Tom_2

§ 3. Связь между криволинейными нтегралами первого и второго рода

Пусть гладкая кривая AB задана параметрическими уравнениями x = ϕ(t), y =ψ (t), a ≤ t ≤ b , и пусть точке А соответствует

значение t = a ,

точке

В

−

значение

t = b .

Дифференциал дуги

вычисляется по формуле

dl =

¢

(t))

2

+

¢

(t))

2

или dl

=

(dx)

2

+ (dy)

2

(1)

(ϕ

(ψ

и характеризует длину отрезка

касательной к кривой AB от точки

касания

N (x; y)

до

точки

T (x + Dx; y + dy) ,

то

есть

равен

гипотенузе

прямоугольного

треугольника с катетами

Dx

и

dy

. В

качестве

дифференциала

dx

независимой переменной можно взять

Рис. 1

приращение

x .

Тогда можем записать

dx = cosαdl,

dy = cos β dl ,

где α и β

(2)

есть углы между касательной, направленной по ходу

интегрирования, и осями Ox и Oy соответственно.

Заменяя в формулах (2.3), (2.4), определяющих криволинейные интегралы второго рода, dx и dy их выражениями (2), получаем

ò P(x, y)dx = ò P(x, y)cosαdl ,

	AB		AB
	ò Q(x, y)dy = ò Q(x, y)cos β dl ,			(3)
ò	AB	AB	ë	û
	P(x, y)dx + Q(x, y)dy =	ò
			éP(x, y)cosα + Q(x, y)cos β ù dl .
AB		AB

Формулы (3) устанавливают связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Заметим, что при изменении направления движения точки по кривой на противоположное, изменят знак не только выражения dx , dy , но и функции cosα, cos β , поэтому справедливость формул (3)

сохранится.

114

Для криволинейных интегралов по пространственной кривой имеет место аналогичное равенство

Рис. 2

ò Pdx + Qdy + Rdz = ò (Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) dl ,		(4)
AB	AB

где α, β,γ – углы между касательной к кривой и осями координат в

предположении, что направление касательной соответствует направлению дуги интегрирования.

Упражнение 1. Доказать формулу (4), выражающую зависимость между криволинейными интегралами первого и второго рода по пространственной кривой.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò xydx ,

где

L –

четверть

окружности

x2 + y2 = R2 , x ³ 0, y ³ 0 ,

L

пробегаемой против часовой стрелки.

Решение. Запишем уравнение окружности в параметрической

форме

x = Rcost,

y = Rsint

и

сведем

данный интеграл к

определенному:

π

π

ò xydx = ò2

R2 cost sin t × R(-sin t)dt = -R3 ò2 sin2 t × d (sin t) =

L

0

0

1

π

R3

= -

R

3

sin

3

t

2

= -

.

3

0

3

Этот же интеграл можно вычислить, сведя его к криволинейному интегралу первого рода. Как известно, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Тогда угол α между положительным направлением оси Ox и касательной, соответствующей направлению интегрирования (рис.2), и угол t между положительным направлением оси Ox и радиусом окружности, проведенным в точку касания, связаны соотношением

α = π2 + t . В результате получаем

115

			π
			2		æ	π	ö
ò xydx =ò xy cosαdl = ò R3 cost sin t cosç						2	+ t ÷dt =
L	L		0		è		ø
		π
		= -R3 ò2 cost sin2 tdt = -		R3	. □
		0	3

§4. Приложения криволинейных интегралов первого и второго рода.

Рассмотрим возможности применения криволинейных интегралов в геометрии и физике.

10. Вычисление длины дуги кривой. Длина плоской или

пространственной линии АВ вычисляется по формуле
ò dl = l .	(1)

AB

Действительно, в этом случае подынтегральная функция равна единице и каждая интегральная сумма представляет собой длину l кривой АВ.

Пример 1. Вычислить длину окружности x2 + y2 = R2 . Решение. По формуле (1) получаем

2π

l = ò dl = ò R2 sin2 t + R2 cos2 tdt = 2π R . □

AB	0
20. Вычисление площади цилиндрической поверхности.
Пусть в плоскости Oxy задана гладкая кривая AB и на этой кривой
	определена			функция
	f (N ) = f (x, y) ³ 0 .		Тогда	площадь
	части цилиндрической поверхности
	AA′B′B ,	составленной		из
	перпендикуляров к плоскости Oxy,
	восстановленных в		точках N (x; y)
	кривой AB и имеющих переменную
	длину f (N ) , равна
Рис.	1		S = ò f (x, y)dl .
				AB
				(2)

116

Для доказательства формулы (2)			разобьем кривую			AB на n
частей точками A = N0 , N1, N2 ,K, Nn = B .				Из каждой	такой точки
Nk , k =		, проведем перпендикуляры	к	плоскости	Oxy	высотой
	0,n

f (N ) . В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на n

полосок.

