Часть I. Теория Доказательства теорем

Меню	Назад Вперёд

Доказательства теорем

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.1

Меню	Назад Вперёд

Теорема 1.1

Докажем вначале первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси, то, как было показано в пункте 1.1.2, она определяется уравнением первой степени = + , т.е. уравнением вида (1.9), где = , = −1 и = . Если прямая перпендикулярна оси , то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине отрезка, отсекаемого прямой на оси (рисунок Д.1). Уравнение такой прямой = . Оно также имеет вид (1.9), где = 1, = 0, = − . Первое утверждение доказано.

y

Oa x

Рисунок Д.1

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (1.9), где хотя бы один из коэффициентов или не равен нулю. Если ̸= 0, то (1.9)

можно записать в виде

= − − .

Полагая = − , = − , получаем уравнение =					+ , т.е. уравнение
вида (1.5), которое	определяет прямую. Если =				0, то = 0, и (1.9)
					̸
принимает вид = −		. Обозначая = −		, получаем = , т.е. уравнение
прямой, перпендикулярной оси .				[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.3

Меню	Назад Вперёд

Теорема 1.3

Для обоснования необходимости докажем, что если точка принадлежит эллипсу, то сумма ее фокальных радиусов равна 2 .

Из рисунка 1.10 видно что фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам:

(Д.1)

1 =

( + )2 + 2,

2 =

( − )2 + 2.

Если точка ( , ) принадлежит√

эллипсу, то√ее координаты удовлетворяют

уравнению (1.17), откуда

− 2) (1 − 2 ).

2

= 1 − 2 ,

2 = 2 (1 − 2 ) = ( 2

2

2

2

2

Значит,

1 = √

=

( + )2 + ( 2 − 2)

(1 − 2 )

2

= √

=

( 2 + 2 + 2) + ( 2 − 2 − 2 + 2 2)

2

= √

= √( + )

= +

.

2 + 2 + 2 2

2

2

Аналогичные вычисления дают соотношение для

2:

2

= −

|

Так как

|

| 6

, и 0 < < , то

|

6

.

Следовательно, выражения под

знаками модуля неотрицательны, и

1 = +

2 =

−

(Д.2)

,

.

	Часть I. Теория
	Доказательства теорем
	Теорема 1.3
Меню	Назад Вперёд

Складывая 1 и 2, убеждаемся в справедливости равенства (1.18).

Для доказательства достаточности убедимся, что всякая точка , сумма фокальных радиусов которой равна 2 , принадлежит эллипсу.

В самом деле, согласно (Д.1)

√

=

√

( + ) +

(

) +

( + )2

+

2

+

( − )2

+ 2

= 2 ,

√

− √

2

2

2

−

2

2.

Возведем левую и правую части в квадрат:

√

( + )2 + 2 = 4 2 − 4 ( − )2 + 2 + ( − )2 + 2,

√

( − )2 + 2 = 2 − .

Полученное равенство снова возведем в квадрат:

2 2 2 (( −	2 2	2 )2		4 −	2	2 2
2	)2	+ 2	= ( 2		)2	,
− 2 + +				= − 2 + ,

( 2 − 2) 2 + 2 2 = 2( 2 − 2).

Поскольку 2 = 2 − 2, то 2 − 2 = 2, и преобразуемое равенство принимает вид:

2 2 + 2 2 = 2 2.

Деля его левую и правую части на 2 2, приходим к каноническому уравнению эллипса (1.17). Таким образом, точка принадлежит эллипсу.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.4

Меню	Назад Вперёд

Теорема 1.4

Докажем необходимость. Для этого убедимся, что для всякой точки гиперболы абсолютная величина разности фокальных радиусов этой точки равна 2 .

Из рисунка 1.12 видно, что фокальные радиусы гиперболы могут быть вычислены по формулам:

1 = √		,	2 = √		.	(Д.3)
	( + )2 + 2			( − )2 + 2

Если точка ( , ) принадлежит гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1.19), откуда

2	= 2 − 1,	2 = 2	( 2	− 1) = ( 2 − 2)	( 2 − 1).
2	2		2			2

Вычисление 1 проводим тем же способом, что и при доказательстве теоремы 1.3:

1 = √

=

( + )2 + ( 2 − 2) ( 2 − 1)

2

= √

=

( 2 + 2 + 2) +

( 2 2

− 2

− 2 + 2)

2

= √

=

√( + )

= +

.

2 + 2 + 2 2

2

2

Аналогично находим:

2 =

−

.

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.4

Меню	Назад Вперёд

Так как для гиперболы | | > и > , то | | > . Значит, при раскрытии модулей надо смотреть знак выражения , определяемый зн´аком аргумента

. Имеем два случая:

1)для правой ветви гиперболы > , и поэтому

1 =		+ ,	2	=					− ,	1 − 2 = 2 ;	(Д.4)
2) для левой ветви 6 − ,
1 = −		− ,	2	= −					+ ,	2 − 1 = 2 .	(Д.5)

В каждом из этих случаев верно доказываемое равенство (1.20).

Чтобы обосновать достаточность, покажем, что всякая точка , абсолютная величина разности фокальных радиусов которой равна 2 , принад-

лежит гиперболе.

В этих условиях согласно (Д.3)

√

√

2

2

2

2

2

( + )2

+

2 − ( − )2

+

= 2 ,

±

−

√

√

( + ) +

= 2 +

(

)

+ .

Как и при доказательстве теоремы 1.3, возведем левую и правую части в квадрат:

√

( + )2 + 2 = 4 2 ± 4 ( − )2 + 2 + ( − )2 + 2,

√

± ( − )2 + 2 = − 2.

Полученное равенство снова возведем в квадрат:

2 2 2 (	− 2 2	2 )2	2 2	2	4
2 (	)2	+ 2 = ( − 2)2		,
− 2 + +			= − 2 + ,
( 2 − 2) 2 + 2 2 = 2( 2 − 2).

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.4

Меню	Назад Вперёд

В данном случае 2 = 2 + 2, и после замены 2 − 2 = − 2 получим:

− 2 2 + 2 2 = − 2 2.

Деля левую и правую части на − 2 2, приходим к каноническому уравнению гиперболы (1.19). Этим доказано, что точка принадлежит гиперболе.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.5

Меню Назад Вперёд

Теорема 1.5

Заметим, что для всякой точки ( , ) плоскости фокальный радиус и расстояние до директрисы вычисляются по формулам (смотрите рису-

нок 1.14):	√				= +
=		( − 2 )	+ 2	,		2		,	(Д.6)
			2

Обоснуем необходимость, т. е. докажем, что для всякой точки параболы фокальный радиус равен расстоянию до директрисы .

