Часть I. Теория Глава 7. Ряды 7.1. Числовые ряды

Меню	Назад Вперёд

7.1. Числовые ряды

7.1.1.Понятие числового ряда.

7.1.2.Необходимое условие сходимости числового ряда.

7.1.3.Достаточные условия сходимости.

7.1.4.Абсолютная и условная сходимость.

Часть I. Теория
Глава 7. Ряды
7.1. Числовые ряды
Меню 7.1.1. Понятие числового ряда.	Назад Вперёд

7.1.1. Понятие числового ряда.

Пусть { } — числовая последовательность R, N.

Определение. Выражение вида

	∞
1 + 2 + 3 + . . . + + . . . =	∑	(7.1)
	=1

называется числовым рядом. Числа 1, 2, 3, . . . , , . . . называются членами ряда, а — -ым или общим членом ряда (7.1).

Определение. Сумма первых членов ряда (7.1) называется -ой частичной суммой данного ряда и обозначается ,

		∑
= 1 + 2 + 3 + . . . + =			.
		=1
Будем иметь
1 = 1,	2 = 1 + 2,	3 = 1 + 2 + 3, . . . ,
	= 1 + 2 + . . . + , . . .

Получим последовательность частичных сумм ряда (7.1)

1, 2, . . . , , . . .

Определение. Если последовательность частичных сумм { } имеет конечный предел , то числовой ряд (7.1) называется сходящимся и число называется суммой ряда,

	∞
= 1 + 2 + . . . + + . . . или =	∑
	.
	=1

Часть I. Теория
Глава 7. Ряды
7.1. Числовые ряды
Меню 7.1.1. Понятие числового ряда.	Назад Вперёд

Если же предел последовательности { } не существует или бесконечен, то ряд (7.1) называется расходящимся.

Пример 7.1. Исследовать на сходимость ряд:

∞

∑

R.

1 + + 2 + . . . + + . . . =

,

=0

Решение. Составим -ую частичную сумму

= 1 + + 2 + . . . + −1.

Легко найти, что

1 −

=

,

= 1,

1

−

̸

и

1 −

1

lim

= lim

=

lim (1

−

).

1

−

→∞

→∞ 1 −

→∞

Если | | < 1, то

lim (1 − ) = 1

и

→∞

1

= lim =

,

1 −

т.е.

→∞

1

1 + + 2 + . . . + + . . . =

,

| | < 1.

1 −

Мы получаем известную формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Если | | > 1 или = 1, то, очевидно, последовательность { } является ББП, если же = −1, то предел { } не существует.

Часть I. Теория
Глава 7. Ряды
7.1. Числовые ряды
Меню 7.1.1. Понятие числового ряда.	Назад Вперёд

Определение. Выражение вида

	∞
+1 + +2 + . . . =	∑	(7.2)

= +1

также представляет собой ряд, и он называется -ым остатком ряда (7.1) (обозначается ).

Теорема 7.1. Числовой ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно. [Доказательство]

	,	= const,
		∞
	∑
	=	.
		=1
Из этой теоремы следует, что сходимость не нарушается, если изме-
нить конечное число его членов.
Заметим также, что если ряд (7.1) сходится, то
	∞	или = + ,	(7.3)
=	+
=1	= +1
∑	∑

где — частичная сумма ряда (7.1), — его -ый остаток.

Теорема 7.2. Если ряд

∑∞

=1

сходится, то сходится ряд

∑∞

=1

причем

Часть I. Теория
Глава 7. Ряды
7.1. Числовые ряды
Меню 7.1.1. Понятие числового ряда.	Назад Вперёд

Если же сходятся ряды

∞	∞
∑	∑
	и
=1	=1
и их сумма равна и соответственно, то сходится ряд
∞
∑
( ± ),
=1
и его сумма равна ± .		[Доказательство]
Подчеркнем, что утверждение, обратное только что доказанному, во-
обще говоря, неверно. Например, ряд
∞
∑(1 − 1)
=1
сходится, а ряды	∞
∞
∑	∑
1,	(−1)
=1	=1
расходятся.