Математика для инженеров(практика) I часть

Тогда ϕ = arccos	6			. □
		195

Условие параллельности плоскостей (5) имеет вид

A1 = B1 = C1 . (7)

A2 B2 C2

Отсюда вытекает также условие совпадения плоскостей (5):

A1

=

B1

=

C1

=

D1

.

(8)

A

B

C

2

D

2

2

2

Условие перпендикулярности плоскостей (5) имеет вид

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .

(9)

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точки

M1(3;1;3), M2 (6;2;4)

и

перпендикулярной

к

плоскости

4x + 3y - z + 8 = 0 .

Решение. Будем искать уравнение плоскости в виде (2). Она

должна

быть

перпендикулярна

плоскости 4x + 3y - z + 8 = 0 . По

условию (9) перпендикулярности плоскостей имеем

A× 4 + B ×3 + C ×(-1) = 0 .

Точки M1, M2 принадлежат искомой плоскости.

Значит, их

координаты

удовлетворяют

уравнению

(2),

т.е. A ×3 + B ×1+ C ×3 + D = 0 , A ×6 + B ×

2 + C × 4 + D = 0 . Решим систему

ì4A + 3B - C = 0,

ì7A + 4B = 0,

ï

Û

ï

+ B

+ C = 0,

í3A + B + 3C + D = 0,

í3A

ï

= 0

ï

+ B

+ 3C + D = 0.

î6A + 2B + 4C + D

î3A

Отсюда

B = -

7

A, C = -

5

A, D =

10

A .

Подставляя

найденные

4

4

4

7

5

10

B, C, D

в

уравнение

(2), получим

Ax -

Ay -

Az +

A = 0

или

4

4x - 7y - 5z +10 = 0 . □

4

4

60. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние

d от

точки

M1(x1; y1; z1)

до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

находится по формуле:

d =

Ax1 + By1 + Cz1 + D

.

(10)

A2 + B2 + C2

151

Пример 7. Две грани куба лежат на параллельных плоскостях x + 2y − z − 3 = 0 и x + 2y − z + 4 = 0 . Найти объем этого куба.

Решение. Находим длину ребра куба, равную расстоянию между параллельными плоскостями. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной из плоскостей до другой плоскости. Выберем на первой плоскости произвольную точку.

Приняв,

например, что x1 =1, y1 =1

из уравнения x + 2y − z − 3 = 0

найдем

z1 = 0 . По формуле (10)

находим

расстояние

от точки

M1(1;1;0)

до плоскости x + 2y − z + 4 = 0

d =

1×1+ 2×1-1×0 + 4

=

7

.

12 + 22 + (-1)2

6

Поскольку объем куба V = a3 и a = d =

7

, то V =

343

. □

6

6

6

Пример 8. Найти плоскости, расстояние от которых до плоскости 3x + 4y +12z − 2 = 0 равно 3.

Решение. Т.к. искомые плоскости параллельны данной, то их уравнения будем искать в виде 3x + 4y +12z + D = 0 . Расстояние

между плоскостями 3x + 4y +12z − 2 = 0 и 3x + 4y +12z + D = 0 равно

расстоянию

от

любой

точки

плоскости

3x + 4y +12z − 2 = 0

до

плоскости 3x + 4y +12z + D = 0 .

Выберем на

первой

плоскости

произвольную точку. Приняв,

например,

что

x1 = -2, y1 = -1

из

уравнения 3x + 4y +12z − 2 = 0

найдем

z1 =1.

По

формуле

(10)

находим расстояние

от

точки

M1(-2;-1;1)

до

плоскости

3x + 4y +12z + D = 0

d =

3×(-2) + 4×(-1) +12 ×1+ D

=

2 + D

.

2

+

4

2

+12

2

13

3

Таким

образом

2 + D

= 3 ,

2 + D

= 39, 2 + D = ±39 . Отсюда

13

D = 37 и D = −41.

3x + 4y +12z + 37 = 0

Уравнения

искомых

прямых

и

3x + 4y +12z − 41 = 0 . □

70. Пучок плоскостей. Уравнение

152

A1x + B1 y + C1z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

(11)

при произвольном вещественном λ определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей (5), и называется уравнением пучка плоскостей. Если плоскости, определяемые уравнениями

(5) параллельны, то пучком плоскостей является совокупность плоскостей, параллельных (5).

Пример 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 2y + 5z − 2 = 0 , 2x + 3y − 3z + 4 = 0

и точку M (1;2;3) .