Если точка ( , ) принадлежит параболе, то координаты и удовлетворяют каноническому уравнению (1.22). Тогда согласно (Д.6)

√

= √

=

=

( 2 − +

4 ) + 2

( − 2 )

+ 2

2

2

=

√

=

√( + 2 )

= + 2

= .

2 + + 4

2

2

Для обоснования достаточности предположим, что точка равноудалена от фокуса и директрисы, и докажем, что эта точка принадлежит параболе.

В соответствии с предположением для точки ( , ) имеет место равенство = . По формулам (Д.6) это означает, что

√			= +	2 .
	( − 2 )	+ 2
		2

Преобразуем это уравнение, возводя обе части в квадрат:

( − 2 )			+ 2 =	( + 2 )	,	2 =	( + 2 )			−	( − 2 )		.
		2			2				2				2

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 1.5

Меню Назад Вперёд

Применяя к правой части последнего равенство формулу разности квадратов, получаем уравнение 2 = 2 , которое представляет собой каноническое уравнение параболы (1.22). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню	Назад Вперёд

Свойства бесконечно малых последовательностей

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

Достаточно получить свойство для суммы двух БМП. Пусть { } и { } есть БМП. Зададим произвольное > 0. В соответствии с определением БМП для всякого положительного числа, в том числе и для 2 , существуют номера1 и 2 такие, что

> 1	| | <				> 2	| | <
				,				.
		2					2

Полагаем 0 = max{ 1, 2}. Тогда > 0 будем иметь, что

| + | 6 | | + | | <			+			= .
	2			2

Таким образом, мы доказали, что

> 0

0 N :

> 0

| + | < .

По определению это означает, что последовательность { + } есть БМП. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Пусть последовательность { } бесконечно малая. Докажем ее ограниченность. По определению БМП для всякого > 0, в том числе и для = 1, существует такой номер 0 N, что для всякого > 0 имеет место неравенство | | < 1. Положим теперь

{ }

= max 1, | 1|, | 2|, . . . , | 0 | .

Тогда для всякого N будет | | 6 . Это и означает, что последовательность { } ограничена. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Пусть { } и { } — бесконечно малая и ограниченная последовательности. Докажем, что последовательность { } бесконечно малая. Для этого зафиксируем > 0 и найдем такое число 0 N, что для всякого > 0

будет | | < .

По определению ограниченной последовательности

> 0 : N | | 6 .

По определению БМП для всякого положительного числа, в том числе и

для / , существует такой номер 0	N, что для всякого > 0 верно
неравенство | | < / .
Но тогда при > 0 будет также верна оценка
| | = | | · | | <			· = ,
доказывающая свойство.			[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Справедливость этого свойства следует из того, что всякая БМП является ограниченной последовательностью, а произведение ограниченной на БМП есть БМП. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства бесконечно малых последовательностей

Меню Свойство 5 Назад Вперёд

Свойство 5

Из определения БМП следует, что каким бы малым мы не выбрали число> 0, имеет место неравенство | | < . А это возможно только в том случае, когда = 0. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.1

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.1

Пусть { } — ББП, все члены которой отличны от нуля. Докажем, что последовательность {1/ } есть БМП. Зафиксируем > 0. По определению ББП для всякого > 0, в том числе для = 1/ ,

0 N :	> 0	| | > =	1
				.

В этих условиях |1/ | < 1/ = . Итак, для всякого > 0 мы смогли подобрать такой номер 0 N, что при > 0 верно неравенство |1/ | < . В соответствии с определением это и означает, что последовательность {1/ } бесконечно малая.

Пусть теперь { } — БМП, все члены которой отличны от нуля. Зафиксируем > 0. По определению БМП для всякого > 0, в том числе для

= 1/ ,		1
0 N :
	> 0	| | < =		.
В этих условиях |1/ | > 1/	= . Таким образом, последовательность
{1/ } бесконечно большая.		[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства сходящихся последовательностей

Меню	Назад Вперёд

Свойства сходящихся последовательностей

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства сходящихся последовательностей

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

Необходимость. Пусть =		lim . Тогда
		→∞
> 0	0 N :		> 0	| − | < .

Это означает, что последовательность { − } есть БМП. Достаточность. Пусть последовательность { − } есть БМП. Тогда

> 0 0 N : > 0 | − | < .

Это означает, что последовательность { } сходится к .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства сходящихся последовательностей

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Предположим противное. Пусть
= lim→∞ ,	= lim→∞ ,	̸= .
Тогда последовательности {	− } и { − } есть БМП. Обозначим

− = , − = . Последовательности { } и { } — БМП. Имеем

= + , = + . Отсюда получим, что + = + и − = − . Так как { − } есть БМП, то в соответствии со свойством 5 БМП имеем

− = 0, т. е. = . [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства сходящихся последовательностей

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Действительно, сходящаяся к последовательность { } представима в виде= + , где — БМП. По свойству 2 ограниченности БМП

> 0 :

N | | 6 .

В этих условиях

| | = | + | 6 | | + | | 6 | | + ,

что и доказывает ограниченность последовательности { }.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства сходящихся последовательностей

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Докажем пункты а) и в). По свойству 1

− = ,

− = ,

где { } и { } — БМП.

Для доказательства пункта а) покажем, что {( + )−( + )} является БМП. В самом деле,

( + ) − ( + ) = ( − ) + ( − ) = + .

По свойству 1 БМП сумма двух БМП { } и { } сама является бесконечно малой, что и требовалось доказать.

Чтобы доказать пункт в), покажем что бесконечно малой является последовательность { − }:

− = − + − = ( − ) + ( − ) = + .

В силу свойства 3 сходящаяся последовательность { } ограничена. Таким образом, каждое из слагаемых в правой части по свойству 3 БМП ограничено как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую. Сумма же двух БМП есть БМП по свойству 1 БМП.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.2

Меню Назад Вперёд

Теорема 2.2

Предположим противное, пусть < . По определению предела последовательности для всякого положительного числа, в том числе и для = − ,

0 N : > 0 | − | < = − ,

или

−( − ) < − < − .

Из правого неравенства получаем: > 0	имеет место неравенство < ,
что противоречит условию теоремы.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Следствие 2.1

Меню	Назад Вперёд

Следствие 2.1

Действительно, начиная с некоторого номера, будем иметь, что − > 0. Следовательно, по теореме 2.2

lim ( − ) > 0,

→∞

и по свойству 4 сходящихся последовательностей

lim − lim > 0.

