Математика для инженеров(практика) I часть

та точки пересечения прямой с осью Oy .

Пример 5. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях

Ox, Oy , соответственно, отрезки a =

3

, b = −

5

.

Решение. Подставляя

a и

71

14

b

в

уравнение (4),

получим

x

+

y

=1 или, после преобразований, 355x − 42y =15 . □

3

− 5

71

14

50. Нормальное уравнение прямой.

Умножим обе части уравнения

(3)

на

число μ = ±

1

,

называемое

нормирующим

множителем,

A2 + B2

причем знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена C .

Тогда получим уравнение

x cosϕ + y sinϕ − p = 0 ,

(5)

которое называют нормальным

уравнением

прямой. Здесь

p

–

длина

перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

ϕ

– угол,

образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси

Ox .

Пример 6. Дано общее уравнение прямой 6x −12y + 35 = 0 .

Написать: 1) уравнение этой прямой с угловым коэффициентом; 2) уравнение в отрезках; 3) нормальное уравнение.

Решение: 1) выражая в данном уравнении

y

через x , получим

уравнение прямой с угловым коэффициентом y =

1

x +

35

;

2

12

2)

перепишем

заданное

уравнение в виде

6x −12y = −35 и

разделим обе

его

части

на (−35) . Получим

уравнение

−

6

x +

12

y =1

или

x

+

y

=1 , которое является уравнением

35

35

35

35

−

6

12

прямой в отрезках;

3) так как в исходном уравнении C > 0 , то нормирующий множитель μ < 0 . Поэтому разделим обе части уравнения на число

131

																				6		x +	12		y −	35		= 0 или
μ = −						62 + (−12)2 = −6												. Уравнение −
																	5
												6								5		6		5	6		5
−	1			x +			2			y −		35				= 0 является нормальным уравнением прямой. □
											6
		5						5						5
					Пример 7. Составить уравнения прямых, проходящих через
точку M (−5;−7)												и параллельных осям координат.

Решение. Прямые, параллельные осям координат, имеют вид: x = a – вертикальная прямая, y = b – горизонтальная прямая. Т.к.

точка M принадлежит этим прямым, то уравнения искомых прямых, соответственно: x = −5 , y = −7 . □

60. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение

прямой, которая проходит через точки M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) , имеет вид

x - x1		=	y - y1			.	(6)
x	- x		y	2	- y
2	1				1

Если y1 = y2 , то уравнение искомой прямой имеет вид y = y1 , и такая прямая х. Если x1 = x2 , то прямая, проходящая через точки M1 и M2 ,

параллельна оси Оу и ее уравнение имеет вид x = x1 .
Уравнение
	x - x0	=	y - y0		(7)
	l		m

определяет прямую, проходящую через точку M0 (x0 ; y0 ) , с направляющим вектором a = (l;m) и называется каноническим уравнением прямой.

Вводя параметр t ,	перейдем от уравнения (6) к параметрическим
уравнениям
ìx = (x2 - x1)t + x1,		(8)
í	= ( y2 - y1)t + y1.
î y

Пример 8. Составить нормальное уравнение прямой, проходящей через точки M1(1;5) и M2 (4;3) .

Решение. Подставляя координаты точек M1 и M2

в уравнение

(6),

получим

x −1

=

y − 5

или

−2(x −1) = 3(y − 5) ,

или

2x + 3y −17 = 0 .

4 −1

3 − 5

Так

как

C = −17 < 0 ,

то

разделим

обе

части

полученного общего

уравнения

прямой

на

положительное

число

132

2

3

17

μ =

22 + 32 =

.

Уравнение

x +

y -

= 0

является

13

13

13

13

нормальным уравнением искомой прямой. □

70. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим две прямые L и

L ,

1

2

заданные

соответственно уравнениями

y = k1x + b1

и

y = k2 x + b2 ,

где

k1 = tgα1 ,

k2 = tgα2 ; α1 (α2 ) – соответственно угол между прямой L1 ( L2 )

и положительным направлением оси Ox ,

а ϕ – угол между прямыми L1 и

L2 ,

0 ≤ ϕ < π .

Имеет место формула

tgϕ =

k2 − k1

.

(9)

1+ k1k2

Формула (9) определяет один из углов между прямыми L1

и L2 . Вто-

рой угол равен π −ϕ .

Пример

9.

Прямые заданы

уравнениями

y = 5x + 2

и

y = −3x + 3 . Найти острый угол между этими прямыми.

tgα1 = 5 ,

Решение.

