Математика для инженеров(практика) I часть

проходящей через точку S. Будем искать уравнение перпендикуляра в

виде

x - 0

=

y - 3

=

z - 6

.

По

условию

(18):

1

=

2

=

1

,

откуда

l

m

n

m

n

l

m = 2l, n = l . Тогда уравнения перпендикуляра

x

=

y - 3

=

z - 6

.

1

2

1

Точку N пересечения перпендикуляра и плоскости, т.е.

проекцию

точки

M

на

плоскость,

найдем

из

системы

ì x

y - 3

z - 6

4

1

14 ö

ï

=

=

,

æ

í1

2

1

Откуда

N ç -

;

;

÷ .

3

3

ï

+ 2y + z - 4 = 0.

è

3 ø

îx

Прямая NS является проекцией данной прямой на плоскость и ее уравнения получим как уравнения прямой, проходящей через две

точки N и M , т.е по формуле (3) получаем

x +1

=

y -1

=

z - 3

.

-

4

1

-1

3

+1

3

14

3

- 4

Окончательно, уравнение прямой NS имеет вид

x +1

y -1

z - 3

. □

=

=

-1

-2

2

Пример

16.

Исследовать

взаимное

расположение

прямой

x = 3 + 2t, y = 6 + 4t, z = 3 + t и плоскости 3x − 2y + 5z −11 = 0 .

Решение. Запишем уравнения прямой в канонической форме

x - 3

=

y - 6

=

z - 3

. Согласно формуле (16) имеем

2

1

4

3× 2 - 2× 4 + 5×1

sinα =

=

3

=

3

.

32 + (-2)2 + 52

22 + 42 +12

38

21

798

Таким образом, прямая и плоскость пересекаются, и угол между

ними равен α = arcsin 3

. □

798

Пример

17.

Найти проекции

прямой

ìx - y + 2z + 3 = 0,

на

í

+ y + z - 2 =

0

îx

плоскость Oxz .

Решение. Плоскость Oxz задается уравнением y = 0 . Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую

171

ìx - y + 2z + 3 = 0, íîx + y + z - 2 = 0,

запишется в виде x - y + 2z + 3 + λ(x + y + z - 2) = 0 или

(1+ λ)x + (-1+ λ)y + (2 + λ)z + 3 - 2λ = 0 .

Используя условие перпендикулярности плоскостей, выберем из этого пучка плоскость, проецирующую данную прямую на плоскость y = 0 . Имеем (1+ λ) ×0 + (-1+ λ) ×1+ (2 + λ) ×0 = 0 , откуда

λ =1 . Итак уравнение проецирующей плоскости имеет вид

2x + 3z +1 = 0 .

Искомую проекцию можно определить как линию пересечения двух плоскостей – заданной и проецирующей:

ì2x + 3z +1 = 0,						□
í
îy = 0.
Пример 18. Найти проекцию точки A(2;0;-1) на плоскость
x + 2y - z + 4 = 0 .
Решение. Уравнения прямой,			проходящей через точку A и
перпендикулярной заданной плоскости, запишутся в виде
	x - 2	=	y	=	z +1
1			2	-1

или, в параметрической форме, x = t + 2, y = 2t, z = −t −1. Из системы

ìx + 2y - z + 4 = 0,

íîx = t + 2, y = 2t, z = -t -1

получим проекцию точки A(2;0;−1) на плоскость x + 2y − z + 4 = 0 .

Таким образом, искомая точка çæ

5

;-

7

;

1

÷ö . □

6

3

è

6

ø

Пример 19. Найти точку, симметричную точке M (−1;3;1)

отно-

сительно прямой

x

=

y -1

=

z

.

2

1

1

Решение. Уравнение плоскости, проецирующей точку

M на

данную прямую

имеет

вид

A(x +1) + B(y − 3) + C(z −1) = 0 .

Координаты

нормального

вектора

(A; B;C)

плоскости,

перпендикулярной

заданной

прямой,

заменим

координатами

172

направляющего вектора

(2;1;1)

данной прямой. Тогда получим

2(x +1) + (y − 3) + (z −1) = 0 или 2x + y + z − 2 = 0 .

