Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню

4.3. Определенный интеграл

308.Вычислите интегралы:

∫2

1)(6 2 − 5) ;

0

∫1

2) 2 − 2 + 2;

0

	1/2
3)	∫			√				;
					1 2
	−					−
	1/2
4)	/2
	∫0	1 + cos ;
5)	/3					2 ;
	∫0	cos2
6)	∫0	1 + 2 ;
	1			2

∫2 ( )

7) 5 2 − 32 ;

Назад Вперёд

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

1

−1

6)

− 32

∫0

5)

0

∫2

4)

− 12

∫2

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню Назад Вперёд

8)	∫0 sin 3 cos 2 ;							[Ответ]
9)	∫0			tg2 .				[Ответ]
	− /4
309.	Воспользовавшись подходящим методом, найдите интегралы:
1)	∫01		2 ;					[Решение] [Ответ]
2)	∫1			sin(ln )	;			[Решение] [Ответ]
	∫	1
		2
3)							;	[Решение] [Ответ]
				(1 − 2)√
						1 − 2

cos 4 + √sin ;

( − 1)2

2 + 3 + 4 ;

;3 − 1

[Решение] [Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Решение] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню

Назад Вперёд

∫0

7)

2

sin6 ;

[Решение] [Ответ]

8)

∫1

2

;

[Ответ]

2

1/

9)

∫1

√1 + ln ;

[Ответ]

10)

∫0 sin ;

[Решение] [Ответ]

11)

∫0

( − 2) − 3 ;

[Решение] [Ответ]

−3

(

4√

√

)

∫

2

−

12)

(

√

+ 4√

(3 + 2)2

;

[Решение] [Ответ]

3 + 2

2

13)

01

−

)

[Ответ]

∫0

1 + 2 ;

arctg

14)

∫1 2 ln ;

[Ответ]

15)

∫

√ 36 + 1

;

[Ответ]

2

5

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню

16)	∫0	1 + √2 + 1;
	4

∫1

17)− ;

0

18)	∫	1 + 2 ;
		sin
19)	−	+ − ;
	∫
	1
20)	−1	+ 2 ;
	∫1
	4

∫1

21)arccos ;

0

∫2 √

22)4 − 2 ;

0

23)∫ln 5 √ − 1 ;

+ 3

	0
24)	∫2	√ ln ;

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню

∫

25)sin cos2 ;

0

26)

/2

∫0

2 + cos ;

√

/2

27)

cos2 2 ;

∫0

1

√

28)

∫0

;

1 + √

29)

∫12

;

−

1

30)

sin3 ;

∫

2

cos

31)

6

;

∫1

cos(ln )

32)

∫1

(1 + ln2 );

33)

∫

1 + √ ;

4

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню

34)	∫3 ln ;
	1
	8
	∫3
35)			√1 +			;
36)	∫2	ln ;
	1
37)			3 + 2 cos ;
	∫0
	2
38)	∫1		+ √2 + 1;
	5
	−2
39)	∫			ln				;
			√

−3 1 − 4 ln − ln2

√

∫ 3 √

40)4 − 2 ;

√

− 3

41)	8		√1 + ln ;
	∫
			ln

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

3

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню Назад Вперёд

42)	∫0	+ 1;	[Ответ]
	1
43)	∫1	√4 + 5.	[Ответ]
	5

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню	Назад Вперёд

4.4.Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы

310.Найдите площадь фигуры, ограниченной следующими кривыми:

1)	= sin , = 0, = 0, = ;					[Решение] [Ответ]
2)	= 4 − 2, = 0;					[Ответ]
3)	= 2 + 4, = 5;					[Ответ]
4)	= 5 − 2, = 4;					[Ответ]
5)	= ( + 4)(− − 3) и осью абсцисс;					[Ответ]
6)	= 2 − 1, = 0, = 2;					[Ответ]
7)	= 2 − 2, = ;					[Ответ]
8)	= 2, = 2 + 3;					[Ответ]
9)	= 2 − 3, = 6 − 2 2;					[Ответ]
10)	= 9 , = 9, = 0;					[Ответ]
11)	4 = 2, 2 = 4 ;					[Ответ]
12)	= 3, = √				;	[Ответ]
13)	= 2 − 2, = − ;					[Ответ]
14)	= −		, = cos , = 0;			[Ответ]
		2
15)	= + 1, = cos , = 0;					[Ответ]
16)	= ln , = 0, = ;					[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню Назад Вперёд