Для

данных прямых

k1 = 5, k2 = -3 ,

т.е.

tgα2 = -3 , где α1 , α2 – углы между соответствующими прямыми и положительным направлением оси Ox . Если ϕ – острый угол между

прямыми,			то согласно формуле (9) имеем			tgϕ =	-3 - 5	=	4	. Тогда
4						1- 3×5		7
ϕ = arctg			. □
	7
Условием параллельности двух прямых L1						и L2 является равенство их
угловых коэффициентов, т.е. k1 = k2 .
Условие перпендикулярности двух прямых L1 и L2 состоит в том, что
их угловые			коэффициенты обратны по величине и противоположны по
			1
знаку, т.е. k2 = −					или k1k2 = −1.
				k
			1

Отметим, что две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.

Пример 10. Проверить, являются ли прямые 8x −12y + 4 = 0 и 2x − 3y + 20 = 0 параллельными.

133

		Решение. Выразим в данных уравнениях									y через x . Получаем
	y =	8x + 4	и y =	2x + 20	или	y =	2	x +	1	и	y =	2	x +	20	. Угловые
		12		3			3		3			3		3

коэффициенты этих прямых равны, следовательно, данные прямые параллельны. □

				Пример 11. Проверить, являются ли прямые 6x −10y +18 = 0 и
	10x + 6y −11 = 0 перпендикулярными.
				Решение. Выразим в заданных уравнениях y через x . Получим
	y =		6			x +			18				и		y = -	10	x +	11			. Для этих прямых k =			6	, k		= -	10			и
		10							10							6		6						10				6
																							1			2
	k k		=			6		×	æ -				10	ö	= -1 .		Так				как	условие	перпендикулярности
	1 2			10					ç				÷
									è				6 ø
	выполнено, то прямые перпендикулярны. □																						5x − 2y +11 = 0
				Пример											12.	Показать, что						прямые									и
	2x + 5y −13 = 0 пересекаются и найти точку их пересечения.
				Решение. Перепишем уравнения прямых в виде																				y =		5	x +		11		и
																										2			2
				2						13
	y = -						x +						. Угловые коэффициенты заданных прямых не равны.
				5
									5

Значит, прямые не параллельны, т.е. пересекаются. Точку пересечения найдем из системы

ì5x - 2y +11 = 0,		ì25x -10y + 55 = 0,			ìx = -1,
í	= 0,	Û í	+10y - 26	= 0,	Û í
î2x + 5y -13		î4x			îy = 3.

Таки образом, M (−1;3) – точка пересечения данных прямых. □

80.	Расстояние от точки до прямой. Расстояние d от									точки
M1(x1; y1)	до прямой L , заданной уравнением (3), определяется так:
	d =			Ax1 + By1 + C					.	(10)
					A2 + B2

Пример 13. Определить расстояние от точки M (1;3) до прямой

10x − 7y + 3 = 0 .

Решение. По формуле (10)

134

d =		10×1- 7 ×3 + 3				=	8			. □
	102 + (-7)2							149

Пример 14. Составить уравнения медиан треугольника с вершинами A(2;2), B(−2;4), C(−5;3) .

Решение. Координаты точки B1 (рис. 5), середины отрезка AC ,

æ 2 - 5			2 + 3	ö		æ		3		5 ö
ç		;		÷	или	ç	-		;		÷ .
	2		2					2
è				ø		è				2 ø

Уравнение медианы BB1 , согласно

(6),

имеет

вид

x + 2

=

y - 4

- 3

+ 2

2

5

2

- 4

или

Рис. 5

x + 2

=

y - 4

, или −3x − 6 = y − 4 , или

1

окончательно 3x + y + 2 = 0 .

-3

Точка C1 (0;3) – середина отрезка AB . Уравнение медианы CC1

имеет вид

x + 5

=

y - 3

или

x + 5

=

y - 3

. Перепишем полученное

0 + 5

3 - 3

5

0

уравнение в параметрической форме (8), т.е.

ìx = 5t - 5,

Û

ìx = 5t - 5,

í

×t + 3,

í

îy = 0

îy = 3.

Уравнение медианы CC1 есть y = 3 .

Серединой отрезка BC является точка A1 (-7 2;7 2). Уравнение

медианы AA , используя (6),

x - 2

=

y - 2

или

x - 2

=

y - 2

, или

1

-7 2 - 2

7 2 - 2

-11

3

3x +11y − 28 = 0 . □

Пример 15.