Найдем проекцию точки M на прямую

x

=

y -1

=

z

, для чего

2

совместно решим систему уравнений

1

1

ì2x + y + z - 2 = 0,

ï

y -1

z

í x

=

=

.

ï

2

1

1

î

Отсюда x =

1

, y =

7

, z =

1

.

6

3

6

N

Тогда

координаты

симметричной

точки

можно найти,

используя формулы координат середины отрезка, т.е.

1

= -1+ xN

,

7

=

3 + yN

,

1

=

1+ zN

.

3

6

6

2

2

2

æ 5

2

2 ö

. □

Отсюда искомая точка N ç

;-

;-

÷

3

è 3

3 ø

Пример 20. Составить уравнение плоскости, проходящей через

прямые

x - 2

=

y -1

=

z

и

x - 3

=

y - 5

=

z -1

.

2

1

-2

3

5

-1

Решение. Первая

прямая

проходит через точку

M1(2;1;0) .

Возьмем

на

искомой плоскости

точку

M (x; y; z)

с

текущими

координатами, получим вектор M1M = (x - 2; y -1; z) . Таким образом,

векторы

M1M и

направляющие векторы заданных

прямых

a

= (2;1;-2) ,

b

= (3;5;-1)

компланарны. По условию компланарности

векторов

имеем

x - 2 y -1 z

= 9(x - 2) - 4( y -1)

+ 7z

= 0 или,

2

1

-2

окончательно,

3

5

-1

уравнение искомой плоскости 9x − 4y + 7z −14 = 0 . □

Задания для самостоятельной работы

1. Записать уравнения прямой

ì2x + 5y - z - 2 = 0,

í

+ 3z +1 = 0

îx - y

в канонической и параметрической формах.

173

2.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (2;1;−2)

ипересекающей ось Oy под прямым углом.

3.Составить уравнения прямой, проходящей через точку A(3;−1;1)

ипараллельной вектору a(2;1;1) .

4.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (0;1;−2)

иперпендикулярной векторам a(1;1;0) и b (3;-1;2) .

5.

Определить

угол

между

прямыми

x - 3

=

y + 2

=

z - 7

и

-1

x = 2t +1, y = 2t −1, z = −t + 2 .

3

2

6.

Найти угол между прямыми

ì5x - y - 6 = 0,

и

ì3x + 2y - 7z +1 = 0,

í

+ y =

0

í

- y

+ z -1 = 0.

î2x

îx

7.

При каком значении параметра α пересекаются прямые

x + 2

=

y

=

z -1

и

x - 3

=

y -1

=

z -1

.

3

-3

4

α

4

2

8.

Найти

расстояние

между

параллельными

прямыми

x +1

=

y + 2

=

z -1

и

x -1

=

y +1

=

z + 3

.

2

3

2

-1

3

-1

9.

Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние

между прямыми

x +1

=

y + 4

=

z -1

и

x -15

=

y - 2

=

z -1

.

3

-1

4

2

6

-4

10.

Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние

между прямыми

x - 2

=

y -1

=

z

и

x +1

=

y +1

=

z - 2

.

4

1

3

2

-3

5

11.

Составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние

между прямыми

x - 4

=

y

=

z

и

x + 4

=

y

=

z +1

.

2

2

3

3

-1

3

x = 3t + 7 ,

12.

Доказать, что прямые x = 2t +1, y = −3t − 2, z = 4t + 5

и

y = 2t + 2, z = −2t +1 лежат в одной плоскости.

13.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M (2;1;−3)

перпендикулярно прямой x +4 2 = y3+1 = z 2+1 .

14.Через прямую x = 2t + 2, y = 3t −1, z = −2t + 2 провести плоскость, параллельную прямой x = −t + 3, y = −2t − 2, z = 3t −1.

174

15. При каком значении α плоскость α x + 3y − 5z +1 = 0 параллельна прямой x = 4t +1, y = 3t − 2, z = t .

16.Найти точку пересечения прямой x = 2t +1, y = 3t −1, z = 5t + 4 и плоскости 4x + 2y − z + 3 = 0 .

