Математика для инженеров(практика) I часть

20. Канонические и параметрические уравнения прямой. Прямая,

проходящая через две точки M1(x1; y1; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ) записывается уравнениями

x - x1

=

y - y1

=

z - z1

.

(3)

- x

- y

x

y

2

z

2

- z

2

1

1

1

Канонические уравнения

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

(4)

m

l

n

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

определяют

прямую,

проходящую

через точку

с

направляющим вектором a = (l;m;n) .

В частности, уравнения (3) могут быть записаны в виде

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

,

(5)

cosα

где α, β , γ

cos β

cosγ

–

соответствующие

углы, образованные

прямой

с осями

координат. Направляющие косинусы прямой находятся по формулам:

cosα =

l

; cos β =

m

; cosγ =

n

.

l2 + m2 + n2

l2 + m2 + n2

l2 + m2 + n2

Вводя параметр t ,

перейдем от канонических уравнений прямой к

параметрическим уравнениям

ìx = lt + x0 ,

ï

= mt + y0 ,

(6)

í y

ï

= nt + z0.

îz

Пример 1. Записать уравнения прямой

4x + 3y − 2z − 5 = 0,

{5x + y − 7z − 8 = 0

в канонической и параметрической формах.

Решение.

Направляющий вектор

данной прямой найдем

по

a =

i

j

−

k

= −19

+18

−11

l = −19 ,

формуле

(2):

4

3

2

i

j

k

.

Значит

5

1

−

7

m =18, n = −11 . Определим какую-либо точку, лежащую на прямой. Пусть x0 = 0 . Подставляя x0 в исходную систему, получим

161

3y - 2z - 5 = 0,

y0 =1, z0 = -1 .

{y - 7z - 8 = 0.

Откуда

Тогда уравнения

искомой

прямой в канонической форме примут вид

x

=

y -1

=

z +1

.

-19

Вводя параметр t

18

-11

по формулам (6), запишем уравнения прямой

в параметрической форме: x = −19t, y =18t +1,

z = −11t −1 . □

Пример 2. Дана

плоскость x + 2y − z − 6 = 0

и

вне

ее точка

M (2;2;2) . Найти точку

N , симметричную точке

M относительно

данной плоскости.

Решение.

Точка

N

лежит на прямой, перпендикулярной

данной

плоскости.

Будем

искать

уравнения

прямой,

перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку M ,

в виде

x - 2

=

y - 2

=

z - 2

. Направляющий вектор прямой (l;m;n)

l

m

n

должен

совпадать

с

нормальным

вектором

плоскости, т.е.

(l;m;n) = (1;2;−1) .

Тогда уравнения искомой прямой

x - 2

=

y - 2

=

z - 2

.

1

2

-1

Точку

S пересечения полученной прямой и плоскости найдем

из системы

ì2(x - 2) = y - 2,

ìy = 2x - 2,

ì x - 2

=

y - 2

=

z - 2

,

ï

ï

= -(x - 2),

ï

- x,

1

2

-1

í

Û íz - 2

Û íz = 4

ï

+ 2y - z - 6

= 0,

ï

ï

îx

îx + 2y - z - 6 = 0,

îx + 2y - z - 6 = 0.

Отсюда S æ 7 ; 8 ; 5 ö .

ç ÷ è 3 3 3 ø

По условию, MS = SN или MS2 = SN 2 . Точка N принадлежит прямой MS . Тогда координаты точки N найдем из системы

ìæ

7

ö2

æ

8

ö2

æ

5

ö2

æ

7 ö2

æ

8 ö2

æ

5 ö2

ïç

2

-

÷

+

ç

2 -

÷

+ ç

2

-

÷

= ç xN -

÷

+ ç yN -

÷

+ ç zN -

÷

,

3

3

3

ïè

ø

è

ø

è

ø

è

3 ø

è

3 ø

è

3 ø

í

- 2

y

- 2

z

- 2

ï x

N

=

N

=

N

.

ï

1

2

-1

î

162

Выражая из второго уравнения yN , zN

через

xN и подставляя

их

в

первое

уравнение

системы,

получим

искомую

точку

æ

8

10

4

ö

N

ç

;

;

÷ . □

3

3

3

è

ø

30. Угол между двумя прямыми. Пусть в пространстве две прямые

заданы их каноническими уравнениями

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

.

(7)

l

l

m

n

m

n

1

1

1

2

2

2

Углом

ϕ

между двумя прямыми считают один из двух смежных

углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов ϕ равен

углу между направляющими

векторами

a1 = (l1;m1;n1)

и a2 = (l2 ;m2 ;n2 )

данных прямых. Поэтому

cosϕ =

l1l2 + m1m2 + n1n2

.