Каждую

такую полоску

заменим

прямоугольником

с

основанием

lk ,

где

lk

– длина дуги

−1Nk , и высотой, равной

Nk

значению функции

f (Mk ) , где

Mk

–

произвольная

точка

дуги

−1Nk . Тогда

площадь

k-ой полоски

приближенно

будет

равна

Nk

Sk

≈ f (Mk )

lk , а площадь всей поверхности

′ ′

AA B B

n

S ≈ å f (Mk ) lk .

k=1

При

стремлении

к

нулю

l(n) = max lk

сумма

в

последнем

1≤k≤n

равенстве стремится к искомой площади:

n

(Mk ) lk

= ò f (N )dl .

S =

lim

å f

Рис. 2

l(n)→0 k=1

AB

В формуле (2) заключается геометрический смысл

криволинейного интеграла первого рода.

Пример 2. Вычислить площадь боковой поверхности прямого

цилиндра, имеющего радиус основания R и высоту h.

Решение.

Выберем

прямоугольную

систему

координат

так,

чтобы начало координат совпало с центром нижнего основания цилиндра, лежащего в плоскости Oxy, а направляющая цилиндра была параллельна оси Oz (рис. 2). На границе нижнего основания цилиндра рассмотрим функцию f (x, y) = h . Тогда, по формуле (2),

имеем S = ò hdl , где	AB – окружность	x2 + y2 = R2 . Переходя к
AB
определенному	интегралу,	получаем

2π

S = ò hR2 sin2 t + R2 cos2 tdt = 2π Rh . □

0

30. Вычисление массы кривой. Пусть вдоль некоторой кривой AB распределена масса с плотностью γ (N) , где N − произвольная

точка кривой AB.

117

		Для нахождения массы m кривой AB разобьем данную кривую
	на	части точками A = N0 , N1,..., Nn = B .			В каждой из	частей
		−1Nk , k =1,n, возьмем произвольную			точку Mk .	Тогда
	Nk

n

приближенное значение массы m кривой AB будет åγ (Mk ) lk , где

			k=1
lk	− длина дуги		−1Nk . В пределе при l(n)	= max lk → 0
		Nk
				1≤k≤n

получим точное значение массы m кривой AB:

			n		lk = ò γ (N )dl.
	m =	lim	åγ (N)				(3)
		l(n)→0 k=1				AB
В формуле (3) заключается физический смысл криволинейного
интеграла первого рода.
Пример 3.	Вычислить			массу		половины	окружности
x2 + y2 = R2 ,	y ³ 0 ,	если		ее	плотность в		каждой точке

пропорциональна координате y с коэффициентом k.

Решение. Используя параметрические уравнения окружности x = R cost, y = Rsint , по формуле (3) имеем

	π		π
m = ò kydl = òkRsint		R2 sin2 t + R2 cos2 tdt = kR2 òsin tdt = 2kR2 .
AB	0	0

□

40. Вычисление координат центра тяжести материальной кривой. Пусть AB – материальная кривая и γ (x, y) – ее плотность в

точке N (x; y) . Тогда координаты центра тяжести кривой AB

вычисляются по формулам

ò yγ (x, y)dl

ò xγ (x, y)dl

x

=

AB

,

y

=

AB

.

(4)

ò γ (x, y)dl

c

ò γ (x, y)dl

c

AB

AB

Координаты центра тяжести пространственной кривой

вычисляются по формулам

x =

ò xγ (x, y, z)dl

, y =

ò yγ (x, y, z)dl

z

=

ò zγ (x, y, z)dl

AB

AB

,

AB

ò γ (x, y, z)dl

ò γ (x, y, z)dl

c

c

ò γ (x, y, z)dl

c

AB

AB

AB

.

118

Вывод этих формул аналогичен выводу формул для центра тяжести плоского или пространственного тела, выполненному в пункте 4.9.60. Для этого кривую АВ разобьем на n частей с длинами

Dlk , k = 1, n . В произвольной точке Mk (xk ; yk ), k = 1,n , из k-ой части сосредоточим массу γ (xk , yk )Dlk этой части и запишем формулы для координат центра тяжести системы n точек, которые в пределе при

Dl(n) = max Dlk ® 0 дают формулы (4) координат центра тяжести

1≤k≤n

кривой AB.