17)	= (1 − )( − 5), = 4, = 5;																			[Ответ]
18)	= 2 − 3 , = −2, = 0;																			[Ответ]
19)	2		+ = 4, 2 − 3 = 12;																	[Ответ]
20)	= 2, = 2 − | |;																			[Ответ]
21)	= | | + 1, = 0, = −2, = 1;																			[Ответ]
22)	= | 2							− 1| + 1, = 0, = −2, = 2;												[Ответ]
														1
23)	= | log |, = 0,													=				, = , ( > 1);		[Ответ]
24)	= 6, + − 7 = 0;																			[Ответ]
25)	3 − 2 + 4 = 0, 3 − 2 + 1 = 0, = 3, = 5;																			[Ответ]
26)	= 3, = ( − 2)2 и осью абсцисс;																			[Ответ]
27)	= 3, = 2 − + 1 и осью ординат;																			[Ответ]
28)	2		+ 2						= 8, =				2	;						[Ответ]
													2
29)	2		+ 2						= 9, = 3 − , расположеную в первой четверти;											[Ответ]
	2		+ 2											1		2 + 4, где > 0, > 0;
30)									= 16, = −											[Ответ]
															4
		2				2
31)			+							= 1.										[Ответ]
	9					4
311.	Найдите длину дуги кривой:
1)	= √										, 0 6 6 4;								[Решение] [Ответ]
							3
2)				4	√5							, 0 6 6 9;								[Ответ]
	=								4
			5

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню	Назад Вперёд

3)	=	2	, 0 6 6 2;
	4
				2
4)	= 4 −				, > 0;
				2
5)	= ln , 2√						6 6 2√		;
						2		6

6)= ln cos , 0 6 6 4 ;

7)= , 0 6 6 ln 7;

8)= 2 − 1 ln , 1 6 6 ;

4 2

9)= 1 − 2, отсеченной осью ;

4

10) = 2 ln 4 − 2 , −1 6 6 1; 11) = √2 − 2 − 1, 14 6 6 1;

12) = 4 √2 − 2, 0 6 6 1; 13) = 2√ , 1 6 6 2;

14) = arcsin , − ln 7 6 6 − ln 2;

15) = √1 − 2 + arcsin , 0 6 6 169 ;

16) = √ − 2 − arccos √ + 5, 19 6 6 1.

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

312.Найдите объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной данными кривыми:

	1) =		1	, = 1, = 4 вокруг оси ;	[Решение] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню

Назад Вперёд

2)

= √

, = 0, = 1 вокруг оси ;

[Ответ]

3)

2 = 6 , = 0, = 3 вокруг оси ;

[Ответ]

4)

2

+

2

= 1 вокруг оси ;

[Ответ]

25

4

5)

= 2, = √

вокруг оси ;

[Ответ]

√

+

−

6)

= 3

1

− 2, = 1 − 2 вокруг оси ;

[Ответ]

7)

=

, = 0, = −1, = 1 вокруг оси ;

[Ответ]

2

8)

= √

, + = 1, = 0, вокруг оси ;

[Ответ]

+ 1

9)

= cos , = 1 − , = 0, вокруг оси ;

[Ответ]

10)

= √

, = 1, = 0, вокруг оси ;

[Ответ]

11)

= 4 − 2, = 0, = 0 вокруг оси ;

[Ответ]

12)

= 2, 8 = 2

вокруг оси ;

[Ответ]

13)

= arcsin вокруг оси ;

[Ответ]

14)

2

= 4 , = вокруг оси ;

[Ответ]

15)

= 3, = 0, = 8 вокруг оси ;

[Ответ]

16)

2

− 2 = 4, = ±2 вокруг оси ;

[Ответ]

17)

= arccos

, = arccos

, = 0 вокруг оси ;

[Ответ]

5

3

18)

=

2

, = 2 вокруг оси ;

[Ответ]

1 + 2

19)

=

1

, =

, = 0 вокруг оси ;

[Ответ]

1 + 2

2

20)

2

+

2

= 1 вокруг оси .