Решение. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую пересечения данных плоскостей, по формуле (11) имеет вид

x + 2y + 5z - 2 + λ (2x + 3y - 3z + 4) = 0 . Точка M принадлежит одной

из плоскостей пучка, т.е. удовлетворяет	уравнению пучка. Тогда
1+ 2 × 2 + 5×3 - 2 + λ (2 ×1+ 3× 2 - 3×3 + 4) = 0 .	Отсюда	λ = −6 .
Уравнение искомой плоскости

x + 2y + 5z - 2 - 6(2x + 3y - 3z + 4) = 0 или 11x +16y − 23z + 26 = 0 . □

Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3y + 2z − 4 = 0, 3x − y − 5z + 3 = 0 и

отсекающей равные отрезки на осях Ox и Oz .

Решение. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую их пересечения, по формуле (11) имеет вид

x + 3y + 2z - 4 + λ (3x - y - 5z + 3) = 0

или x(1+ 3λ) + y(3 − λ) + z(2 − 5λ) = 4 − 3λ . Перепишем это уравнение в виде (4):

4 -x3λ + 4 -y3λ + 4 -z3λ =1.

1+ 3λ 3 - λ 2 - 5λ

	Так как плоскость					отсекает равные отрезки на осях Ox и Oz , то
	4 - 3λ	=	4	- 3λ	, откуда	1+ 3λ = 2 - 5λ, λ =	1	. Подставляя найденное
	1+ 3λ		2	- 5λ			8

λ в уравнение пучка, запишем уравнение искомой плоскости в виде

x + 3y + 2z - 4 + 18 (3x - y - 5z + 3) = 0 или 11x + 23y +11z − 29 = 0 . □

Пример 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через

153

точку M (6;−2;−10) и перпендикулярной плоскостям

5x − 4y + 3z + 2 = 0 , 2x − 3y + 2z +11 = 0 .

Решение. Будем искать уравнение плоскости в виде (2). Эта плоскость перпендикулярна двум данным плоскостям, т.е., по

условию		перпендикулярности							5A − 4B + 3C = 0 , 2A − 3B + 2C = 0 .
Точка		M			принадлежит				искомой	плоскости,	значит,
6A − 2B −10C + D = 0 . Решим систему полученных уравнений
ì5A - 4B + 3C = 0,									ì6A - 2B -10C + D = 0,
ï			+ 2C = 0,					Û	ï
í2A - 3B									í-4A - B = 0,
ï			-10C + D = 0						ï
î6A - 2B									î7A + C = 0.
Отсюда			B = −4A, C = −7A, D = −84A . Подставляя								гайденные
выражения в					(2), получим уравнение					искомой	плоскости
x − 4y − 7z − 84 = 0 . □
80.		Нормальное							уравнение	плоскости.	Пусть
u = cosα		+ cos β			+ cosγ		–	единичный вектор,		имеющий	направление
	i			j		k

перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; α, β , γ –

углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат

Ox, Oy, Oz

соответственно; p – длина этого перпендикуляра. Уравнение вида

x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0

(12)

называют нормальным уравнением плоскости.

Для приведения общего уравнения плоскости (2) к нормальному виду

(12)

нужно все

члены

уравнения

(2)

умножить

на

нормирующий

множитель μ = ±

1

,

где

знак

перед радикалом

выбирается

A2 + B2 + C2

противоположным знаку свободного члена D .

Пример 12. Привести к нормальному виду уравнение

плоскости 2x + y − z − 3 = 0 .

Решение.

Т.к.

D = −3 < 0 ,

то

μ > 0 .

Таки

образом,

μ =

1

=

1

. Тогда

по

формуле

(12)

нормальное

22 +12 + (-1)2

6

уравнение данной плоскости

2

x +

1

y

-

1

z -

3

= 0 . □

6

6

6

6

154

Задания для самостоятельной работы

1.	Написать	уравнение	плоскости, проходящей через точку
	A(6;2;−1)	и перпендикулярной вектору n(2;−1;0) .
2.	Выяснить взаимное положение плоскостей				3x − 2y + 2z − 5 = 0	и
	4x + 5y − z + 3 = 0 .				5x + 3y − z + 2 = 0
3.	Выяснить	взаимное положение плоскостей				и
	−10x − 6y + 2z + 3 = 0 .				2x − y + 3z − 4 = 0
4.	Выяснить взаимное положение плоскостей					и
	−6x + 3y − 9z +12 = 0 .			2x − 3y + z − 5 = 0
5.	Найти	угол между	плоскостями			и

4x − 5y + z − 8 = 0 .

