Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню	Назад Вперёд

2.4. Непрерывные функции

212.Используя теорему о непрерывности элементарных функций, выяснить

в каких точках непрерывны данные функции:

√

1)

( ) =

− 2;

[Решение] [Ответ]

2)

( ) =

2 cos

;

[Решение] [Ответ]

2

1 + sin

3)

( ) =

√

+ sin 3 ;

2

[Ответ]

−

2

2

( ) = √

√

4)

−

3+ + 2 +

+ − 6;

[Ответ]

5)

( ) = arctg

−

;

[Ответ]

2 − 4

6)

( ) = arcsin(1 − ) + lg lg ;

[Ответ]

7)

( ) = arcsin

2

;

[Ответ]

1 +

8)

( ) =

[Ответ]

√9 − 2 + lg − 2.

+ 1

213.Доказать, что функция ( ) не является непрерывной в точке 0. Ис-

следовать её на одностороннюю непрерывность.

1)	( ) =	1	при > 0,	0	= 0;	[Решение] [Ответ]
		0	при < 0,
2)	( ) =		при 6 1,	0	= 1;	[Ответ]
			при > 1,
		2

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню

Назад Вперёд

3)

( ) =

−2 − 3

при < −2,

0 =

−

2;

[Ответ]

−

4

при >

−

2,

214.

Установить характер разрыва функции ( ) в точке 0:

1)

( ) =

1/( −

1),

< 0,

0

= 0;

[Решение] [Ответ]

2

+ 1)

,

> 0,

(

2)

( ) = sin

1

, 0 = 0;

3)

( ) =

ln( − 1),

1 < 6 2,

0 = 2;

> 2,

sin ,

2 + 1

4)

( ) =

, 0

= 2;

− 2

5)

( ) = sin ln | |, 0 = 0;

6)

( ) =

2 − 16

,

=

4

;

+ 4

0

−

7)( ) = cos , 0 = 2 ;

	8)	( ) =	| − 3|		, 0 = 3;
			− 3
	9)	( ) = ln | |, 0 = 0;
	10)	( ) =	sin	, 0		= 0;
	11)	( ) =		, 0		= ;
			sin

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню Назад Вперёд

12)	( ) = − [ ], 0 = 1;					[Указание] [Ответ]
13)	1		, 0 = 1;			[Ответ]
	( ) =
		− [ ]
14)	( ) = tg − [tg ], 0 =				.	[Ответ]
				2

215.Показать, что функция = | | непрерывна на R.

216.Показать, что функции [ ] (рисунок 2.48) и { } (рисунок Р.10) непре-

рывны во всех точках 0 / Z, а во всех точках 0 Z только непрерывны справа.

217.Исследовать функцию ( ) на непрерывность. Построить график. Най-

ти скачок в точках конечного разрыва:

sin

при

6 /2,

1)

( ) =

1/2

при

|

|

> /2;

[Решение] [Ответ]

|

|

2)

( ) =

2

−

при 6 0,

[Ответ]

при > 0;

2

1

3)

( ) =

при | | < 1,

[Ответ]

при

|

|

> 1;

2

4)

( ) =

+ 1

2

при [0; 1),

[Ответ]

при

3

+ 2

(1; 2];

5)

( ) =

1 −

при (−∞; 0],

[Ответ]

при

∞

(0; +

);

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню

	при (−∞; 0],
+ 1

6)( ) = 1

при (0; 1) (1; +∞);

1 −

при 6 − ,

7) ( ) = sin

при − < <

2

,

1

при >

2

;

8) ( ) =

2

2

при < −2,

√

при −2 6 < 2,

4 −

3

при > 2;

1

9) ( ) =

+ 1

при < 1,

2

при 1 < 6 2,

при > 2;

3

10) ( ) =

при 6 0,

1

при 0 < 6 1,

1 −

3

1−

при > 1;

11) ( ) =

при < 0,

2

при 0 6 6 /2,

tg

при > /2;

12) ( ) = lim

;

1 +

→∞

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Решение] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню

13) ( ) = lim arctg ;

→∞

14) ( ) = lim 1 + 2 ;

→∞ 1 + 4

15) ( ) = lim + − ;

→∞ 2 + −2

16) ( ) = lim − − ;

→∞ + −

17)( ) = | | − ;

2

18)( ) = log2 | − 2|;

1 19) ( ) = ( + 2)2 ;

20)	( ) =	2 − | |			.
		2 +
218.	Исследовать функцию ( ) на непрерывность:
		2−	1			при ̸= 0,
1)	( ) =		2
						при = 0;
		2

2)( ) = 3 + 1;

+ 1

3)( ) = arctg 1 ;

4)( ) = 2 ;

− 3

5)( ) = ln | cos |;

1

6) ( ) = (1 + ) arctg 1 − 2 .

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню	Назад Вперёд

219.Выяснить, существует ли значение , при котором данные функции непрерывны в точке 0, и если существует, то найти его:

2, ( ) =

2

− 4

при

=

2,

1)

[Ответ]

0 =

−

+ 2

̸ −

3

при =

−

2;

−

|

= 3,

2)

0 = 3, ( ) =

| − 3

при

[Ответ]

̸

при = 3;

3)

0 = 0, ( ) =

cos

при 6 0,

[Ответ]

−

1)

при >

0.

(

220.

Является ли функция ( ) непрерывной на заданном отрезке?

1)

( ) =

1

, [−1, 2]

[Ответ]

( + 2)( − 3)

2)

( ) =

1

, [4, 7]

[Ответ]

( − 5)( + 1)

3)

( ) =

1

, [−4, −3]

[Ответ]

( + 3)( + 4)

4)

( ) =

1

, [0, 1]

[Ответ]

4 − 1

5)

( ) =

1

, [−2, 0]

[Ответ]

2 + 2 − 3

221.

Имеет ли уравнение 4 − 3 2 + 2 − 1 = 0 хотя бы один корень на

отрезке [1; 2]?

[Решение] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.4. Непрерывные функции

Меню	Назад Вперёд

222.Доказать, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

223.Доказать, что из непрерывности функции ( ) следует непрерывность | ( )|. На примере показать, что обратное утверждение не верно.

224.Привести пример двух функций, разрывных в точке = 1, сумма которых непрерывна в этой точке.

225. Существует ли на отрезке [1; 2] такая точка, в которой	функция
( ) = 5 − 3 2 + 1 имеет значение, равное нулю?	[Ответ]

226.Показать, что уравнение 3 − 3 + 1 = 0 имеет корень на интервале

(1; 2).

227.Доказать, что уравнение 8 − 3 · 2 − 16 = 0 имеет корень на отрезке

[0; 2].

228. Имеет ли хотя бы один корень уравнение sin − + 1 = 0?

[Ответ]