Пример 4. Найти координаты центра тяжести полуокружности x2 + y2 = R2 , y ³ 0 , если ее плотность есть γ (x, y) = y .

Решение. В силу симметрии

кривой, имеем

xc = 0 .

Далее,

ò

y2dl

ò

y2dl

y =

AB

=

AB

, где масса m кривой,

из примера 3 при

k =1,

ò

c

ydl

m

AB

есть

2R2 .

Применяя

параметрические

уравнения окружности

x = R cost, y = Rsint , вычисляем

π

π

ò

y2dl = ò R2 sin2 t

R2 sin2 t + R2 cos2 tdt = R3 òsin2 tdt =

AB

0

π

0

3

π 1- cos2t

3

é1

1

ù

1

3

ò

=

R

dt = R

ê

t -

sin 2tú

=

R π .

2

2

4

2

0

ë

û

0

Окончательно получаем xc = 0 , yc = 14 Rπ . □

50. Вычисление моментов инерции материальной кривой.

Определения моментов инерции точки, а также системы точек, относительно оси и относительно точки даны в пункте 4.9.50.

Вывод формул для вычисления моментов инерции материальной кривой аналогичен выводу формул (4) для координат центра тяжести кривой. Для этого кривую АВ разбиваем на n частей с

длинами Dlk, k = 1,n, делаем предположение об однородности этих

частей, выбираем на частях точки и в них сосредоточиваем всю массу соответствующих частей. В результате получим систему

материальных точек Mk ,k = 1,n , с массами γ (xk , yk )Dlk , где γ (x, y) − плотность кривой АВ в точке с координатами (x; y) .

119

Для полученной системы точек выпишем формулы для

моментов	инерции и перейдем в них к пределу при
l(n) = max	lk → 0 .
1≤k≤n

Для плоской кривой моменты инерции относительно осей Ox и Oy выразятся формулами

Ix = ò y2γ (x, y)dl,	I y = ò x2γ (x, y)dl
AB	AB

соответственно, а момент инерции относительно начала координат − формулой

I0 = ò (x2 + y2 )γ (x, y)dl .

AB

Для пространственной кривой моменты инерции относительно осей координат вычисляются по формулам

Ix = ò (y2 + z2 )γ (x, y, z)dl,
I y = ABò (x2 + z2 )γ (x, y, z)dl,	(5)
Iz = ABò (x2 + y2 )γ (x, y, z)dl,
AB
а относительно начала координат − по формуле:
I0 = ò (x2 + y2 + z2 )γ (x, y, z)dl .
AB
Пример 5. Вычислить момент инерции относительно аппликаты
одного витка однородной винтовой линии x = ρ cos wt ,	y = ρ sin wt,
z = vt, 0 ≤ t ≤ 2π , при условии, что γ (x, y, z) = γ .

Решение. По третьей из формул (5) имеем:

Iz = ò (x2 + y2 )γ (x, y, z)dl =

AB

2π

= ò ρ2γ

ρ2w2 sin2 wt + ρ2w2 cos2 wt + v2 dt =

0

2π

= ò ρ2γ ρ2w2 + v2 dt = 2πρ2γ ρ2w2 + v2 . □

0

60. Вычисление работы силы. Пусть под действием

переменной

силы

=

(x, y) = P(x, y)

+ Q(x, y)

(

,

−

F

F

i

j

i

j

координатные

вектора)

материальная точка перемещается

вдоль

120

кривой ВС в направлении от точки В к точке С. Вычислим работу А по такому перемещению.

Для этого разобьем

кривую

ВС на части

при

помощи

точек

B = N0 , N1,..., Nn = C .

Работу Ak

по перемещению точки вдоль дуги

можно считать приближенно равной

Nk−1Nk под действием силы F

работе по перемещению точки вдоль вектора

Nk−1Nk

под действием

постоянной силы

Ak

F

(Nk−1) = Fk ,

т.е. работа

приближенно равна

скалярному произведению векторов Fk и Nk−1Nk

:

Ak » Fk × Nk−1Nk .

Тогда, если

есть вектор с координатами (Dxk ;Dyk ) ,

то

Nk−1Nk

Ak » P(Nk−1)Dxk + Q(Nk−1)Dyk .

Приближенное

значение работы

по

всей кривой получается путем суммирования Ak

по всем k:

n

n

A » å Ak =

å(P(Nk−1)Dxk + Q(Nk−1)Dyk ).