17.	Найти точку пересечения	прямой x = 4t −1, y = 2t , z = −t + 2 и
	плоскости 2x − 3y + 2z − 3 =	0 .
18.	Найти угол между прямой	x = 2t, y = 3t + 5, z = −t	и плоскостью
	2x + 3y + z − 4 = 0 .
19.	Найти угол между прямой x = t, y = −4t + 2, z = t		и плоскостью
	x − 3y − 3z − 3 = 0 .	x = 2 − t, y = 3, z = 5t + 2
20.	Найти угол между прямой		и плоскостью
	y + 3z − 8 = 0 .

21.Найти проекцию прямой, заданной пересечением двух плоскостей 3x + 2y − z −10 = 0, x + y + z − 2 = 0 , на плоскость Oxy .

	22.	Найти	углы между прямой		x - 2	=	y +1	=	z -1	и осями
					6
		координат.				7		2
				ì2x + y + 6z -1 = 0,
	23.	Найти	проекции прямой					на координатные
				í
				îx - y + z +1 = 0

плоскости.

24.В треугольнике с вершинами (3;5;0),(2;1;−1), (0;5;4) найти уравнения медиан.

25.В треугольнике с вершинами A(1;1;1), B(3;2;1), C(−1;2;3) найти точку пересечения медианы AD и высоты BF.

26.В треугольной пирамиде ABCS с основанием ABC найти уравнение высоты SD и ее длину, если A(1;0;1), B(2;3;0), C(1;−1;−1) ,

S(3;0;1) .

27.Известны координаты центра ромба ABCD точки O(2;3;−1) и вершины A(0;5;1) . Составить уравнение плоскости, содержащей диагональ BD и перпендикулярной диагонали АС.

28.В пирамиде ABCS A(2;3;1), B(0;2;0), C(3;0;1) , S(5;2;2) . Найти

уравнение общего перпендикуляра и расстояние между ребрами

AC и SB.

175

29.В кубе ABCDA1B1C1D1 заданы четыре вершины A(0;0;0) B(2;0;0), D(0;2;0), A1(0;0;2) . Найти уравнения диагоналей AC1 и

BD1 .

30.Составить параметрическое уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины C, если заданы вершины треугольника A(3;6;−7), B(−5;2;3), C(4;−7;−2) .

31.Вычислить длины диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD,

если A(1;−3;0), B(−2;4;1), C(−3;1;1) .

32. В пространстве заданы точки A(6;−4;2), B(3;2;3), C(1;0;2) ,

D(3;−5;−1) , попарно соединенные отрезками. Определить, какие из полученных треугольников прямоугольные.

33.Даны вершины треугольника A(−2;1;−3), B(4;−7;−5) , C(1;2;−1) .

Найти угол между стороной AC и медианой, проведенной из вершины C.

34.В пирамиде ABCS A(2;0;5), B(3;4;2), C(1;1;2) , S(5;6;10) . Найти

углы, образованные ребрами AS, BS и CS с плоскостью основания

ABC.

35.Найти точку, симметричную точке M (2;5;1) относительно плоскости 3x − y − z +1 = 0 .

36.Найти точку, симметричную точке N(1;1;2) относительно плоскости 2x + 2y + z − 5 = 0 .

37.	Найти уравнения проекции прямой	ì3x + 2y + 5 = 0,		на плоскость
		í
	3x − 2y + z −1 = 0 .	î-x + y + 2z = 0
38.	Найти уравнения проекции прямой	ìx + y -12 = 0,		на плоскость
		í	= 0
		îx + z - 2

2x + y + z − 3 = 0 .

39.Составьте уравнение плоскости, зная, что точка M (2;5;7) служит основанием перпендикуляра, проведенного из точки N(2;0;−1) к этой плоскости.

40.Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости

176

2x − 7 y − 5z + 20 = 0 и пересекающей прямые							x - 2	=	y -1	=	z	,
							7
x +1			y -1		z + 2			3		2
		=		=		.
2
		3		-1

41.Найти проекцию точки A(2;5;−3) на плоскость 2x + y − z + 8 = 0 .