6.Найти угол между плоскостями 6x − y + z − 3 = 0 и y − 2z + 4 = 0 .

7.Найти плоскость, проходящую через точку A(2;0;−2) параллельно плоскости 7x + 2y − z +1 = 0 .

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2;1;0) параллельно плоскости 6x + 5y + z − 2 = 0 .

9.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

A(2;1;5), B(−1;−2;3), C(2;0;1) .

10.	Найти уравнение	плоскости,		проходящей	через	точки
	A(6;2;−1), B(0;0;2), C(3;4;−7) .
11.	Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Ox отрезок
	a = 2 , на оси Oy – отрезок b = −4 , на оси Oz – отрезок c = −3 .
12.	Написать уравнение плоскости 6x + 8y − z + 3 = 0 в отрезках.
13.	Составить уравнение	плоскости,		проходящей	через	точки
	A(2;0;−1), B(3;4;8)	и	перпендикулярной		плоскости

2x − y + 3z − 6 = 0 .

14.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(2;2;2), B(−3;−2;0) и перпендикулярной плоскости 6x + y = 0 .

15.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;3;2)

и	перпендикулярной	плоскостям	3x + 2y + z −1 = 0	и
4x − y + 2z − 3 = 0 .

155

16. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;0;0) и

перпендикулярной	плоскостям	6x − y − z + 2 = 0	и
3x + 2y + 2z − 3 = 0 .
17. Исследовать, есть	ли общие точки	у трех плоскостей

3x + 2y − z =1, 5x − y − 2z = 4, 2x + z = −1 .

18.Проверить, есть ли общие точки у трех плоскостей

x+ y + z =1, x − 2y − 3z = 5, 2x − y − 2z = 6 .

19.	Исследовать,		есть	ли	общие	точки	у	трех	плоскостей
	y + 3z =10, 4x − y − z =12, 2x + z =10 .
20.	Проверить,		есть	ли	общие	точки	у	трех	плоскостей
	x + 2y + 3z =1, 3x − 2y − z = 5, 2x − z = 5 .
21.	Найти	расстояние		от	точки	M (5;2;−3)		до	плоскости
	3x − y − z +1 = 0 .
22.	Найти	расстояние		от	начала	координат до			плоскости
	2x + 2y + 4z −1 = 0 .

23.Записать нормальное уравнение плоскости x + y + z +1 = 0 .

24.Привести уравнение плоскости 2x + y + z − 3 = 0 к нормальному

виду.
25. Составить	уравнение плоскости, проходящей через точку
M (2;2;−3)	и линию пересечения плоскостей x + y − 2z + 3 = 0 и

x − y − z − 5 = 0 .

26.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (7;0;0) и линию пересечения плоскостей 2x + y + 2z − 7 = 0 и x + y = 0 .

27.Найти уравнение плоскости, проходящей через линию

	пересечения		плоскостей		2x + 6y − z +1 = 0, x − y + z + 8 = 0 и
	отсекающей
	на оси Ox отрезок в 2 раза больший, чем на оси Oz .
28.	Две	грани	куба	лежат на		параллельных	плоскостях
	3x − 2y + z − 5 = 0 и			3x − 2y + z +1 = 0 . Найти объем этого куба.
29.	Даны вершины пирамиды				A(2;3;1), B(0;2;0), C(3;0;1) , D(5;2;2) .
	Найти двугранный угол между плоскостями ABC и ABD.
30.	Найти	расстояние		между	двумя	параллельными	плоскостями
	2x + 3y − z + 5 = 0 и 2x + 3y − z − 6 = 0 .
31.	Найти	расстояние		между	двумя	параллельными	плоскостями
	3x + y + z − 2 = 0 и 6x + 2y + 2z −1 = 0 .

156

32. Напишите уравнение	плоскости, проходящей через точку
пересечения	трех	плоскостей

−x + 2y − z − 2 = 0, 2x + y − 3z − 7 = 0 , 3x + y + z − 6 = 0 и ось Oy .