(6)

k=1

k=1

Точное значение работы A получается как предел суммы (6) при

стремлении к нулю наибольшей из длин дуг Nk−1Nk , т.е. как значение

криволинейного интеграла второго рода:

A = ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

(7)

BC

В формуле (7) заключается физический смысл криволинейного

интеграла второго рода.

Вычисление

работы

переменной

силы

F

= P(x, y, z)

i

+

+Q(x, y, z)

+ R(x, y, z)

по

перемещению

точки

вдоль

j

k

пространственной кривой ВС сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода

A = ò P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz .

BC

Пример 6. Вычислить работу силы F = (2xy; x) = 2xyi + xj по перемещению точки вдоль отрезка, соединяющего начало координат с точкой (1;1) .

Решение. Данный отрезок определяется соотношениями y = x ,

	0 ≤ x ≤ 1 . По формуле (7) имеем A = ò	2xydx + xdy = ò1	(2x2 + x)dx =1	1	. □
				6
	L	0

121

Пример 7. Вычислить работу силы F = (2xy; x) = 2xyi + xj по перемещению точки вдоль кубической параболы y = x3 от точки

	(0;0) до точки (1;1) .
	Решение. Имеем
		1	æ	2			3		ö		1	23
	A = ò2xydx + xdy = ò(2x4		+ 3x3 )dx = ç		x5	+		x4	÷		=		. □
				5			4					20
	L	0	è						ø		0

§5. Формула Грина

Рассмотрим криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру. В §2 было отмечено, что криволинейный интеграл второго рода при смене направления интегрирования меняет знак

	на противоположный. Однако,
	значение	интеграла		по	замкнутому
	контуру и в заданном направлении не
	зависит от выбора начала обхода. Чтобы
	убедиться в этом, запишем интеграл по
	замкнутому контуру L (рис.1) в
	указанном	направлении,			выбирая	в
Рис. 1	качестве	начальной			точку	А,
	а затем точку В:
ò P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ò			+	ò	,
L		L( A,B)	L(B,A)
ò P(x, y)dx + Q(x, y)d y = ò			+	ò	.
L		L(B,A)	L( A,B)

Подынтегральные выражения в правых частях последних равенств опущены для краткости записи. Поскольку правые части в последних равенствах одинаковы, то одинаковы и левые части, то есть значение интеграла по замкнутому контуру не зависит от выбора начала обхода этого контура.

Теорема	1. Пусть в плоскости Oxy задана замкнутая,
правильная в направлениях осей Ox		и Oy область G, ограниченная
гладкой или	кусочно-гладкой	кривой L . Пусть функции

122

P(x, y), Q(x, y) в	области			G	непрерывны вместе со			своими
частными производными			¶P	и	¶Q	. Тогда справедлива		формула
			¶y		¶x
Грина
òò	æ	¶x	¶y	ö		ò	Pdx + Qdy .	(1)
	è			ø
	ç	¶Q -	¶P	÷dxdy =
G						L

y

D

Доказательство.

Пусть

d

область G (рис. 2) можно определить

y2 (x)

x2

(y)

неравенствами

B

y1 (x) £ y £ y2 (x), a £ x £ b .

x1(y)

A

Тогда

двойной

интеграл

c

y1 (x)

òò ¶P dxdy вычисляется

C

следующим

0

a

b

x

G

¶y

Рис. 2

образом:

b

y2(x)

b

)=

òò ¶P dxdy = òdx

ò

¶P dy = òdx(P(x, y) yy2(xx)

G ¶y

a

y1(x) ¶y

a

1( )

b

b

= òP(x, y2 (x))dx - òP(x, y1

(x))dx.

a a

Каждый из двух последних определенных интегралов является (формула (2.2)) криволинейным интегралом, взятым по

соответствующей кривой ( y2 (x) и y1 (x) ), то есть

b	(x))dx = - ò P(x, y)dx;	b	(x))dx = ò P(x, y)dx
òP(x, y2		òP(x, y1
a	BDA	a	ACB
	.

Следовательно, òò			é	ò P(x, y)dx +
		¶P dxdy = - ê
	G	¶y	ê
или			ëBDA
òò ¶P dxdy = - ò P(x, y)dx .
G	¶y		L

ò	ù
	ú
	P(x, y)dxú ,
ACB	û
	(2)

Если рассмотреть определение области D с помощью неравенств c £ y £ d, x1 ( y) £ x £ x2 ( y), то аналогично получим

123