42.Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку A(2;4;−2) перпендикулярно радиусвектору точки B(3;1;1) .

43.Составить каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку A(−4;6;3) , с направляющими косинусами 12 ;- 12 ;- 12 .

44.Найти точку, симметричную точке A(2;7;0) относительно

прямой

x -1

=

y +1

=

z

.

4

2

-3

ìx - y - z + 5 = 0,

45.

Доказать, что

прямые

x - 5

=

y + 8

=

z +18

и

í

+ y - 2 = 0

совпадают.

2

-4

-6

î2x

x - 2

y -1

z

46.

При каком значении

α

прямая

=

=

не имеет с

3

α

-2

плоскостью 2x + y − z +16 = 0 общих точек?

47.

При каких значениях α, β

прямая

x -1

=

y - 2

=

z +1

лежит в

2

плоскости β x − 2y − 5z + 3 = 0 ?

2

α

48.

Найти угол между ребром AS и плоскостью основания ABC

треугольной пирамиды ABCS, если

A(1;0;1), B(2;3;−1), C(3;2;4)

S(5;7;4) .

49.Найти косинус угла между высотами AD и BF треугольника ABC,

если A(3;4;7), B(−3;−1;−2), C(−1;0;0) .

50.Написать параметрическое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки (2;3;5) к прямой, соединяющей точки

(2;3;1) и (2;0;−2) .

51. На прямой x = 2t, y = 4t, z = 3 + 5t найдите точку, равноудален-

ную от точек A(3;1;−2) и B(5;3;−2) .

177

52.

На

прямой

x = 2 − t, y = 5t − 3, z = t −1

найдите

точку,

равноудаленную от точек A(−3;4;2)

и B(6;0;2) .

53.

На прямой

x = 2t +1, y = t −1, z = 2

найдите точку, ближайшую к

точке A(2;0;−4) .

54.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей через

прямые

x - 2

=

y - 3

=

z + 2

и

x - 6

=

y - 7

=

z - 5

.

4

4

2

1

3

4

55.Даны вершины пирамиды A(2;2;2), B(3;4;5), C(−1;2;1) , S(2;4;5) .

Найти уравнение плоскости, содержащей высоту, проведенную из вершины S, и параллельной ребру AB.

56.

Найти точку пересечения проекций прямых

x -1

=

y + 8

=

z

и

2

-1

x - 3

y - 2

z - 3

2

=

=

на плоскость 2x + 8y − 6z + 3 = 0 .

3

2

3

x - 2

y +1

z + 5

57.

Найти точку пересечения проекции прямой

=

=

на

6x + y − z +14 = 0

3

1

-2

плоскость

и

проекции

прямой

x = 2t −1, y = 3t + 2, z = 3 на плоскость x − y + z − 4 = 0 .

58.

Найти

угол

между

проекциями прямых

x = 2t, y = 3t, z = 4t

и

ì4x - 2y - z + 3 = 0,

на плоскость 2x + 4y + 3z − 5 = 0 .

í

- z -12 = 0

îx + y

59.

Найти

основание

перпендикуляра,

проведенного

из

точки

M (2;3;6) к прямой x = 2t + 4, y = 3t + 7, z = t −1.

60.Точка M (x; y; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения M0 (28;-30;-27) со скоростью v =12,5 м/с

по перпендикуляру, проведенному из точки M0 к плоскости 15x −16y −12z + 26 = 0 . Составьте уравнения движения точки M

	и найдите:
	а) координаты точки N пересечения ее траектории с этой
	плоскостью;	б) длину отрезка M0 N ;	в) время, затраченное на
	движение точки M от M0 до N .
61.	Найти расстояние от точки (2;−3;5)		до прямой пересечения
	плоскостей	3x + y + z − 6 = 0 и 5x − y + 2z + 3 = 0 .
62.	Напишите уравнение плоскости, в которой лежат перпендикуля-

178

ры,	проведенные из точки	M (2;3;0) к плоскостям
3x + 5z − 2 = 0 и 3x + 2y − z + 5 = 0 .		A(3;2;5), B(−2;−3;4), C(1;2;1) .
63. Даны	вершины треугольника