33.Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку

	пересечения				плоскостей
	x + y + z = 0, 2x − y − z − 2 = 0, 3x + 3y − z − 8 = 0			и	точки
	(2;1;3), (0;−1;2) .
34.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Пересе-
	чения	плоскостей	y + z +1 = 0, x + y + z − 4 = 0, x − 2z − 9 = 0
	параллельно плоскости Oyz .
35.	Даны	вершины пирамиды A(3;1;2), B(−2;3;4), C(−1;−3;−5) ,

S(2;5;−2) . Вычислить длину высоты, проведенной из точки A на

грань BCS.

36. Найти плоскости, расстояние от которых до плоскости

3x − y + z − 4 = 0 равно 4.

37. В	пучке, определенном линией пересечения плоскостей
x + 5y + z = 0, x − z + 4 = 0 , найдите плоскости, образующие угол
45o	с плоскостью x − 4y − 8z +12 = 0 .

38.Установите, какая из координатных плоскостей принадлежит пучку плоскостей 4x − y + 2z − 6 + λ(6x + 5y + 3z − 9) = 0 .

39.	Определить, принадлежит ли плоскость 3x + 2y + z −1 = 0		пучку
	плоскостей x + y + 3 + λ(x − 4y + z + 2) = 0 .
40.	Написать уравнение плоскости 6x + 2y − z −12 = 0 в отрезках.
41.	Составить	уравнения плоскостей, проходящих через	точку
	(2;−1;−3)	параллельно координатным плоскостям.

42.Определить, при каком α следующие уравнения определяют перпендикулярные плоскости:

а) 2x + α y − z + 4 = 0, 3x − y + α z − 5 = 0 ;

	б) 2x − y + (α +1)z −1 = 0, 4x + α y + 2z = 0 .
43.	Вычислить площади		треугольников, которые	плоскость
	2x − y − z +10 = 0 отсекает от координатных углов.
44.	В	параллелепипеде,	образованном	плоскостями
	x + y − z +1= 0, x + y − z + 3 = 0, 2x − y + z + 2 = 0, 2x − y + z −1= 0,

x + 3y + 3z − 5 = 0, x + 3y + 3z − 7 = 0 найти разность между наибольшей высотой и наименьшей.

157

45.	Определить, при каких		α, β плоскости 3x + α y − z + 3 = 0	и
	(α + β )x − (α +1) y + 2z = 0		параллельны.
46.	Найти α	и β , при которых плоскости 2α x − β y + z + 3α = 0		и
	8x + 6y +	α z − 4β = 0 совпадают.

47.Написать уравнение плоскости, которая пересекает координатные плоскости по прямым 5y + 3z −15 = 0, 5x + z − 5 = 0 , 3x + y − 3 = 0 .

48.Написать уравнения плоскостей, отсекающих на координатных осях равные отрезки и отстоящих от начала координат на 3 единиц.

49.Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и

образующей с плоскостью 2x + y −	5	z − 7 = 0 угол 60o .
50. Заданы вершины тетраэдра	A(−2;−1;3), B(1;1;1), C(3;0;5) ,

S(5;2;1) . Написать уравнение плоскости, проходящей через середину ребра AS параллельно грани BCS.

51.Докажите, что параллелепипед, три непараллельные грани которого лежат в плоскостях 2x + y − 2z − 5 = 0, 2x − 2y + z + 2 = 0 ,

x + 2y + 2z = 0 , прямоугольный.

52.	Вычислить	косинусы	двугранных	углов	между
	плоскостью 3x + 5y − z −1 = 0 и координатными плоскостями.
53.	Найти объем	тела, ограниченного плоскостями			x = 0, x = 3 ,

y = 0, z = 0, y + z − 2 = 0 .

54.	Известны вершины			тетраэдра		A(−1;0;2), B(1;1;3), C(1;2;−1) ,
	D(2;−3;5) . Написать уравнения граней тетраэдра.
55.	Вычислить	объем		пирамиды,		ограниченной	плоскостью
	2x − 3y + 6z −12 = 0 и координатными плоскостями.
56.	Составьте уравнение плоскости, делящей пополам тот
	двугранный	угол,			образованный		плоскостями
	2x −14y + 6z −1 = 0 и
	3x + 5y − 5z + 3 = 0 , в котором лежит начало координат.
57.	Две грани	куба		лежат	на	параллельных	плоскостях
	3x − 2y + z − 2 = 0		и	3x − 2y + z + 4 = 0 . Найти				площадь
	поверхности куба.
58.	Внутри треугольника, отсекаемого на плоскости Oxy
	плоскостями		x + 4y + 8z + 8 = 0, x − 2y + 2z + 2 = 0					и

3x + 4y +12 = 0 , найдите координаты точки, равноудаленной от этих плоскостей.

