − 2 = 0, 2x − y + 4 = 0 ,		квадрат.	Найдите его

площадь.

68. Даны две смежные вершины квадрата A(1;3), B(4;2) . Составьте

уравнения его сторон и найдите точку пересечения его диагоналей, если известно, что квадрат целиком принадлежит первой четверти.

69. Луч света, выйдя из точки A(3;10) , отражается от прямой 2x + y − 6 = 0 и после отражения проходит через точку B(7;2) .

Составить уравнения падающего и отраженного лучей. Указание: Угол падения равен углу отражения.

70. Даны уравнения высоты 9x − 4y − 5 = 0 , биссектрисы x =1 и медианы 4x + y − 5 = 0 треугольника, проведенные из одной вершины. Найти вершины треугольника.

71.Заданы вершины треугольника A(2;1), B(−5;−1), C(5;4) . Найти углы B и C.

72.Найти центр тяжести (точку пересечения медиан) треугольника с вершинами A(3;−5) , B(4;2), C(−1;−1) .

73.Найти центр тяжести треугольника, если заданы уравнения его сторон 2x + 5y − 32 = 0, 5x − 7 y − 2 = 0, 7x − 2y + 5 = 0 .

145

74.	Две	противоположные вершины		квадрата лежат в точках
	(2;4), (3;−3) . Составить уравнения сторон и диагоналей квадрата.
75.	Даны	уравнения двух	сторон	треугольника	3x − 2y +1	= 0 ,
	x − y +1 = 0 и уравнение		одной	из его медиан	2x − y −1	= 0 .
	Составить уравнение третьей стороны треугольника.

76.Даны уравнения двух сторон ромба 4x − y + 5 = 0 , x − 4y + 5 = 0 и уравнение одной из его диагоналей x + y − 5 = 0 . Найти уравнения

	двух других сторон ромба и второй диагонали.					4x + 2y − 5 = 0 ,
77.	Даны	уравнения средних линий треугольника
	x − 5y +18 = 0, 5x − 3y + 2 = 0 . Найти вершины треугольника и его
	площадь.					x + 5y −14 = 0 ,
78.	Даны	уравнения	сторон	треугольника
	5x + 2y −1 = 0, 9x − y − 34 = 0 .			Найти	координаты		центра

окружности, описанной около треугольника.

79. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин C(4;3) , а также уравнения x + 2y − 5 = 0 биссектрисы и

4x +13y −10 = 0 медианы, проведенных из одной вершины.

80.Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника

x+ 2y − 5 = 0, 2x + y +10 = 0 и точка M (−1;2) , лежащая на его ос-

новании. Найти центр тяжести треугольника.
81. Даны	уравнения	высоты	x − y +1 = 0 ,	биссектрисы
3x −11y − 5 = 0 , проведенных из одной вершины треугольника, и
вершина	(1;3) .	Найти координаты остальных вершин

треугольника.

82.В равнобедренном прямоугольном треугольнике дано уравнение стороны AB: 2x − 3y +15 = 0 и вершина A(−3;3) . Найти уравнения двух других сторон, если длина высоты, проведенной из вершины прямого угла A, равна 26 .

83.Известны координаты вершин A(−4;3), B(4;−1) треугольника ABC. Найти координаты вершины C, если известно, что

треугольник ABC равносторонний.
84. Найти	прямую,	принадлежащую	пучку

2x − 3y +1+ λ(x − 2y + 2) = 0 и проходящую через точку N(1;−4) .

85.К прямой, проходящей через точки A(−4;2) и B(8;4) проведен

перпендикуляр через точку, которая делит расстояние AB (от A к B) в отношении 3:4. Составить уравнение перпендикуляра.

146

86. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, если уравнение его гипотенузы 2x + 3y = 0 , а

вершина прямого угла лежит в точке B(5;1) .

87.Даны вершины B(5;9), C(8;3) треугольника ABC. Найти

уравнение прямой, проходящей через точку пресечения медианы BE: x = 5 и высоты AF: 2x − 3y + 5 = 0 , и параллельной стороне

BC.

88.В треугольнике с вершинами A(4;6), B(3;−1) даны уравнения

высот BE: 5x + 2y −13 = 0 и AD: 4x − 5y +14 = 0 . Написать уравнения сторон треугольника.

89.Дана равнобедренная трапеция, вершины которой лежат на координатных осях и BC || AD . Написать уравнения оснований трапеции, если известны вершины B(−3;0), C(0;3) и длина боковой стороны CD равна 45 .

90.Даны уравнения медиан x + y − 5 = 0, 3x + y − 9 = 0 треугольника и одна его вершина B(1;−4) . Составить уравнения сторон

треугольника.	x − y − 3 = 0, 5x + 4y − 9 = 0
91. Даны уравнения медиан		и

4x + 5y − 6 = 0 треугольника. Его площадь S = 6 . Найти вершины треугольника.

92.В параллелограмме ABCD с вершинами A(2;3), B(9;4) , C(7;−1) найти отношение длин большей высоты к меньшей.

93.В ромбе ABCD известны вершина D(3;1) и точка пересечения диагоналей S(2;3) . Написать уравнения сторон ромба, если отношение большей диагонали AC к меньшей BD равно 215 3 .

94.Ромб состоит из двух равносторонних треугольников с общей стороной AC. Найти координаты вершин B и D, если даны вершины A(−3;2), C(3;−1) .

95.Даны вершина A(2;−4) треугольника и уравнения биссектрис двух его углов: x + y − 2 = 0 и x − 3y − 6 = 0 . Составить уравнения сторон треугольника.