(8)

l12 + m12 + n12 l22 + m22 + n22

Пример 3. Определить угол между прямыми

x + 2

=

y - 5

=

z - 8

и

x - 3

=

y + 3

=

z -10

.

1

2

-11

-4

4

-20

Решение. Направляющие векторы данных прямых a1 = (1;-4;4) и a2 = (2;-20;-11) . По формуле (8) косинус угла между данными прямыми равен

cosϕ =

1× 2 + (-4) ×(-20) + 4×(-11)

=

38

.

12 + (-4)2 + 42

22 + (-20)2 + (-11)2

15 77

Тогда ϕ = arccos

38

. □

15

77

Пример 4. Найти угол между прямыми

ì4x - y - 2z + 6 = 0,

ì2x - 3y +10 = 0,

í

- 3 = 0

и í

- z

= 0.

îy - z

î3x

Решение. По формуле (2) направляющий вектор первой прямой

i

j

k

i

j

k

a =

4

-1 - 2

= 3

+ 4

+ 4

, второй

=

2

- 3

0

= 3

+ 2

+ 9

.

k

b

k

i

j

i

j

0

1

-1

3

0

-1

163

По формуле (8) косинус угла ϕ между ними, а значит и между

прямыми равен

3×3 + 4 × 2 + 4 ×9

53

53

cosϕ =

=

=

.

32 + 42 + 42 32 + 22 + 92

41

94

3854

Тогда ϕ = arccos

53

. □

3854

Условие параллельности прямых (7):

l1

=

m1

=

n1

,

(9)

l

m

n

2

2

2

а условие их перпендикулярности имеет вид

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 .

(10)

Необходимое

и достаточное

условие

расположения двух прямых,

заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых), имеет вид

	x2	− x1	y2	− y1	z2	− z1		= 0 .	(11)
		l1		m1		n1
		l2		m2		n2
Если величины		l1, m1, n1 не пропорциональны величинам							l2 , m2 , n2 ,

то условие (11) является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

Пример 5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку M0 (3;-2;5) и пересекающей ось Ox под прямым углом.

Решение. Канонические уравнения оси Ox :

x

=

y

=

z

.

Будем

1

0

0

искать уравнения прямой

L в виде

x - 3

=

y + 2

=

z - 5

. Ось

Ox и

l

m

n

прямая L должны лежать в одной плоскости. Значит, по формуле (11)

выполняется равенство

-3 - 0 2 - 0 - 5 - 0

= 0

или

-3 2 - 5

= 0,

или 2n + 5m = 0.

l

m

n

l

m

n

1

0

0

1

0

0

Кроме того, ось Ox

и прямая L перпендикулярны. Значит, в

силу (9),

l ×1+ m × 0 + n × 0 = 0 . Таким образом, l = 0, n = -

5m

. Тогда

2

164

уравнения искомой прямой

x - 3

=

y + 2

=

z - 5

или, окончательно,

0

m

-

5m

x - 3

y + 2

z - 5

2

=

=

.

Перепишем

полученные уравнения в

0

1

-

5

2

5

параметрической форме (6),

т.е.

x = 0 ×t + 3 ,

y =1×t - 2 , z =

×t + 5

2

5

или x = 3 , y = t - 2 , z =

t + 5 . □

2

Пример 6. Составить уравнения прямой, проходящей через

точку M0 (3;4;7)

и параллельной вектору a = (2;-8;5) .

Решение. Будем искать уравнения прямой, проходящей через

точку

M0 ,

в

виде

x - 3

=

y - 4

=

z - 7

.

Направляющий

вектор

l

m

n

искомой прямой (l;m;n) параллелен вектору a . Тогда, по условию

параллельности прямых (9):	l	=	m	=	n	. Откуда	l =	2m	, n =	5m	.
	2		-8					-8		-8
				5

Подставляя полученные выражения в искомые уравнения и сокращая

на m , получим

x - 3

=

y - 4

=

z - 7

. □

- 1

4

1

- 5

8

Пример 7. Составить уравнения прямой, проходящей через

точку M0 (2;2;2)

и

перпендикулярной векторам

a = (2;3;1) и

= (3;2;1) .

b

Решение. Ищем уравнения прямой, перпендикулярной данной

плоскости и проходящей через точку M0 , в виде

x - 2

=

y - 2

=

z - 2

.

l

m

n

По условию, направляющий вектор прямой (l;m;n) перпендикулярен

векторам a и	b	. По формуле (10)	получаем	условия
2l + 3m + n = 0, 3l + 2m + n = 0 или m = l, n = -5l .			Тогда	уравнения

165

искомой

прямой

x − 2

=

y − 2

=

z − 2

или,

окончательно,

−5l

x − 2

y − 2

z − 2

l

l

=

=

. □

1

1

−5

Пример 8. Даны три последовательные вершины

параллелограмма ABCD :

A(3;0;−1), B(1;2;−4)

и

C(0;7;−2) . Найти

уравнения сторон AD и CD .