[Ответ]

2

2

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню	Назад Вперёд

313.Найдите среднее значение издержек = ( ), выраженных в денеж-

ных единицах, если объем продукции меняется от 1 до 2 единиц. Укажите объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

1)	( ) = 3 2 + 4 + 2, 1						= 0, 2	= 3;	[Решение] [Ответ]
2)	( ) = 6 2 + 4 + 1, 1						= 0, 2	= 5;	[Ответ]
3)	( ) = log2( + 1), 1 = 1, 2 = 3;								[Ответ]
4)	( ) = sin	2		, 1 =		, 2 = .			[Ответ]
			2		2

314.Определите объем продукции, произведенной рабочим за -й час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

= ( ).

2 1) ( ) = 3 + 4 + 3, = 2;

3 2) ( ) = 3 + 2 + 5, = 5;

3) ( ) = − , = 3;

4) ( ) = cos 4 + 1, = 1.

[Решение] [Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

315.Определите дисконтированный доход за лет при процентной ставке %, если первоначальные (базовые) капиталовложения составилимлн руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения намлн руб.

1)	= 3, = 8, = 10, = 1;	[Решение] [Ответ]
2)	= 5, = 10, = 5, = 2;	[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню Назад Вперёд

3)	= 10, = 5, = 20, = 1;	[Ответ]
4)	= 4, = 10, = 7, = 3.	[Ответ]

316.Определите запас товаров на складе, образуемый за дней, если поступление товаров характеризуется функцией ( ).

1)	( ) = 3 2 + 3 + 4, = 2;					[Решение] [Ответ]
2)	( ) = 5 − 2 + 6, = 4;					[Ответ]
3)	( ) = − 2 , = 1;					[Ответ]
4)	( ) = − , = 3;					[Ответ]
317.	Вычислите интегралы или установите их расходимость:
1)	∫1		3 ;			[Решение] [Ответ]
	+∞
2)	∫0	− ;				[Ответ]
	+∞
3)	∫0	cos 3 ;				[Решение] [Ответ]
	+∞
4)	∫1		(1 + 9 2) arctg2 3 ;			[Решение] [Ответ]
	+∞
5)	3		2 + 4;			[Ответ]
	∫
	+∞

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню	Назад Вперёд

6)	∫0	;
7)	−∞		2 + 1 ;
	∫
	0	+ 1
8)	−∞		1 + 2 ;
	∫0
	+∞
			arcctg
9)	∫2		√ 4 + 1			;
	+∞
10)	∫		2 + 2 + 2.
	+∞
11)	−∞		√ − 1.
	∫
	+∞

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

4

	318.	Вычислите интегралы или установите их расходимость:
	1)	∫0		√ ;			[Решение] [Ответ]
		1
		∫	1
	2)			9 2 − 9 + 2;			[Решение] [Ответ]
			3

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню

3)	∫3	√			;
			9 2
	0		−
4)	1/2	ln2 ;
	∫0
5)	∫0	( − 3)2 ;
	3
6)	∫0	√3 1 − ;
	2

∫/2

7)sin ;

0

8)	∫		√1 2 ;
		0	arccos
	−	1		−
9)			2 + 5 ;
	∫0
		1

∫+∞

1/

10)2 .

0

∫1

11)2 ln .

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

0

Часть II. Задачи

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню Назад Вперёд

12)	∫		√ 2 1			;	[Ответ]
	2
	1				−
13)	∫0	sin(ln ) ;					[Ответ]