Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.2. Глобальный экстремум	Назад Вперёд

5.2.2. Глобальный экстремум

Вприкладных дисциплинах часто встречается задача на отыскание глобального экстремума, когда требуется вычислить наибольшее и наименьшее значения функции в некоторой области двумерного пространства, ограниченной заданным набором линий.

Глобальный экстремум может достигаться либо внутри, либо на границе области. В первом случае экстремум окажется также локальным, и для него будет выполнено необходимое условие экстремума (5.8). Из сказанного становится ясно, что для отыскания глобального экстремума следует

1)найти стационарные точки, расположенные внутри области, и вычислить значения функции в них;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3)из всех найденных значений выбрать самое большое и самое маленькое.

Пример	5.19. Найти	наибольшее и наименьшее значения функции
= 2	+ 2 2 − 2 − 8	в треугольнике, ограниченном осями координат и
прямой + 2 = 8.

Решение. Прямая + 2 = 8 пересечет ось в точке (0; 4), а ось — в точке (8; 0). Таким образом, функцию мы будем исследовать в треугольнике (смотрите рисунок 5.13).

Находим стационарные точки внутри треугольника :

′ = 0,	2 − 2 = 0,			2 = 2,	= 1,
		−	8 = 0,
′ = 0,	4			4 = 8,	= 2.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.2. Глобальный экстремум	Назад Вперёд

y
4	b A	M3
		b
M1	b	b M0
	b	b

OM2

x
+ 2
y
	=
	8

B

b

8 x

Рисунок 5.13

Имеем единственное решение 0(1, 2). Вычисляем значение функции в стационарной точке 0:

( 0) = (1, 2) = 12 + 2 · 22 − 2 · 1 − 8 · 2 = 1 + 8 − 2 − 16 = −9.

Теперь исследуем функцию на каждой из сторон треугольника в отдельности. На стороне , задаваемой уравнением = 0, функция принимает вид = 2 2 − 8 , где [0, 4]. Находим стационарные точки функции одной переменной :

′	( ) = 0,	4	−	8 = 0, 4 = 8,	= 2.

Корню = 2 соответствует точка 1(0; 2) на стороне . Вычисляем значения функции в точке 1, а также в концах и стороны :

( 1) = (2) = 2 · 22 − 8 · 2 = −8,

( ) = (0) = 0, ( ) = (4) = 2 · 42 − 8 · 4 = 0.

Сторона задается уравнением = 0. На ней функция принимает вид = 2 −2 , где [0, 8]. Находим стационарные точки функции :

′	( ) = 0,	2	−	2 = 0, 2 = 2,	= 1.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.2. Глобальный экстремум	Назад Вперёд

Имеем точку 2(1; 0). Так как значение ( ) нам уже известно, осталось вычислить ( 2) и ( ):

( 2) = (1) = 12 − 2 · 1 = −1,					( ) = (8) = 82 − 2 · 8 = 48.
На стороне имеем = 8 − 2 , и, следовательно, функция прини-
мает вид
= (8 − 2 )2 + 2 2		− 2(8 − 2 ) − 8 = 6 2 − 36 + 48,						[0, 4].
Ищем стационарные точки функции :
′	( ) = 0,	12	−	36 = 0,		12 = 36,	= 3.
Получена точка 3(2; 3), для которой
( 3) = (3) = 6 · 32 − 36 · 3 + 48 = −6.
Сравнивая найденные значения, приходим к выводу, что
	min = ( 0) = −9,				max = ( ) = 48.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.3. Условный экстремум	Назад Вперёд

5.2.3. Условный экстремум

Начнем рассмотрение понятия условного экстремума с конкретного примера.

Пример 5.20. Найти минимум и максимум функции = − на единичной окружности, то есть при условии, что координаты и связаны соотношением 2 + 2 = 1.

Решение. Геометрически эта задача означает, что на эллипсе, полученном при пересечении цилиндра 2 + 2 = 2 плоскостью = − , требуется найти максимальное и минимальное значения аппликаты (рисунок 5.14).

Точками (1; 0) и (−1; 0) разделим окружность 2 + 2 = 1 на две полуокружности, каждую из которых можно представить в явном виде следующим образом:

1 = √		,	2 = −√			,		[−1; 1].
	1 − 2			1 − 2
На первой полуокружности имеем:
1( ) = − 1( ) = − √							,	[−1; 1].
					1 − 2

Ищем стационарные точки функции 1 на интервале (−1; 1):

√

+

′

( ) = 0,

1 +

= 0,

1 − 2

= 0.

1

√1 − 2

√1 − 2

Отсюда

−√

−

< 0,

−

2

2

= 1

2

,

1

= 1

2,

−

=

√

.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.3. Условный экстремум	Назад Вперёд

Этой стационарной точке соответствует точка (−1/√2; 1/√2) первой полуокружности. Вычисляем значения функции в точке и на концах и:

1		1		√
( ) = −√		− √		= − 2, ( ) = 1 − 0 = 1,			( ) = −1 − 0 = −1.

22

Аналогичным образом исследуя вторую полуокружность, приходим к
√			√			√
точке (1/ 2; −1/				2), для которой ( ) =			2. Сравнивая значения функ-

ции в точках , , и , находим, что максимум достигается в точке
и равен	√2, минимум достигается в точке и равен −√2.
		z
	z = x − y		x2 + y2 = 1
	max z
			B
		O	b
	N b		b M
		b
		A
	x		min z	y

Рисунок 5.14

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.3. Условный экстремум	Назад Вперёд

Определение. Задача отыскания условного экстремума — это задача о нахождении экстремума целевой функции = ( , ) при условии, что переменные и подчиняются ограничению ( , ) = 0, называемому уравне-

нием связи.

Определение. Точка 0( 0, 0), удовлетворяющая уравнению связи

( , ) = 0, называется точкой локального условного максимума функ-

ции = ( , ), если существует такая окрестность точки 0, что для любых точек из этой окрестности, удовлетворяющих уравнению связи( , ) = 0, выполнено неравенство ( ) 6 ( 0).

Аналогично при определении точки локального условного минимума

требуется выполнение неравенства ( ) > ( 0).