Решение. Направляющим вектором прямой

AB

является

вектор

a = (1− 3;2 − 0;−4 +1) = (−2;2;−3) .

Тогда

он

является

направляющим вектором и прямой CD , параллельной

AB .

Подставляя

координаты вектора

a

и точки

C

в

формулу

(3),

получаем уравнения стороны CD :

x

=

y − 7

=

z + 2

.

−2

2

−3

BC

Аналогично, направляющим вектором прямой

является

вектор

= (−1;5;2) .

Он

также

является

направляющим

вектором

b

прямой AD , параллельной BC . Подставляя координаты вектора b и точки A в формулу (3), получаем уравнения стороны AD :

x − 3

y

z +1

=

=

. □

−1

5

2

Пример 9. В уравнениях

x

=

y

=

z

определить параметр n

3

−2 5n

x + 2

y − 4

z

так, чтобы эта прямая пересекалась

с

прямой

=

=

и

3

1

2

найти точку их пересечения.

Решение. По условию компланарности (11) двух прямых

	имеем:
		−2 − 0 4 − 0 0 − 0							−2 4 0
		3	− 2	5n		= 0 или			3	− 2		5n		= 0 .
		3	1	2					3	1		2
	Вычисляя определитель, получим						n =			8	.	Т.е., при n =			8	,
										35					35

данные прямые лежат в одной плоскости.

166

Для нахождения точки их пересечения

уравнений

x

=

y

=

z

,

x + 2

=

y - 4

=

z

. Откуда,

3

-2

8

3

7

1

2

□

– точка пересечения данных прямых.

решим систему

Mæ -14 ; 28 ;-16 ö

ç ÷ è 3 9 9 ø

40. Уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и расстояние между двумя прямыми. Уравнения общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым, заданным уравнениями (7), задаются системой уравнений

x - x1 y - y1 z - z1

x - x2 y - y2 z - z2

l1

m1

n1

= 0,

l2

m2

n2

= 0 ,

(12)

l

m

n

l

m

n

æ

m1 n1

l1 n1

l1 m1

ö

где (l;m;n) = ç

m

n

; -

l

n

;

l

2

m

÷ .

è

2

2

2

2

2

ø

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

Обозначим q =

l1

m1

n1

.

l2

m2

n2

Если прямые, заданные уравнениями (7), скрещивающиеся, то

расстояние между ними вычисляется по формуле

d =

q

.

(13)

l2 + m2 + n2

Если прямые, заданные уравнениями (7), параллельны, то расстояние

между ними вычисляется по формуле

y

2

- y z

2

- z

2

+

z

2

- z x - x

2

x - x y

2

- y

2

m1

1

1

1 2

1

+

2

1

1

d =

n1

n1

l1

l1

m1

.

(14)

l

2

+ m2 + n2

1

1

1

Вместо l1, m1, n1 можно взять l2 , m2 , n2 .

Пример 10. Проверить являются ли прямые

x

=

y + 4

=

z + 2

,

x -1

=

y - 2

=

z + 2

-4

1

0

1

3

-1

скрещивающимися. Если являются, то составить уравнения общего перпендикуляра и найти расстояние между данными прямыми.

Решение. Проверим условие компланарности (11). Для этого вычислим определитель

167

q =		1- 0 2 - (-4) -2 - (-2)						1	6	0
		-4	0	1		=		-4	0	1	= -21 .
		1	3	-1				1	3	-1

Определитель не равен нулю, значит данные прямые не компланарны. Следовательно, они являются скрещивающимися.

Вычислим

æ		0	1		;-		-4	1		;		-4 0		ö	= (-3;-3;-12) .
(l;m;n) = ç		3	-1				1	-1				1 3		÷
è														ø

Согласно (12), уравнения общего перпендикуляра определяются системой уравнений

							x y + 4 z + 2									x -1 y - 2 z + 2
					- 4				0	1				= 0,		1				3				-1				= 0
					- 3				- 3 -12							- 3				- 3 -12
или x −17y + 4z − 60 = 0, 13x − 5y − 2z − 7 = 0 .
	По формуле (13) расстояние между скрещивающимися прямыми
			q								-21									21				7							7
d =							=											=					=							=		2	. □
																									3						6
		l2 +	m	2 + n2					(-3)2 + (-3)2 + (-12)2												162					2
	50. Угол между прямой и плоскостью.																				Пусть				даны						прямая L ,
заданная каноническими уравнениями (4) и плоскость вида
										Ax + By + Cz + D = 0 .																							(15)

Углом α между прямой L и плоскостью (15) называется острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (15), синус которого можно найти по формуле

	sinα =			Al + Bm + Cn						.
			A2 + B2 + C2 l2 + m2 + n2

Условие параллельности прямой и плоскости:

Al + Bm + Cn = 0 .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид

(16)

(17)

A	=	B	=	C	.	(18)
l		m
				n

Запишем теперь условия, при которых прямая (4) принадлежит плоскости (15). Это будет тогда и только тогда, когда одновременно будут

	выполняться два равенства:
	Ax0 + By0 + Cz0	+ D = 0,	(19)
	Al + Bm + Cn =	0.