158

59. Найти уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, гранями которых являются плоскости 3x − y + 7z − 4 = 0 и

5x + 3y − 5z + 2 = 0 .

60.Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки A(2;1;−5) к прямой, по которой пересекаются плоскости

2x − y + z = 0, 3x + y − 2z − 3 = 0 .

61. Написать	уравнение плоскости, проходящей через точку
M (2;3;3)	параллельно плоскости, проходящей через точки

(2;1;1) , (3;−2;−5), (1;0;0) .

62.Лежит ли точка N(1;0;0) внутри острого угла, образованного плоскостями 3x + 4y − 2z −1 = 0 и 4x + 2y − 3z + 2 = 0 ?

63.Вычислить объем тела, ограниченного координатными

плоскостями	и	плоскостями	4x + 6y + 3z −12 = 0 ,
4x + 6y + 3z −18 = 0 .

64.Написать уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок в 3 раза больший, на оси Oy – отрезок в 2 раза больший, чем на оси

Ox и проходящий через точку (5;8;12) .

65.	Выяснить, по разные ли стороны от плоскости				x + y + z − 2			= 0
	лежат точки M (2;3;2), N(−1;−5;0) .				2x − y − z + 3			= 0
66.	Выяснить, с одной ли стороны от плоскости
	находятся точки M (2;0;5), N(−1;3;4) .
67.	Нижним основанием прямой призмы			ABCA1B1C1		является
	треугольник	с вершинами	A(2;3;0), B(5;1;0), C(4;5;0) .			Высота
	призмы равна 3. Написать уравнение сечения				A1BC	и	найти
	площадь этого сечения.						x = 3 ,
68.	Вычислить	объем тела,	образованного	плоскостями

y = −1, y = 2, x − z −1 = 0, x + z −1 = 0 .

69.Найти объем четырехугольной пирамиды ABCDS , в основании которой лежит параллелограмм ABCD , если даны ее вершины

A(2;0;1), B(3;1;2), C(3;4;4), S(3;5;5) .

70. Найти, при каких параметрах α, β , γ плоскости

α x + 22y −11z + 3 = 0 , 11x + β y + 22z −1 = 0, 22x − 33y + γ z + 2 = 0

попарно перпендикулярны.

71. Определить косинусы углов, которые образует плоскость 2x − 5y + 3z − 30 = 0 с осями координат.

159

72.	Найти длину перпендикуляра,			опущенного	на	плоскость
	3x − 4y +12z − 26 = 0 из начала координат.
73.	Даны	координаты	вершин	четырехугольной		пирамиды
	A(3;0;0), B(0;0;0), C(0;2;0), D(3;2;0), S(0;0;2) .				Найти:		а)
	расстояние от грани CSD до вершины B, б) расстояние от грани
	ASD до вершины C.		с вершиной A(0;0;0)
74.	Куб	ABCDA1B1C1D1			принадлежит

первому октанту. Вершина D принадлежит оси Ox , вершина B – оси Oy . Длина ребра куба равна 4. Написать уравнение

	плоскости, проходящей через вершину B1 , середину ребра D1C1 и
	середину BC .		3x + 6y − z + 8 = 0, 3x + 6y − z −15 = 0
75.	Между	плоскостями
	перпендикулярно им, построен равносторонний треугольник,
	вершины которого лежат в этих плоскостях. Найти его площадь.
76.	Даны	две плоскости	3x + y − 5 = 0, 3x + y − 3 = 0 , являющиеся
	параллельными сторонами куба. Найти длину главной диагонали
	куба.
77.	Даны вершины пирамиды A(2;2;2), B(3;4;5), C(−1;2;1) , S(2;4;5) .
	Найти уравнение плоскости, содержащей высоту, проведенную из
	вершины S, и параллельной ребру AB.
78.	Даны	вершины пирамиды		A(3;4;5), B(2;2;−3), C(1;1;−2) ,

S(−1;−3;−2) . Найти уравнение плоскости, проходящей через середину ребра AS параллельно грани ABC.

§4. Прямая в пространстве

10. Общие уравнения прямой в пространстве. Прямая может быть задана пересечением двух плоскостей

ìA x + B y + C z + D = 0,

(1)

í 1

1

1

1

îA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Направляющим вектором прямой (1) является вектор

i

j

k

a =

A1

B1

C1

.

(2)

A2

B2

C2

160