→∞ →∞

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.5

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.5

Покажем, что последовательность (2.1) возрастает. Действительно, с помощью формулы бинома Ньютона можно записать:

= 1 +		1			+		( − 1)										1		+			( − 1)( − 2)																	1		+ . . .
									2!							2												3!											3
																							. . . +						( − 1)( − 2) .!. . ( − ( − 1))																										1	.
Преобразуем полученное выражение следующим образом:
= 2 + 2! (1 −									) +								3! (1 − )(1 − )																						+ . . .
	1									1							1								1									2
																				!			(					− )(									− )									(		−					)		(Д.7)
														. . . +							1		1					1							1					2		. . .					1				−	1	.
Теперь запишем по этой же формуле ( + 1)-й член:
+1 = 2 + 2! (1 − + 1) + 3! (1 − + 1)(1 − + 1) + . . .
				1										1									1									1														2
							!		(					−		+ 1)(												− + 1)													(		−			+ 1)
. . . +							1					1				1							1							2					. . .						1						−		1		+
									+ ( + 1)! (1 −																			+ 1)(1 −													+ 1). . . (1 − + 1).
														1														1													2
Сравним члены последовательности и +1. Очевидно, что
							1 −								< 1 −													, = 1, 2, . . . , − 1.
																					+ 1

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.5

Меню	Назад Вперёд

Поэтому первые слагаемых +1 не меньше соответствующих слагаемых. Учитывая, что +1 содержит еще одно дополнительное неотрицательное слагаемое, получим, что N < +1, то есть последовательность возрастает.

Далее докажем, что рассматриваемая последовательность (2.1) ограничена. Снова воспользуемся формулой (Д.7), откуда следует, что

< 2 +							1		+		1				+ . . . +		1			.
							2!				3!							!
Так как для = 3, 4, . . . имеет место неравенство ! > 2 −1, то
							1				1						1
< 1 + 1 +										+					+ . . . +							.
								2			22								2 −1
Применим формулу суммы геометрической прогрессии:
	1 −	1
															1
< 1 +		2					= 3				−					< 3,					N.		(Д.8)
	1 −		1											2 −1
		2

Ограниченность последовательности доказана.

Будучи монотонной и ограниченной, последовательность (2.1) сходится по теореме 2.4. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню	Назад Вперёд

Свойства БМФ

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

Достаточно доказать данное свойство для суммы двух БМФ. Пусть ( ) и( ) — БМФ при → . Докажем, что ( ) + ( ) — тоже БМФ при → .

Зададимся произвольным числом > 0. Так как ( ) — БМФ при

→ , то
1 > 0 :	, 0 < | − | < 1,	| ( )| <				.
				2
Аналогично для ( )
2 > 0 :	, 0 < | − | < 2,	| ( )| <
					.
			2

Положим = min{ 1, 2}. Тогда для всякого , удовлетворяющего условию 0 < | − | < , выполнены менее обременительные условия 0 < | − | < 1 и 0 < | − | < 2 и поэтому

( ) + ( )		6 | ( )| + | ( )| <			+		= .
			2			2
Итак, мы доказали,	что

> 0 > 0 :	, 0 < | − | < ,	( ) + ( )			< .
Это и означает, что сумма ( ) + ( ) является БМФ			при		.
				→

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Пусть функция ( ) бесконечно малая. Согласно определению для всякого> 0, в том числе и для = 1,

> 0 : , 0 < | − | < , | ( )| < = 1.

Итак, ( ) ограничена числом 1 в -окрестности точки .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Пусть ( ) — БМФ при → , ( ) — ограниченная в некоторой окрестности точки функция. Докажем, что произведение ( ) ( ) есть БМФ.

По условию существует 1 > 0, что функция ( ) ограничена в 1- окрестности точки . Отсюда следует, что

> 0 :

, 0 < | − | < 1,

| ( )| < .

Пусть — произвольное положительное число. Так как ( ) — БМФ при → , то для всякого положительного числа, в том числе и для / ,

2 > 0 :	, 0 < | − | < 2,		| ( )| <
					.
Положим теперь = min{ 1, 2}. Тогда при 0 < | − | < окажется,
что
| ( ) ( )| = | ( )| · | ( )| <			· = ,

откуда и следует, что ( ) ( ) есть БМФ. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Справедливость этого свойства следует из свойств 2 и 3.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства БМФ

Меню Свойство 5 Назад Вперёд

Свойство 5

Заметим, что постоянная функция, очевидно, ограничена, и применим свойство 3. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.7

Меню Назад Вперёд

Теорема 2.7

Пусть ( ) — такая БМФ, что ( ) ̸= 0		при ̸= . Зафиксируем > 0. По
определению БМФ для всякого > 0, в том числе для = 1/ ,
			1
> 0 :	, 0 < | − |	< ,	| ( )| < =		.

При этом |1/ ( )| > 1/ = . Значит, функция 1/ ( ) бесконечно большая. Пусть ( ) есть ББФ. Зафиксируем произвольное > 0. По определе-

нию ББФ для всякого > 0, в том числе для = 1/ ,

> 0 :	, 0 < | − | < ,	| ( )| > =	1		.

В таких условиях |1/ ( )| < 1/ = , т.е. функция 1/ ( ) бесконечно малая. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню	Назад Вперёд

Свойства предела функции

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

По определению функция ( ) имеет предел			в точке тогда и только
тогда, когда
> 0	> 0 :	, 0 < | − | < ,	| ( ) − | < .

А это равносильно тому, что функция ( ) = ( )− бесконечно малая при→ . [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Предположим противное. Пусть
= lim ( ),	=	lim ( ),	̸= .
→		→
Тогда по свойству 1
( ) = + ( ),		( ) = + ( ),

где ( ) и ( ) — БМФ при → . Приравняем правые части:

+ ( ) = + ( ), − = ( ) − ( ).

По свойству 1 БМФ сумма ( ) − ( ) двух БМФ является БМФ:

→ ( ( ) − ( ))	= 0.
lim

Отсюда следует, что
− =	lim (	−	) = lim	( )	−	( )
	→		→ (			) = 0.

Значит = , что и доказывает единственность предела.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

По свойству 1 имеющая предел в точке функция представима в виде( ) = + ( ), где ( ) — БМФ при → . По свойству 2 БМФ ( ) ограничена в некоторой -окрестности точки , т.е.

	> 0 :	, 0 < | − | < ,	| ( )| 6 .
Тогда в той же окрестности
	| ( )| = | + ( )| 6 | | + | ( )| 6 | | + ,
Таким	образом, функция	в -окрестности	точки ограничена чис-
лом 1	= | | + .	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Функция, имеющая предел при → , по свойству 3 ограничена в некоторой окрестности точки . Значит, по свойству 3 БМФ ее произведение на БМФ при → является БМФ при → . [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 5 Назад Вперёд

Свойство 5

Пусть	̸= 0.
lim ( ) = ,
→

По свойству 1 имеет место представление ( ) = + ( ), где ( ) — БМФ при → . По определению БМФ для всякого > 0, в том числе для

= | |/2,

> 0 :

, 0 <

|

−

|

< ,

|

( )

|

< =

| |

.