Даны вершины

треугольника: A(0;2), B(6;4) ,

C(13;−1) . Составить уравнение высоты CD треугольника,

проведенной из вершины C и найти длину этой высоты. Решение. Применяя (6), запишем уравнение прямой AB:

135

x - 0

=

y - 2

или

2x = 6y −12

или

y =

1

x + 2 .

Угловой

6 - 0 4 - 2

3

коэффициент прямой AB (рис. 6):

kAB =

1

.

Тогда, по

условию

3

перпендикулярности прямых AB

и CD, kCD

= -

1

= -3 .

kAB

уравнение

По формуле (2)

прямой с угловым коэффициен-

Рис. 6

том

kCD = -3

и проходящей

или 3x + y − 38 = 0 . Это и

через точку C имеет вид y +1 = −3(x −13)

есть урав нение искомой высоты CD. Точку пересечения D прямых

ì2x = 6y -12,

AB и CD найдем из системы í

- 38 = 0.

î3x + y

Получим D(10,8;5,6) . Длина высоты CD равна

CD

=

(10,8 -13)2 + (5,6 +1)2 =

» 6,96 . □

48,4

Пример 16. Для треугольника с вершинами A(2;2), B(10;11) , C(15;6) составить уравнение биссектрисы угла A .

Решение. Найдем точку D пересечения биссектрисы угла A со стороной BC (рис. 7). Из курса геометрии известно, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Следовательно,

BD

=

AB

= λ .

DC

AC

Найдем

AB

=

(10 - 2)2 + (11- 2)2 =

145,

AC

=

(15 - 2)2 + (6 - 2)2 =

185.

=

.

Тогда λ =

145

29

37

185

Координаты точки D найдем

Рис. 7

по формулам:

136

xD =

xB + λxC

=

10 +15

2937

≈

23,35

=12,35,

1,89

1+ λ

1+

29

37

yD

=

yB + λ yC

=

11+ 6

2937

≈

16,34

= 8,65.

1,89

1+ λ

1+

29

37

Таким образом, уравнение биссектрисы угла A , т.е. прямой AD,

проходящей через точки

A(2;2), D(12,35;8,65) , приближенно имеет

вид

x − 2

=

y − 2

,

x − 2

=

y − 2

или

6,65x -10,35y + 7,4 = 0 .

12,35 − 2

8,65 −

2

10,35

6,65

Окончательно,

y = 0,64x + 0,71. □

Пример 17.

Для треугольника

ABC

даны уравнения высот

BD :

x + y - 2 = 0 , CE : 9x - 3y - 4 = 0 и координаты вершины A(2;2) .

Составить уравнения сторон треугольника.

Решение. Угловые коэффициенты высот BD и CE ,

соответственно, kBD = −1, kCE = 3 .

Т.к. сторона AB перпендикулярна высоте CE , то по условию

перпендикулярности прямых,		kAB = −		1	.	Уравнение	прямой		AB	с
			3						A,
угловым коэффициентом kAB , проходящей через							точку			по
формуле (2) имеет вид y − 2 = −		1	(x − 2) или x + 3y - 8 = 0 .
	3
							AC
Аналогично,						сторона		(рис. 8)
перпендикулярна высоте BD , значит								kAC =1.
Уравнение			стороны AC				с	угловым
коэффициентом kAC , проходящей через точку
A, имеет		вид y - 2 =1×(x - 2)					или	x - y = 0 .
Найдем координаты точек B и C.
Рис. 8	Точка B является точкой пересечения
прямых BD и AB, найдем ее координаты из системы

137

ìx + y - 2 = 0,

ìx = -1,

í

Û í

= 3.

îx + 3y - 8 = 0,

îy

Аналогично, точка C является точкой пересечения прямых CE

и AC и ее координаты определяются из системы

ì9x - 3y - 4 = 0,

ì

=

2

3

,

ïx

í

Û í

=

2

.

îx - y = 0,

ïy

3

î

Подставляя координаты точке B и C в уравнение (6), получаем

x +1

=

y - 3

,

x +1

=

y - 3

, - 7x - 7 = 5y -15 .

23 - 3

23 +1

5

-7

Таким образом, 7x + 5y − 8 = 0 − уравнение стороны BC. □

Пример 18. Составить уравнения прямых, проходящих через точку M (4;1) и образующих с прямой 3x + y − 5 = 0 угол π4 .