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения средней линии, параллельной стороне AB

треугольника ABC, со										стороной AC и параллельной	прямой
	x - 3		=	y		=	z -1	.
2		2				-6				A(3;−1;0), B(0;0;0), C(1;4;1), B1(0;0;5)
64.		Даны					вершины
параллелепипеда									ABCDA1B1C1D1 . Написать уравнения		ребра
C1D и диагонали									A1C . Найти: а) расстояние между A1D1		и B1C ;
б) расстояние между B1D и D1C ; в) расстояние между											C1D и
	B1D1 ; г) расстояние между A1B1 и CD .

§ 5. Кривые второго порядка

10. Окружность. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Если r – радиус окружности, а C(a;b) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид

(x − a)2 + ( y − b)2

= r2 .

(1)

Если центр окружности совпадает с началом координат О, то

уравнение (1) примет вид

x2 + y2 = r2 .

(2)

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности

3x2 + 3y2 - 6x + 7 y - 5 = 0 .

Решение.

Разделив обе

части

уравнения

на

3,

получим

x2 + y2 - 2x +

7

y -

5

= 0 . Выделим полные квадраты:

3

3

æ

7

49

ö

49

5

(x2

- 2x +1)+ ç y2

+ 2 ×

y +

÷

-1-

-

= 0

6

36

36

3

è

ø

или (x -1)

2

æ

7 ö2

145

+

ç y

+

÷ =

. Согласно

(1)

получили

уравнение

36

è

6 ø

7

окружности с центром в точке çæ1;-

÷ö

и радиусом

145

. □

è

6 ø

6

179

Пример 2. Составить уравнение окружности, описанной около

треугольника,	стороны	которого	заданы	уравнениями
9x − 2y − 41 = 0, 7x + 4y + 7 = 0, x − 3y +1 = 0 .

Решение. Вершины треугольника, вписанного в окружность, принадлежат этой окружности. Координаты вершин треугольника найдем из трех систем

ì9x - 2y - 41 = 0, ì9x - 2y - 41 = 0, ì7x + 4y + 7 = 0,
í	í				í	- 3y +1 = 0.
î7x + 4y + 7 = 0, îx - 3y +1 = 0,					îx
Соответственно	получим			точки		(3;−7), (5;2), (−1;0) ,
координаты которых подставим в уравнение (1). Имеем
ì(3 - a)2 + (-7 - b)2 = r2 ,			ì(3 - a)2 + (7 + b)2			= (1+ a)2 + b2 ,
ï			ï
ï	или		ï	- a)2 + (2 - b)2 = (1+ a)2 + b2 , или
í(5 - a)2 + (2 - b)2 = r2 ,			í(5
ï			ï	+ a)2 + b2 = r2 ,
ï(-1- a)2 + (0 - b)2 = r2			ï(1
î			î
ì9 - 6a + 49 +14b =1+ 2a,			ì-8a +14b = -57,				ìa = 3,1,
ï	или		ï			или	ï
í25 -10a + 4 - 4b =1+ 2a,			í-12a - 4b = -28,				íb = -2,3,
ï			ï			,	ï
î(1+ a)2 + b2 = r2 ,			î(1+ a)2 + b2 = r2				îr2 = 22,1.
Искомое уравнение окружности (x - 3,1)2 + ( y + 2,3)2 = 22,1. □
Пример 3. Составить уравнение окружности, проходящей
через точки M1(4;0) и M2 (1;5) ,				если ее центр лежит на прямой
2x + y − 5 = 0 .
Решение. По условию, координаты центра окружности
удовлетворяют уравнению прямой, т.е. 2a + b − 5 = 0 .							Подставляя
координаты точек M1 и M2		в (1), получим систему
ì(4 - a)2 + b2 = r2 ,		ì(4 - a)2 + b2 = r2 ,
ï		ï
ï	или	ï
í(1- a)2 + (5 - b)2 = r2 ,		í(1- a)2 + (5 - b)2 = (4 - a)2 + b2 , или
ï		ï		+ b - 5 = 0,
ï2a + b - 5 = 0		ï2a
î		î

180