2

Тогда для тех же

|

| | − |

|

| |

| |

| |

1

|

1

=

6

6

1

=

=

.

( )

+ ( )

( )

| | −

2

2

Следовательно, в -окрестности точки функция

1/ ( ) ограничена чис-

лом = 2/| |.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 6 Назад Вперёд

Свойство 6

Пусть ( ) — БМФ при	→ , ( ) имеет отличный от нуля предел при
→ . Тогда функция		( )		1
			= ( ) ·		.
		( )		( )

является бесконечно малой при → как произведение БМФ на ограниченную в силу свойства 5 функцию. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Свойства предела функции

Меню Свойство 7 Назад Вперёд

Свойство 7

По свойству 1	( ) − = ( ),
( ) − = ( ),

где ( ) и ( ) — БМФ при → .

Для доказательства пункта а) по свойству 1 достаточно показать, что
разность ( ( ) + ( )) − ( + ) является БМФ при → . В самом деле,
( ( ) + ( )) − ( + ) = ( ( ) − ) + ( ( ) − )	= ( ) + ( ).

По свойству 1 суммы БМФ ( ) + ( ) является БМФ при → . Доказательство пункта б) проводится аналогично.

Переходя к пункту в), заметим, что

( ) ( ) − = ( ) ( ) − ( ) + ( ) − =

( ) ( )

= ( ) ( ) − + ( ) − = ( ) ( ) + ( ).

Правая часть этого равенства есть БМФ при → как сумма двух БМФ. Действительно функция ( ) ( ) бесконечно малая по свойству 4, а функция ( ) бесконечно малая по свойству 5 БМФ.

Пункт г) доказываем по аналогичной схеме:

( )

−

=

( ) − ( )

= ( ) − + − ( )

=

( )

(

( )

)

( )

) ( )(

( )

=

( ) − −

( ) −

=

( ) − ( )

.

Согласно пункту в) предел знаменателя равен 2 ̸= 0. Числитель является БМФ. Тогда по свойству 6 вся дробь — БМФ при → .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 2.8 (о пределе промежуточной функции)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.8 (о пределе промежуточной функции)

Зафиксируем > 0. Так как lim ( ) = , то

	→
1 > 0 :	, 0 < | − | < 1,	| ( ) − | < ,
или − < ( ) < + . Поскольку также lim ( ) = , то
	→
2 > 0 :	, 0 < | − | < 2,	| ( ) − | < ,

или − < ( ) < + . Пусть = min{ 1, 2}. Тогда для 0 < | − | <

− < ( ) 6 ( ) 6 ( ) < + ,

или | ( ) − | < , т.е. lim ( ) = .	[Перейти к основному тексту]
→

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.9

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.9

Заметим, что здесь имеем неопределенность вида 00 . Построим окружность радиуса = 1. Возьмем центральный угол с радианной мерой, равной , где (0; /2). Выполним соответствующие построения (рисунок Д.2). Очевидно, < < . Но = sin , = , = tg , поэтому sin < < tg . Преобразуем данное соотношение:

1			1			cos <	sin	< 1.
	<		<		,
		sin		cos

y

1

B

x	D
O A C	x

Рисунок Д.2

Всилу четности входящих в эти неравенства функций они справедливы

ипри (− /2; 0). Замечая, что

lim cos = 1,

→0

и применяя теорему о двух милиционерах, получим требуемое равенство (2.5). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.14

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.14

Действительно, пусть функции ( ) и ( ) непрерывны в точке . Тогда

lim ( ) = ( ),	lim ( ) = ( ).
→	→

Следовательно,

( )

lim ( ) + ( )	= lim ( ) + lim ( ) = ( ) + ( ).
→	→	→

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 2.15 (о непрерывности сложной функции)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.15 (о непрерывности сложной функции)

Возьмем произвольную последовательность точек { }, для которой

lim = 0.

→∞

Тогда из непрерывности функции ( ) в точке 0 и определения предела функции по Гейне следует, что

lim ( ) = ( 0),	lim ( ) = ( 0).
→ 0	→∞
Обозначив ( ) через для N, получим, что

lim = 0.
→∞
Так как функция ( ) непрерывна в точке 0, то
lim ( ) = ( 0),	lim ( ) = ( 0).
→ 0	→∞

Итак, доказано, что для любой последовательности { }, сходящейся к 0, соответствующая последовательность { ( ( ))} сходится к ( ( 0)). Следовательно,

	lim ( ( )) = ( ( 0)),
→ 0
что и доказывает теорему.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 2.17

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.17

Рассмотрим, например, функцию sin . Тогда R будем иметь:

= sin( +	) − sin = 2 cos ( +														)sin				=
														2			2
= 2 cos ( +			)	sin										( +				) ·		sin
												= cos
							2																2			·	.
		2									2					2
						2																2

Итак, приращение функции представимо в виде произведения трех функций: первая ограничена, вторая согласно формуле (2.5) имеет предел при→ 0 и третья бесконечно малая при → 0. Тогда по свойству 4 предела функции и свойству 3 БМФ приращение является БМФ при → 0. Согласно определению непрерывности на языке приращений это означает,

что функция = sin непрерывна в точке . Непрерывность косинуса доказывается аналогично.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 2.19 (об устойчивости знака непрерывной функции)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.19 (об устойчивости знака непрерывной функции)

Пусть, например, ( ) > 0. Тогда по определению непрерывности

lim ( ) = ( ).

→

Возьмем = ( ). По определению предела для выбранного нами

> 0 :	, 0 < | − | < ,	| ( ) − ( )| < = ( ).
Последнее неравенство можно переписать следующим образом:
− ( ) < ( ) − ( ) < ( ),			0 < ( ) < 2 ( ).
Таким образом,	( − ; + ) имеем		имеем неравенство ( ) > 0,
доказывающее теорему.			[Перейти к основному тексту]

	Часть I. Теория
	Доказательства теорем
	Теорема 2.21 (Больцано—Коши, вторая)
Меню	Назад Вперёд

Теорема 2.21 (Больцано—Коши, вторая)

Пусть, например, ( ) < < ( ). Рассмотрим функцию ( ) = ( ) − . Эта функция непрерывна на отрезке [ ; ], ( ) = ( ) − < 0 и( ) = ( ) − > 0. Следовательно, к функции можно применить первую теорему Больцано—Коши. В соответствии с ней существует точка ( ; ) такая, что ( ) = 0, т.е. ( ) − = 0, или ( ) = .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 3.1

Меню Назад Вперёд

Теорема 3.1

Действительно, обозначим

= ( +

) − ( ). Будем иметь

→0

→0 (

)

→0

→0

′

·

lim

= lim

=

lim

lim

=

( )

0 = 0.

Это означает, что функция = ( ) непрерывна в точке .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 3.12

Меню	Назад Вперёд

Теорема 3.12

Необходимость следует немедленно, если ( ) = , то

′( ) = ( )′ = 0,				.