168

Пусть прямая в пространстве задана уравнениями (1), где C1, C2

одновременно не равны нулю.

Чтобы найти проекцию этой прямой на плоскость Oxy достаточно

исключить z из уравнений прямой. Полученное уравнение (вместе с уравнением z = 0 ) будет представлять искомую проекцию. Аналогично находят проекции на плоскости Oyz, Oxz .

Пример 11. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3y + 6z − 2 = 0 , x − 2y + 2z + 8 = 0 и

параллельной оси Oz .

Решение. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую пересечения данных плоскостей, по формуле (3.11) будет

иметь вид x + 3y + 6z - 2 + λ (x - 2y + 2z + 8) = 0 или

(1+ λ)x + (3 − 2λ)y + (6 + 2λ)z − 2 + 8λ = 0 .

По условию (17) параллельности полученной плоскости и оси

Oz , уравнения которой 0x = 0y = 1z имеем

(1+ λ) ×0 + (3 - 2λ) ×0 + (6 + 2λ) ×1 = 0 .

Откуда λ = −3. Таким образом, уравнение искомой плоскости

2x - 9y + 26 = 0 . □

Пример 12. Какой угол образует с плоскостью x + y + 2z - 4 = 0 вектор a = i + 2 j + k ?

Решение. Угол между вектором и данной плоскостью можно рассматривать как угол между прямой с направляющим вектором a и

плоскостью. По формуле (16)

sinα =

1×1+1× 2 + 2×1

=

5

.

6

2

2

2

2

+ 2

2

2

1 +1 + 2

1

+1

5

Тогда искомый угол α = arcsin

. □

6

Пример 13. Составить уравнения прямой, проходящей через

начало координат перпендикулярно прямой

x + 2

=

y +1

=

z + 3

.

-2

-3

1

Решение. Будем искать уравнения прямой, проходящей через

начало координат,

в виде (3):

x

=

y

=

z

. Чтобы

прямые

были

m

n

перпендикулярны,

l

угол между ними должен быть прямым и они

169

должны лежать в одной плоскости, т.е. должны выполняться условия

(10)

и (11). Таким

образом,

имеем

(-2) ×l + (-3) × m +1× n = 0

и

0 + 2

0 +1

0 + 3

n = 2l + 3m и

8m + 4n −10l = 0 .

- 2

- 3

1

= 0 .

Отсюда

l

m

n

Получаем l =10m

, n = 23m . Тогда уравнения искомой прямой

x

=

y

=

z

10m

m

23m

или, окончательно,

x

=

y

=

z

. □

10

1

23

Пример 14.

Через

прямую

L :

x -1

=

y +1

=

z - 2

провести

1

2

3

-1

плоскость, параллельную прямой L

:

x - 2

=

y + 2

=

z - 3

.

2

-1

2

3

Решение. Ищем уравнение плоскости в виде (11). Нормальный

вектор плоскости (A; B;C) . Направляющий вектор прямой

L2 −

(–1;2;3). Плоскость и прямая L2

параллельны, тогда по условию (17)

имеем −A + 2B + 3C = 0 . Прямая L1

лежит в искомой плоскости,

а

тогда

по условиям (19):

A − B + 2C + D = 0, 2A + 3B − C = 0 .

Решая

систему

полученных

трех

уравнений,

будем

иметь

A = -

11

B, C = -

7

B ,

D = 6B . Таким образом,

уравнение искомой

5

5

плоскости

-

11

Bx + By -

7

Bz + 6B = 0

или,

окончательно,

5

5

11x − 5y + 7z − 30 = 0 . □

Пример 15.

Найти

уравнения

проекции

прямой

x +1

=

y -1

=

z - 3

на плоскость x + 2y + z − 4 = 0 .

1

2

3

ì x +1

y -1

z - 3

Решение.

Решая систему

ï

=

=

,

получим точку

í

1

2

3

ï

îx

+

2y + z -

4 =

0

пересечения прямой и плоскости M (−1;1;3) .

S(0;3;6)

Возьмем на прямой произвольную точку, например,

(координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой). Найдем уравнения прямой, перпендикулярной данной плоскости и

170