Часть I. Теория Глава 7. Ряды

7.2. Функциональные ряды. Область сходимости

Меню	Назад Вперёд

7.2. Функциональные ряды. Область сходимости

Определение. Ряд вида

	∞
	∑	(7.9)
1( ) + 2( ) + . . . + ( ) + . . . =	( ),
	=1

где ( ), N — некоторые функции аргумента , заданные на множестве , называется функциональным рядом, заданным на множестве .

Если фиксировать какое-либо = 0 , то ряд

∑∞

( 0)

(7.10)

=1

является числовым рядом.

Определение. Если числовой ряд (7.10) сходится, то говорят, что функциональный ряд (7.9) сходится в точке = 0. В противном случае функциональный ряд (7.9) расходится в точке = 0.

Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

Область сходимости может совпадать с множеством , но может и не совпадать, в частности, может быть пустым множеством.

Пусть — область сходимости ряда (7.9). Тогда для каждого фиксированного соответствующий числовой ряд ∑∞ ( ) сходится и имеет

=1

сумму. Если каждому поставить в соответствие число, равное этой сумме, то на множестве будет определена некоторая функция = ( ), называемая суммой функционального ряда (7.9). Тогда записывают:

( ) = 1( ) + 2( ) + . . .

+ ( ) + . . .

, .

Часть I. Теория Глава 7. Ряды

7.2. Функциональные ряды. Область сходимости

Меню	Назад Вперёд
	∞
Пример 7.7. Найти область сходимости функционального ряда	∑
	.
	=1

Решение. В данном случае ( ) = , = 0, 1, . . . Эти функции определены на R. Из примера 7.1 следует, что этот функциональный ряд сходится в любой точке R, для которой | | < 1. Если же | | > 1, то соответствующий числовой ряд расходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является интервал (−1, 1).

Очевидно, суммой этого функционального ряда является функция

		( ) =	1		,	(−1, 1),
т.е.			1 −
1		= 1 + +	2 + . . . + + . . . ,				(−1, 1).
	1 −

Определение. Функциональный ряд (7.9) называется абсолютно сходящимся на множестве 1, если в каждой точке 1 сходится ряд

∑∞

| ( )|.

=1

Так как абсолютно cходящийся ряд сходится, то 1 . Образуем -ую частичную сумму ряда (7.9):

( ) = 1( ) + 2( ) + . . .

+ ( ),

= 1, 2, . . . , .

Очевидно, если фиксировать = 0, 0 , то { ( 0)} есть число-

вая последовательность. Если существует конечный lim ( 0), то он равен

→∞

( 0). По определению предела это означает, что > 0 существует номер0 такой, что > 0: | ( 0) − ( 0)| < .

	Часть I. Теория
	Глава 7. Ряды
	7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
Меню	Назад Вперёд

Подчеркнем, что здесь номер 0 зависит, вообще говоря, и от , и от точки 0. Особый интерес представляет случай, когда можно указать номер0 такой, что он зависит только от и не зависит от выбора точки 0,

0 .

Определение. Если для > 0 0, 0 N, зависящий лишь от и не

зависящий от , , такой, что и > 0 | ( ) − ( )| < , то говорят, что функциональный ряд (7.1) равномерно сходится в области .

Весьма удобным для исследования ряда на равномерную сходимость является следующий признак Вейерштрасса.

Теорема 7.11 (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствaм

| ( )| 6 , N, ,

и числовой ряд

∑∞

=1

сходится, то ряд (7.9) равномерно сходится в .

Пример 7.8. Исследовать на равномерную сходимость ряд

					∑
					∞		sin
				=1			2	.
Решение. Очевидно,	2		6	2			N, R,
	sin			1

ряд

∑∞ 1

=1 2

сходится. Значит, данный ряд сходится равномерно на R.

Часть I. Теория Глава 7. Ряды

7.2. Функциональные ряды. Область сходимости

Меню	Назад Вперёд

Если предположить, что члены ряда (7.9) являются функциями непрерывными в его области сходимости , то возникает вопрос, будет ли непрерывной его сумма ( ) в ? Ответ дает следующая

Теорема 7.12. Если члены функционального ряда являются непрерывными в области функциями и ряд (7.9) равномерно сходится в , то его сумма является функцией, непрерывной в .

Например, сумма ряда ∑∞ sin является функцией, непрерывной на R.

2

=1