Достаточность. Пусть, ′( ) = 0, . Фиксируем некоторую точку0 и возьмем произвольное . К разности ( ) − ( 0) можно применить формулу конечных приращений (3.19):

( ) − ( 0) = ′( )( − 0),

где — некоторая точка, находящаяся между и 0. Но по условию′( ) = 0. Следовательно, ( ) = ( 0) . Теорема доказана.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 3.13

Меню	Назад Вперёд

Теорема 3.13

Пусть, например, ′( ) > 0 внутри промежутка . Тогда возьмем произвольные точки 1, 2 , 1 < 2. На отрезке [ 1; 2] к функции применима формула конечных приращений (3.19):

( 1) − ( 2) = ′( )( 2 − 1),

где ( 1; 2). Так как ′( ) > 0, то	( 2) > ( 1), т.е. функция на
промежутке является возрастающей.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 3.15 (первое достаточное условие экстремума)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 3.15 (первое достаточное условие экстремума)

Пусть производная меняет знак при переходе через точку 0 с «+» на «−»,

т.е. ( 0 − , 0): ′( ) > 0 и ( 0; 0 + ): ′( ) < 0.

Тогда, учитывая достаточное условие монотонности, получаем, что функция возрастает на интервале ( 0 − , 0), т.е.

( 0) > ( ), ( 0 − , 0),

иубывает на интервале ( 0; 0 + ), т.е.

( 0) < ( ), ( 0; 0 + ).

Из последних двух неравенств и определения 8 следует, что 0 — точка локального максимума функции .

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с «−» на «+» при переходе через точку 0.

Пусть теперь производная не меняет знак при переходе через точку0. Предположим, например, что ( 0 − ; 0 + ), ′( ) > 0. Тогда по теореме 3.13 функция возрастает на интервале ( 0− ; 0+ ). Будем иметь:

( 0 − ; 0), ( ) < ( 0) и ( 0; 0 + ), ( ) > ( 0). Следовательно, точка 0 не является точкой локального экстремума.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 3.16 (второе достаточное условие экстремума)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 3.16 (второе достаточное условие экстремума)

Используя определение второй производной, можем записать

	′′( 0) = lim		′( 0 +			) − ′( 0)		.
		→0
Так как точка 0 является стационарной, то по определению									8 ′( 0) = 0.
Значит,				′( 0		+ )
	′′( 0) = lim						.
			→0
Пусть, например, ′′( 0) > 0. Тогда в некоторой окрестности точки 0
будет выполняться и следующее неравенство:
	′( 0 +			)	> 0.
Поэтому, если < 0, то ′( 0 +						) < 0, если же			> 0, то
′( 0 +	) > 0. Т.е. при переходе через точку 0 прозводная меняет знак

с «−» на «+». А это означает , что 0 — точка локального минимума (см. теорему 3.15).

Аналогично рассматривается случай, когда ′′( 0) < 0.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 3.17 (достаточное условие выпуклости)

Меню Назад Вперёд

Теорема 3.17 (достаточное условие выпуклости)

Пусть ( ; ): ′′( ) > 0. Возьмем произвольную точку 0 ( ; ).

Запишем уравнение касательной к графику функции				в точке ( 0; ( 0))
(см. формулу (3.2)):
= ( 0) + ′( 0)( − 0).				(Д.9)
Теперь запишем формулу Тейлора для функции				в точке 0 с оста-
точным членом в форме Лагранжа (3.22), = 1:
1
( ) = ( 0) + ′( 0)( − 0) +		′′( )(	− 0)2,
	2

где точка находится между и 0.

По условию теоремы 12 ′′( )( − 0)2 > 0. Отсюда можно получить, что

( ) > ( 0) + ′( 0)( − 0).

(Д.10)

Так как правые части соотношений (Д.9) и (Д.10) совпадают, то из сравнения их левых частей следует, что значение ординаты касательной меньше значения функции в точке . Значит, график функции находится выше касательной, и функция является выпуклой вниз.

Аналогично рассматривается случай, когда ′′( ) < 0.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 3.20

Меню Назад Вперёд

Теорема 3.20

Необходимость. Пусть график функции имеет асимптоту = + при→ +∞, т.е. справедливо соотношение (3.26). Тогда из этого соотношения имеем, что

	lim		( )		= lim		+ + ( )			=	lim
→+∞						→+∞					→+∞
	lim ( ( )				−	) =		lim ( + ( )) = .
	→	∞						→	∞
	+							+

( + +				) = ,
			( )

Достаточность. Пусть существуют пределы (3.27). Из второго равенства имеем, что ( ) − = + ( ), где ( ) — БМФ при → +∞. Это

означает, что равенство (3.26) имеет место.
Теорема доказана.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню	Назад Вперёд

Свойства неопределенного интеграла

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

В силу определения неопределенного интеграла, производной суммы имеет место:

( ∫	( ) )′	= ( ( ) + )′ = ′( ) + ′ = ( ).
		[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Используя то, что дифференциал функции = ( ) находится по формуле= ′( ) , получим:

∫

( ) = ( ( ) + ) = ( ) + ( ) = ′( ) = ( ) .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Применяя свойства дифференциала и определение первообразной, будем иметь

∫	( ) = ∫	′( ) = ∫	( ) = ( ) + .
			[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Пусть есть первообразная для функции , т.е. ′( ) = ( ). Так как

( ( ))′ = ′( ) = ( ),

то функция будет первообразной для функции . Значит,

	∫	( ) = ( ) + = ( ( ) + 1) = ∫		( ) .
(здесь 1	= 1		— некоторая постоянная). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства неопределенного интеграла

Меню Свойство 5 Назад Вперёд

Свойство 5

Пусть и — первообразные для функций и , т.е.

′( ) = ( ), ′( ) = ( ).

Так как

( ( ) + ( ))′ = ′( ) + ′( ) = ( ) + ( ),

то функция + является первообразной для функции + . Следовательно,

∫	( ) + ∫	( ) = ( ) + 1 + ( ) + 2 =
		= ( ( ) + ( )) + ( 1 + 2) = ∫	( ( ) + ( )) .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.2

Меню Назад Вперёд

Теорема 4.2

Пусть функция ( ) является первообразной для функции ( ). Тогда име-

ем:	∫	( )	= ( )	= ( ( ) + )	= ( ) = ( ( )) + .	(Д.11)

Сдругой стороны, рассмотрим на промежутке сложную функцию

( ( )). По теореме 3.4

( ( ( )))′ = ′( ) ′( ) = ( ) ′( ),

т.е. функция ( ( )) является первообразной для функции ( ) ′( ) и

∫	( ( )) ′( ) = ( ( )) + .	(Д.12)
Сравнивая правые части формул (Д.11) и (Д.12), получаем требуемую
формулу.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Замечание 4.3

Меню Назад Вперёд

Замечание 4.3

В

рассматриваемом интеграле сделаем замену: +

=

,

=

1

−

,

1

=

и

∫

∫

( + ) = ∫

( ) =

( ) =

1

1

1

1

=

( ) + =

(

+ ) + .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.3

Меню	Назад Вперёд

Теорема 4.3

По правилу дифференцирования произведения имеем:

( ( ) ( ))′ = ′( ) ( ) + ( ) ′( ).

