Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.3. Непрерывность функции двух переменных	Назад Вперёд

5.1.3. Непрерывность функции двух переменных

Определение. Функция = ( , ), определенная в точке 0( 0, 0) и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке 0( 0, 0), если

вэтой точке существует предел функции ( , ), равный значению функции

вэтой точке:

lim ( , ) = ( 0, 0).

→ 0→ 0

Другими словами, достаточно малые изменения независимых переменных и обеспечивают сколь угодно малые изменения значений функции. Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги точек на плоскости ведут к сколь угодно малым изменениям аппликаты точек поверхности, представляющей график функции = ( , ).

По аналогии с функциями одной переменной можно доказать, что арифметические действия над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным же функциям. При этом для непрерывности частного, как всегда, требуется, чтобы делитель не обращался в нуль.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке области, называется

непрерывной в этой области.

Пример 5.8. Функция

=		2	при 2 + 2 ̸= 0,
		2 + 2
			в точке (0, 0)
	0

непрерывна в начале координат в силу примера 5.7. В других точках она непрерывна как элементарная функция. Таким образом, она непрерывна во всей плоскости R2.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.3. Непрерывность функции двух переменных	Назад Вперёд

Определение. Точка, в которой функция не определена или определена, но не является непрерывной, называется точкой разрыва функции.

Пример 5.9. Для функции

1

= 9 2 − 4 2

точки разрыва образуют множество точек плоскости , определяемое равенством 9 2 − 4 2 = 0, то есть две прямые = ±3 /2.

Приведенное выше определение описывает непрерывность функции по совокупности переменных. Зафиксировав переменную = 0, получим функцию ( ) = ( , 0) одной переменной .

Определение. Если функция ( ) = ( , 0) непрерывна в точке 0, то говорят, что функция ( , ) непрерывна в точке ( 0, 0) по переменной . Аналогично вводится понятие непрерывности функции в точке ( 0, 0) по

переменной .

Будем придавать переменным и такие приращения			и	, что-
бы точка ( 0 +	, 0 +	) принадлежала области определения функции
= ( , ).

Определение. Частными приращениями функции = ( , ) по переменным

и в точке 0( 0, 0) называются соответственно величины

= ( 0 +

, 0) − ( 0, 0),

= ( 0, 0 +

) − ( 0, 0).

Определение. Полным приращением функции = ( , ) в точке 0( 0, 0)

называется выражение

= ( 0 + , 0 + ) − ( 0, 0).

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.3. Непрерывность функции двух переменных	Назад Вперёд

Перефразируем определение непрерывности функции на «языке приращений».

Определение. Функция = ( , ) называется непрерывной в точке0( 0, 0), если ее полное приращение есть величина бесконечно малая, когда приращения независимых переменных стремятся к нулю, то есть

lim = 0.

→0→0

Непрерывность функции ( , ) по одной из переменных или в точке0( 0, 0) означает справедливость одного из равенств:

lim	= 0,	lim	= 0.
→0		→0

Замечание 5.2. Из непрерывности функции = ( , ) в точке 0( 0, 0) следует её непрерывность по каждой из переменных и в этой точке. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В этом несложно убедиться на примере функции

			при 2 + 2 ̸= 0,
=		2 + 2
			в точке (0, 0),
	0

если вспомнить результат примера 5.6.