147

96. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(3;4) и уравнения двух высот 2x − 5y + 8 = 0 и

x + y − 4 = 0 .
97. Найти центр	окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник со	сторонами 7x − y − 9 = 0, 5x + 5y − 35 = 0 и с
точкой M (3;−8)	на основании.

98.На прямой x − y +1 = 0 найти точку, сумма расстояний от которой до точек M (4;2) и N(−1;−3) наименьшая.

99.На прямой x − 6y +15 = 0 найти точку, равноудаленную от точки

(−1;6) и прямой 4x + 3y + 4 = 0 .

100. Известны одна	вершина квадрата	A(4;−1) и	прямая
4x − 3y −11 = 0 , на	которой лежит одна	из сторон. На	каких
прямых лежат остальные стороны этого квадрата?

§3. Плоскость

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Пусть заданы прямоугольная система

координат Oxyz , точка M0 (x0 ; y0 ; z0 ) и ненулевой вектор n = (A; B;C) .

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку	M0
перпендикулярно вектору n имеет вид
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .	(1)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (3;4;5) и перпендикулярной вектору n = 5i + 3 j + 4k .

Решение. По формуле (1) уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n , имеет вид

5(x − 3) + 3( y − 4) + 4(z − 5) = 0 или 5x + 3y + 4z − 47 = 0 .□

20. Общее уравнение плоскости. Раскроем скобки в (1) и обозначим D = −(Ax0 + By0 + Cz0 ) . Тогда уравнение (1) примет вид

Ax + By + Cz + D = 0 .

(2)

Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Вектор n = (A; B;C) перпендикулярен плоскости (2) и называется

нормальным вектором плоскости (2).

148

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (−1;3;2) параллельно плоскости 2x − 3y + z −10 = 0 .

Решение. Нормальный вектор данной плоскости n = (2;−3;1) .

Т.к искомая плоскость параллельна данной плоскости, то она имеет тот же нормальный вектор. Тогда по формуле (1) уравнение искомой

плоскости	имеет		вид	2(x +1) − 3(y − 3) + (z − 2) = 0			или
2x − 3y + z + 9 = 0 . □
30. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Пусть плоскость задана			тремя	точками A(x1; y1; z1), B(x2; y2 ; z2 )			и
C(x3; y3; z3 ) . Уравнение такой плоскости имеет вид
		x − x1 y − y1 z − z1
		x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1				= 0 .	(3)
		x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

Пример 3. Из точки M (2;3;−5) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через

их основания.
Решение.	Основаниями	перпендикуляров точки	M на
координатные	оси	являются	точки

M x (2;0;0), M y (0;3;0), M z (0;0;−5) . Уравнение плоскости, проходящей через точки M x , M y , M z , по формуле (3) запишется так:

x − 2 y − 0

z − 0

x − 2 y z

0 − 2

3

− 0

0 − 0

= 0 или

− 2

3

0

= 0.

0 − 2

0 − 0 − 5 − 0

− 2

0 − 5

Вычисляя определитель, получим

(x − 2)

3

0

− y

−2

0

+ z

−2

3

= 0 или −15(x − 2) −10y + 6z = 0 .

0

− 5

−2

− 5

−2

0

Таким образом,

15x +10y − 6z − 30 = 0 –

искомое уравнение

плоскости. □

40. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в общем уравнении плос-

кости (2) A ¹ 0, B ¹ 0, C ¹ 0, D ¹ 0

. Перепишем его в виде

x

+

y

+

z

= 1.

D

−

D

−

D

−

A

B

C

149

Отсюда, полагая −

D

= a, −

D

= b,

−

D

= c , получим

A

B

C

x

+

y

+

z

= 1 .

(4)

a

b

c

Уравнение (4) называют уравнением плоскости в «отрезках», т.к.

знаменатели a, b, c есть

величины

отрезков, отсекаемых

плоскостью

соответственно на осях координат Ox, Oy, Oz .

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(4;3;5) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Решение. По условию искомая плоскость отсекает на осях

координат равные		отрезки,		т.е. пересекает		их в			точках
(a;0;0), (0;a;0),(0;0;a) . По			формуле (3)		уравнение плоскости α
имеет вид
	x - a y - 0 z - 0				x - a y z
	0 - a	a - 0	0 - 0	= 0 или	- a a	0		= 0.
	0 - a 0 - 0 a - 0				- a 0	a
Упрощая,		получим		a2 (x - a) + a2 y + a2 z = 0					или

x + y + z − a = 0 – уравнение искомой плоскости. Определим параметр

a . Для этого подставим в уравнение плоскости координаты точки A и получим 4 + 3 + 5 − a = 0, a =12 . Тогда, окончательно, уравнение

плоскости имеет вид x + y + z −12 = 0 . □

50. Угол между плоскостями. Пусть заданы уравнения двух

плоскостей

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

(5)

Углом ϕ между плоскостями (5) называется любой из двух смежных

двугранных углов,

образованных этими плоскостями. Угол ϕ определяется

из формулы

A1A2 + B1B2 + C1C2

cosϕ =

.

(6)

Пример 5.

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

Определить меньший

угол

между

плоскостями

4x + 3y − z = 0 и 2x + y − 5z +1 = 0 .

Решение. По формуле (6) косинус угла между данными

плоскостями равен

2× 2 + 3×1+ (-1) ×(-5)

12

6

cosϕ =

=

=

.

42 + 32 + (-1)2 22 +12 + (-5)2

780

195

150