Отсюда получим:

( ) ′( ) = ( ( ) ( ))′ − ′( ) ( ).

(Д.13)

Первообразной для функции ( ( ) ( ))′ является функция ( ) ( ). По условию теоремы функция также имеет первообразную. Тогда и левая часть равенства (Д.13), функция ( ) ′( ), имеет первообразную, причем,

∫	( ) ′( ) = ∫ [( ( ) ( ))′ − ′( ) ( )] =
	= ∫	( ( ) ( ))′ − ∫	′( ) ( ) = ( ) ( ) − ∫	′( ) ( ) .

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства определенного интеграла

Меню	Назад Вперёд

Свойства определенного интеграла

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства определенного интеграла

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Поcтроим интегральную сумму для функции ( ) на отрезке [ ; ]:

	∑
	=	( )Δ .
		=1
	Очевидно,
	∑		∑
	( )Δ =		( )Δ .
	=1		=1
∫	Тогда, пользуясь определением определенного интеграла, имеем
	( ) = →0 =1 ( )Δ	→0	=1 ( )Δ
	∑		∑		=
	lim	= lim				∫
		= →0 =1		( )Δ =			( ) .
			∑
			lim

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства определенного интеграла

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Действительно, построив интегральную сумму для + на отрезке [ ; ], имеем

	∑	∑	∑
+ =	( ( ) + ( ))Δ =	( )Δ +	( )Δ = + .
	=1	=1	=1

Остается перейти у пределу при → 0 и получить равенство (4.19). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Свойства определенного интеграла

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Раcсмотрим произвольное разбиение отрезка [ ; ], такое, чтобы точка была точкой разбиения, например, = . Будем иметь:

∑	∑		∑
( )Δ =	( )Δ +		( )Δ .
=1	=1		= +1

Переходя к пределу в этом равенстве, получим соотношение (4.20). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Оценки интегралов

Меню	Назад Вперёд

Оценки интегралов

Часть I. Теория Доказательства теорем Оценки интегралов

Меню Свойство 1 Назад Вперёд

Свойство 1

Действительно, интегральная сумма

∑

= ( )Δ

=1

такой функции является неотрицательной, так как ( ) > 0, > 0,

	= 1, 2, . . . , . Следовательно, предел интегральных сумм при → 0, т.е.
∫	( ) , также будет неотрицательным.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Оценки интегралов

Меню Свойство 2 Назад Вперёд

Свойство 2

Рассмотрим функцию ( ) − ( ). Очевидно, [ ; ]: ( ) − ( ) > 0 и в соответствии с предыдущим свойством

∫

( ( ) − ( )) > 0.

Остается применить свойство 3 из предыдущего пункта.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Оценки интегралов

Меню Свойство 3 Назад Вперёд

Свойство 3

Действительно,

[ , ] : −| ( )| 6 ( ) 6 | ( )|.

Следовательно,

∫ ∫ ∫

− | ( )| 6 ( ) 6 | ( )| ,

т.е. справедливо неравенство (4.21). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Оценки интегралов

Меню Свойство 4 Назад Вперёд

Свойство 4

Воспользовавшись свойством 2		этого пункта, имеем:
∫ 6 ∫ ( ) 6 ∫ ,
или
∫	6 ∫ ( ) 6 ∫		.

∫

Так как = − , то получим неравенства (4.22).

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 4.4 (о среднем значении определенного интеграла)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 4.4 (о среднем значении определенного интеграла)

Так как функция непрерывна на отрезке [ ; ], то по второй теореме Вейерштрасса она достигает своего наименьшего и наибольшего значений, т.е.

[ ; ]:

6 ( ) 6 ,

где = min ( ), = max ( ).

[ ; ]

[ ; ]

Тогда в соответствии с предыдущим свойством

∫

( − ) 6 ( ) 6 ( − ).

Отсюда имеем	∫	( ) 6 .
6 −
1

Теперь, воспользовавшись второй теоремой Больцано—Коши, получим, что существует точка [ ; ] такая, что

( ) = −	∫	( ) ,
1

т.е. справедлива формула (4.23).

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.5

Меню Назад Вперёд

Теорема 4.5

Действительно, предположим, что неограничена на отрезке [ ; ]. Тогда при любом разбиении отрезка [ ; ] точками = 0 < 1 < . . . < = функция будет неограниченной хотя бы на одном отрезке, например, [ −1; ]. Следовательно, можно выбрать точку [ −1; ] и точки [ −1; ],

= 1, 2, . . .				−	1,	+ 1, . . . , так, чтобы велична ( )Δ , а с ней и вся
		,
сума		=	( )Δ , были сколь угодно большими. Таким образом, не
		=1
будет	существовать конечного предела интегральных сумм, т.е. функция
		∑
не является интегрируемой на отрезке [ ; ].
	Следовательно, интегрируемая функция ограничена на [ , ]. Теоре-
ма 4.5 доказана.						[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.9

Меню	Назад Вперёд

Теорема 4.9

Достаточно доказать, что существует

lim			Φ( +	) − Φ( )	= ( ),			[ ; ].
		0
	→

Из определения функции Φ( ) и свойства определенного интеграла следует:

Φ( + ) =

∫

( ) =

∫

( ) +

∫

( ) .

+Δ

+Δ

Значит,

) − Φ( ) =

∫

∫

( ) −

∫

∫

Φ( +

( ) +

( ) =

( ) .

+Δ

+Δ

+Δ

К полученному интегралу применим теорему о среднем значении. Будем иметь

Φ( + ) − Φ( ) = ( )Δ ,

где — некоторая точка, заключенная между и +							.
Тогда			Φ( + ) − Φ( )
и						= ( )
		Φ( +		) − Φ( )
lim					=	lim ( ) = ( ),
→0						→0
так как при → 0	имеем → и функция непрерывна в точке [ ; ].
Теорема доказана.						[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.10

Меню Назад Вперёд

Теорема 4.10

Пусть ( ) — какая-либо первообразная для непрерывной функции на

∫

[ ; ]. По теореме 4.9 фунция Φ( ) = ( ) также является первообраз-

ной для на [ ; ]. В силу того, что две любые первообразные для функциимогут отличаться лишь на постоянную (теорема 4.1):

Φ( ) = ( ) + , = const, [ ; ]. (Д.14)

Положив в (Д.14) = , получим

Φ( ) = ( ) + .