Решение. Очевидно, таких прямых будет две (рис. 9). Перепишем уравнение данной прямой в виде y = −3x + 5 . Ее угловой

коэффициент равен –3.

Уравнение искомой прямой запишем в виде y = kx + b .

	Угол ϕ между прямыми равен	π , тогда tgϕ = tg π		=1.
		4	4
		Подставим в формулу (9)
		вместо k1 коэффициент k , а
		вместо k2 число (–3). Найдем
		угловой		коэффициент
		одной из искомых прямых из
		уравнения:	-3 - k		=1.	Откуда
			1- 3k
		k = 2 . Точка
			M принадлежит
		искомой прямой, тогда по
		формуле (2) уравнение искомой
		прямой	с	k = 2		угловым
	вид	коэффициентом				имеет
		y −1 = 2(x − 4) или 2x − y − 7 = 0 .
	Рис. 9

138

Однако в формуле (9) коэффициент k можно подставить вместо

k2 , а	вместо k1 число		(–3). Тогда	уравнение для определения
углового коэффициента второй прямой:					k + 3	=1. Откуда k = -	1	.
				1- 3k
	M принадлежит					2
Точка			искомой прямой,			тогда ее уравнение
y -1 = -	1	(x - 4) или x + 2y − 6 = 0 .
	2
Получили две прямые, удовлетворяющие условию 2x − y − 7 = 0
и x + 2y − 6 = 0 . □

90. Пучок прямых. Если пересекающиеся прямые заданы уравнениями A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 , то уравнение

A1x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0	(11)
где λ – произвольный вещественный числовой множитель,	определяет

прямую, проходящую через точку пересечения заданных прямых. Уравнение (11) называют уравнением пучка, центр которого есть точка пересечения заданных прямых.

Пример 19.	Найти	прямую, принадлежащую	пучку
4x + 3y + 5 + λ(x + 2y + 6) = 0 и проходящую через точку M (2;1) .
Решение. Подставим координаты точки M в уравнение пучка,
откуда получим 16 +10λ = 0		или λ = −1,6 . Тогда уравнение искомой
прямой принимает	вид	4x + 3y + 5 −1,6(x + 2y + 6) = 0	или
12x − y − 23 = 0 . □

Пример 20. Даны уравнения сторон треугольника

x + 2y + 5 = 0 (AB) , 3x + y +1 = 0 (BC) и x + y + 7 = 0 (AC) .

Составить уравнение высоты треугольника, опущенной на сторону AC .

Решение. Найдем координаты точки B как точки пересечения прямых AB и BC , т.е. как решение системы

				ìx + 2y + 5 = 0,
			í			= 0.
				î3x + y +1
Следовательно, Bçæ	3	;-	14		÷ö .
	5			5
è					ø

139

Вектор a = (1;1) является нормальным вектором стороны AC . Тогда нормальным вектором высоты BD , перпендикулярной AC ,

будет вектор

b

= (1;−1) .

Поэтому уравнение высоты BD имеет вид

x − y + m = 0 . Т.к. точка

B принадлежит высоте, то ее координаты

удовлетворяют этому

уравнению, т.е.

3

+

14

+ m = 0 .

Откуда

5

5

17

17

m = −

. Значит, уравнение высоты

BD :

x − y −

= 0 или

5

5

5x − 5y −17 = 0 . □

Задания для самостоятельной работы.

1.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линиями	x = 3, x = 6,
	y = −3, y = 0 .					y = 3x + 2 ,
2.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линиями
	y = −1, x =1.
3.	Определить площадь фигуры, ограниченной линиями y = −2x ,
	y = 4, x = 0 .					y = 4x − 3 ,
4.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	линиями

y = 0, x = 0 .

5.Проверить, принадлежат ли точки A(3;3), B(0;2), C(0;−8) прямой y = 6x − 8 .

6.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (2;1) ,

если ее угловой коэффициент равен: а) 5; б) –2.

7.Выяснить под каким углом пересекает ось Ox прямая:

а) 2y − x =1; б) 3x + 4y − 7 = 0 ; в) 2x − 5y = 0 .

8. Определить угол между положительным направлением оси Ox и прямой:

а) 6x + 3y = 4 ; б) 3y = 3x ; в) y = −x + 6 ; г) x = 3 .

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (1;2) и

образующей с осью Ox угол: а) 0o ; б) 30o ; в) π	4	;	г) 135o ;
д) arctg(−7) .

140