Но, очевидно, Φ( ) = 0. Значит, = − ( ).

Поэтому равенство (Д.14) можно записать в виде

∫

( ) = ( ) − ( ).

Теперь положим здесь = и получим формулу Ньютона—Лейбница (4.26). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 4.12

Меню Назад Вперёд

Теорема 4.12

Очевидно, функция ( ) ( ) является			первообразной для функции
( ) ′( ) + ( ) ′( ), так как
	( ( ) ( ))′ = ( ) ′( ) + ( ) ′( ).
Cледовательно,	( ( ) ′( ) + ( ) ′( )) = ( ( ) ( )) ,
∫
или	( ) ′( ) = ( ( ) ( ))
∫			− ∫ ( ( ) ′( ).
В силу того, что ′( ) = , ′( ) = , эту формулу можно записать
в виде (4.30).			[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Замечание 4.4

Меню Назад Вперёд

Замечание 4.4

По определению

∫

→+∞ (1

1 )

∫ =

→+∞

− =

−

=

+∞

−

1

1

lim

lim

1

1

1

1

−

−

=

1

lim

(

1),

= 1.

−

→

+

∞

̸

Предположим,

что

1 −

< 0,

т.е.

>

1. Тогда имеем,

что

lim ( 1−

1) =

1

+∞

=

−1

+∞

−

−

и

∫1

, т.е. несобственный интеграл ∫1

→+∞

1 −

сходится при > 1 и его значение равно ( − 1)−1.

lim ( 1−

1) = +

1

> 0

< 1

Пусть теперь

−

, т.е.

. Тогда →+∞

−

∞

и интеграл расходится. Учитывая пример 4.33, заключаем, что интеграл

+∞
∫1		расходится при 6 1.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Замечание 4.5

Меню Назад Вперёд

Замечание 4.5

В этом интеграле функция ( ) =			1	может быть неограниченной в окрест-
ности точки = 0.
По определнию имеем		= →+0			∫	.
∫
1					1
0				lim

Случай = 1 рассмотрен в примере 4.35. Этот интеграл расходится. Если ̸= 1, то

∫

→+0

∫

−

→+0

(

1

) =

1 →+0

−

−

1

1

1−

1

1

0

−

−

=

lim

= lim

lim (1

1

).

Рассмотрим два случая: < 1, > 1. Если < 1, то

lim (1

−

1− ) = 1

→

+0

и

∫0

=

1 − .

1

1

Если же > 1, то

−

(1 − −1 ) = −∞.

→+0

−

→+0

lim (1

1

) =

lim

1

Часть I. Теория Доказательства теорем Замечание 4.5

Меню Назад Вперёд

Следовательно, интеграл

∫1

0

сходится, если < 1, и расходится, если > 1.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 5.2 (необходимое условие дифференцируемости)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 5.2 (необходимое условие дифференцируемости)

Непрерывность функции следует из того, что согласно равенству (5.1)

lim

=

lim

+ lim

+

lim (Δ ,

)Δ +

→0

→0

→0

→0

→0

→0

→0

→0

·

·

·

·

+ →0

)Δ =

0 +

0 + 0

0 + 0

0 = 0.

lim (Δ ,

→0

Чтобы исследовать существование частной производной по функции, зафиксируем переменную . Тогда = 0, и на основании формулы (5.1) частное приращение

			=		+ (Δ , 0)Δ .
По определению частных производных						)
∂ ( 0, 0) =		→0			→0(
	∂	lim		=	lim + (Δ , 0)	= + 0 = .

Аналогично доказывается вторая из формул (5.2).

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 5.4 (о производной сложной функции)

Меню Назад Вперёд

Теорема 5.4 (о производной сложной функции)

Придадим переменной

приращение

. Тогда переменные

= ( ) и

= ( ) получат приращения

и , которые, в свою очередь, вызовут

приращение

функции = ( , ). Так как функция дифференцируема,

то по формулам (5.1) и (5.2) ее полное приращение

=

∂

+

∂

+ (Δ ,

)Δ + (Δ ,

)Δ ,

∂

∂

Функции ( ) и ( ) дифференцируемы и потому непрерывны, поэто-

му их приращения

и

стремятся к нулю, когда

стремится к нулю.

Следовательно,

lim (Δ ,

) =

lim (Δ ,

) = 0,

lim (Δ ,

) = 0.

→0

→0

→0

→0

Тогда

lim

=

∂

lim

+

∂

lim

+

∂

∂

→0

→0

→0

+ lim (Δ ,

) lim

+ lim (Δ ,

) lim

=

→0

→0

→0

→0

∂

∂

=

+

+ 0

+ 0

,

∂

∂

откуда и следует справедливость доказываемой формулы (5.5).

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 5.5

Меню	Назад Вперёд

Теорема 5.5

Для дифференцируемой функции = ( , ) имеют место формулы (5.1) и (5.2), позволяющие представить приращение по направлению (5.6) в виде:

=

∂

cos +

∂

cos + (Δ )Δ ,

∂

∂

где (Δ ) — бесконечно малая функция при

→ 0. Тогда

∂

→0

=

→0

(∂ cos +

∂ cos + (Δ ))

=

∂

=

lim

lim

∂

∂

∂

∂

=

cos +

cos .

∂

∂

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 7.1

Меню	Назад Вперёд

Теорема 7.1

По определению -ая частичная сумма ряда (7.1)

= 1 + 2 + . . . + ,

а -ая частичная сумма ряда (7.2)

= +1 + +2 + . . . + + .

Следовательно, = + − .

Так как фиксировано, то предел { } существует тогда и только

тогда, когда существует lim + , т.е. имеет предел последовательность
→∞
1, 2, . . . , , . . .. Теорема доказана.	[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 7.2

Меню Назад Вперёд

Теорема 7.2

Докажем, например, второе утверждение. Пусть

		∑		∑
	=			и =	.
		=1			=1
Тогда
∞
∑		∑			∑		∑
( ± ) =	lim	( ± ) = lim				± lim	=
=1	→∞	=1		→∞	=1	→∞	=1

= lim ± lim = + .

→∞ →∞

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 7.3 (необходимое условие сходимости)

Меню Назад Вперёд

Теорема 7.3 (необходимое условие сходимости)

	∑	→∞
	∞
Пусть ряд	=1 сходится. Тогда lim = . Очевидно, − −1 = и
		lim→∞ = lim→∞ − lim→∞ −1	= − = 0.
Теорема доказана.			[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 7.4

Меню Назад Вперёд

Теорема 7.4

Докажем, например, достаточность. Пусть последовательность { } огра-

ничена. Заметим, что +1 = + > , N, так как > 0, т.е. { } — возрастающая и ограниченная. Тогда по теореме 2.4 она имеет пре-

дел. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем

Теорема 7.6 (признак Даламбера)

Меню	Назад Вперёд

Теорема 7.6 (признак Даламбера)

Пусть < 1. Выберем число > 0 так, чтобы + < 1. Тогда по определению предела последовательности 0 N такой, что > 0:

	+1
		−		<

или

− < + 1 < + .

Таким образом, > 0 имеем +1 < ( + ) . Отсюда получим:

0+2 < ( + ) 0+1,0+3 < ( + ) 0+2 < ( + )2 0+1,

0+4 < ( + ) 0+3 < ( + )3 0+1,

и так далее. Ряд

( + ) 0+1 + ( + )2 0+1 + ( + )3 0+1 + . . .

сходится, так как + (0, 1). Следовательно, по признаку сравнения схо-

	∞	+∞
дится и ряд		, а с ним и ряд	(применим теорему 7.1).
= 0+2		=1
Случай	> 1	аналогично. Если же = 1,		то можно
	∑	рассматривается ∑

привести примеры и сходящихся, и расходящихся рядов.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 7.13 (Абеля)

Меню Назад Вперёд

Теорема 7.13 (Абеля)

По условию теоремы числовой ряд

∞

∑

0

=0

сходится. Согласно необходимому условию,

lim 0 = 0.

→∞

Следовательно, последовательность { 0 }

является ограниченной, т.е.

> 0 такое, что, = 0, 1, . . . Пусть такое, что | | < | 0|. Тогда

6

,

= 0, 1 . . . ,

| 0 | 6 | 0 |

0

0

∞

где =

< 1. Но ряд

∑

=0

при таких сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд

∑∞

| | .

=0

Теорема доказана.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Следствие 7.1

Меню	Назад Вперёд

Следствие 7.1

Действительно, если бы ряд (7.12) сходился в точке , | | > | 1|, то по теореме Абеля он сходился бы в точке 1, что противоречит условию.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 7.14

Меню	Назад Вперёд

Теорема 7.14

Рассмотрим ряд

∑∞

| | .

=0

Применим к нему признак Даламбера. Имеем:

→∞					→∞				| |	| |
lim		+1	+1		= lim		+1			= .

Отсюда следует, что если | | < 1, | | < 1 , то ряд ∑∞ сходится, и

=0

ряд (7.12) cходится абсолютно.

Если | | > 1, то ряд (7.12) расходится, так как

		+1 +1
lim				=		|	> 1
→∞				|
и, следовательно, общий член		ряда		не стремится к нулю при → ∞.
Заметим, что если =		0, то	= ∞, если же = ∞, то = 0.
						[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.1

Меню	Назад Вперёд

Теорема 8.1

Предположим, что для матрицы существуют две обратные матрицы: −1 1 и −2 1. Тогда по определению обратной матрицы

−1 1 = −1 1 = −1 1( −2 1) = ( −1 1 ) −2 1 = −2 1 = −2 1.

Итак, все обратные матрицы совпадают, то есть обратная матрица единственна. [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.2

Меню	Назад Вперёд

Теорема 8.2

Необходимость. Предположим, что для матрицы существует обратная−1. Тогда −1 = , и по свойствам 9 и 5 определителей

| | · | −1| = | −1| = | | = 1.

Итак, произведение чисел | | и | −1| не равно нулю. Значит каждое из этих чисел не равно нулю, причём | −1| = 1/| |.

Достаточность. Ограничимся случаем квадратной невырожденной матрицы третьего порядка. Пользуясь представлением (8.5), найдём произведение матрицы на её присоединённую *:

* =	11	12		13			11	21	31	=
	21	22		23		12		22	32
	31	32		33		13		23	33		.
=	11 11+ 12		12+ 13		13		11 21+ 12 22+ 13 23			11 31+ 12 32+ 13 33
	21 11+ 22		12+ 23		13		21 21+ 22 22+ 23 23			21 31+ 22 32+ 23 33
	31 11+ 32		12+ 33		13		31 21+ 32 22+ 33 23			31 31+ 32 32+ 33 33

К элементам, стоящим на главной диагонали полученной матрицы применим теорему Лапласа, а ко всем остальным — теорему аннулирования. Тогда имеем:

				0		0						1	0	0
* =		0| |	|		|	0		=		|		0	1	0	=	.
		0		0				|				0	0	1	|	|
					|		|

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.2

Меню Назад Вперёд

Аналогично доказывается, что и * =

|

. Итак,

|

*

1

( *) =

1

(| | ) = ,

*

1

( * ) = .

=

=

| |

| |

| |

| |

| |

Отсюда в силу определения обратной матрицы следует её существование и справедливость представления (8.6). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.3

Меню	Назад Вперёд

Теорема 8.3

Домножая левую и правую части первого из уравнений слева на матрицу−1, получим:

−1( ) = −1 , ( −1 ) = −1 , = −1 , = −1 .

Домножая второе уравнение справа на матрицу −1, аналогично находим, что = −1.

Третье уравнение домножим слева на −1 и справа на −1:

−1 −1 = −1 −1, = −1 −1, = −1 −1.

[Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.4

Меню	Назад Вперёд

Теорема 8.4

Воспользуемся матричной формой записи решения = −1 , представлением обратной матрицы (8.6) и определением присоединённой матрицы:

	1		= = −					=		11	21	. . .	1		1		=
. . .									1	. . . . . .	. . . .22. .	. ....... .	. . .2.	. . .
	2					1				12					2
										1	2	. . .
			=			11 1 + 21 2 + . . .					+ 1
						. .12. .	.1. +. . . .22. . .2.+. . . . .				+. . . . .2.	. . .
			1
					1 1 + 2 2 + . . .						+

	Отсюда следует, что
		1 1 + 2 2 + . . .		+
	=				,	= 1, .
	Но выражение 1 1 + 2 2 + . . .		+ представляет собой разложение

определителя (8.14) по элементам -го столбца, откуда и следует справедливость формул (8.13). [Перейти к основному тексту]

Часть I. Теория Доказательства теорем Теорема 8.6

Меню	Назад Вперёд

Теорема 8.6

Необходимость. Пусть система имеет ненулевое решение. Предположим от противного, что неравенство rank < неверно. Тогда rank > . Но по свойству 1 ранга матрицы rank 6 . Отсюда следует, что rank = . В этом случае согласно критерию Кронекера — Капелли система имеет единственное решение. Это решение может быть только нулевым, поскольку любая однородная система имеет нулевое решение. Полученный вывод приводит к противоречию.

Достаточность. Пусть rank < . Тогда на основании критерия Кронекера — Капелли система имеет бесконечно много решений, а, значит, и хоть одно ненулевое. [Перейти к основному тексту]