Часть II. Задачи

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных 5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

Меню	Назад Вперёд

5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

5.1.1.Общие задачи

5.1.2.Экономический профиль

Часть II. Задачи
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.1. Общие задачи	Назад Вперёд

5.1.1. Общие задачи

319.Вычислить частные значения функций:

1)	= 2 cos в точке (2; /3);					[Решение] [Ответ]
2)	=	2 −		при = 3 и = 1, а также при = 1 и = 3;			[Ответ]
		− 2
3)	= √				в точках (1/2; 1) и (2; −1).		[Ответ]
			2 + + 1

320. Найти области определения следующих функций:

√

1)= 1 − 2 − 2;

2)= arcsin( + );

3)	=	1						;
		− 3
4)	= ln( + );
5)	=	√
						2	−	1	+ 4;
								2
6)	=										;
			√

2 + 2 − 16

7)= √ 1+ + √ − ;

8)= √ ;

9)= arccos(2 − 2 − 2);

10)= 2 − 2 − 2 2;

1

11) = 2 − 2 ;

12) = + √ .

[Решение] [Ответ] [Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.1. Общие задачи	Назад Вперёд

321. Найти множества точек разрыва данных функций:

1)( , ) = 2 + 3 − 2 + 2;

2 + 2

2) ( , ) =					1				;
	( − 1)2 + ( + 1)2
	2
3) ( , ) =			2+ 2	;
4) ( , ) =	2 +				2 + 1			;
			( −		)4
5) ( , ) =	1						;
		sin sin
6) ( , ) =	8							;
		4 − 2 − 2
7) ( , ) =	+ 3					;
	2 −
8) ( , ) =	1				.
		− 2

322. Найти частные производные функции:

1)= 4 cos2 ;

2)= 2 3 − 6 2 + 3;

3)= 2 + 2 2 − 3 − 4 + 2 + 5;

4)= 3 + 6 2 − 4 3 − 2 ;

5)= − 2 ;

+ 2

6)= ;

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Решение] [Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

Меню

5.1.1. Общие задачи

Назад

Вперёд

7)

=

;

[Ответ]

8)

= 2 cos( + 3 );

[Ответ]

9)

= ln(3 2 − 4);

[Ответ]

11)

=

√

[Ответ]

;

10)

= sin

− 3;

[Ответ]

arcsin 2 3

12)

= 2 2− 5 ;

[Ответ]

13)

= tg

3 − 2

;

[Ответ]

14)

= 2 sin4 ;

[Ответ]

2

15)

=

−

;

[Ответ]

2

16)

= ( 2+ 2);

[Ответ]

17)

= 2 √

+ 3 2√3

;

[Ответ]

2

18)

= arctg

;

[Ответ]

1 + 2

19)

= 2 ;

[Решение] [Ответ]

20)

=

+ − ;

[Ответ]

21)

= ( − )( − )( − ).

[Ответ]

323.

Для функции ( , ) = 2 sin2 вычислить ′

и ′ в точке (−1; /4).

[Ответ]

( , ) = arctg

+

′

(3,

4)

′(

12, 5)

324.

Для функции

−

вычислить

−

и

−

.

[Ответ]

	Часть II. Задачи
	Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
	5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню	5.1.1. Общие задачи					Назад Вперёд
325.	Для функции ( , ) = 3 + 2	−	2 +3	−	1 вычислить ′ и ′ в точке
	(3; 2).					[Ответ]

326.Проверить выполнение теоремы Шварца на примере смешанных частных производных второго порядка:

1)= 2 ;

2

2)= ln( − 2 );

	3) =			2		;
		1		−

4)= 2 sin √ ;

5)= 2 ;

6)= arctg .

327.	Найти частные производные второго порядка функции :
1)	= 4		+ 4 2 3 + 7 + 1;				[Решение] [Ответ]
2)	= 4		− 5 2 − 2 3;				[Ответ]
3)	=	−		;			[Ответ]
		+
4)	= sin( 2 + 3);						[Ответ]
5)	= sin ln + ln ;						[Ответ]
6)	= √					;	[Ответ]
			2 + 2
7)	= +				;		[Ответ]
8)	= tg 2;						[Ответ]

		Часть II. Задачи
		Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
		5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
	Меню	5.1.1. Общие задачи								Назад Вперёд
			2
	9)	=			;					[Ответ]
			1 − 2
	10)	= sin cos ;								[Ответ]
	11)	= + +							;	[Ответ]
						−
	12)	= ;								[Ответ]
	13)	= arctg		+			;			[Ответ]
	14)	= ln( + );								[Ответ]
	15)	= 2 ;								[Ответ]
	16)	= (cos + sin ).								[Ответ]

328.Показать, что функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению:

1)

= ln( 2 − 2),

1

·

∂

+

1

·

∂

=

;

[Решение]

∂

∂

2

2)

= sin

,

2 ∂ + ∂

= ;

∂

∂

2

1 1

2

∂

2

∂

3

3)

=

+

+

−

,

+

=

;

2

2

∂

∂

∂2

∂

∂

4)

= ,

=

−

;

∂ ∂

∂

∂

5)

=

,

∂2

+ 2

∂2

+

∂2

=

2

.

−

∂ 2

∂ ∂

∂ 2

−

	Часть II. Задачи
	Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
	5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню	5.1.1. Общие задачи				Назад Вперёд
329.	Показать, что уравнению Лапласа
		∂2		∂2
			+		= 0
		∂ 2		∂ 2

удовлетворяют следующие функции:

1)= cos ;

2)= ln( 2 + 2).

330.Показать, что уравнению колебаний струны

∂2 = 2 ∂2

∂ 2 ∂ 2

удовлетворяют следующие функции:

1)( , ) = sin( + ) sin ;

2)= ( − ) + ( + ), где и — произвольные дважды дифференцируемые функции.

331.

Найти полный дифференциал данной функции:

1)

= √

;

2

3

[Решение] [Ответ]

4

2

−

4

2

2)

= 2

+

−

+ 5 ;

[Ответ]

3)

= sin2 + cos2 ;

[Ответ]

4)

= ;

[Ответ]

5)

= 2− ;

[Ответ]

6)

= √

;

[Ответ]

3 2 − 2 +

7)

= arctg(2 − );

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

Меню

5.1.1. Общие задачи

Назад Вперёд

8)

= ctg

;

[Ответ]

9)

= 5 4

+ 2 2 7;

[Ответ]

10)

= cos

2 + 2

;

[Ответ]

3 + 3

11)

= (5 2 − 3 + 7)3;

[Ответ]

12)

= arctg

;

[Ответ]

13)

= √ +

;

[Ответ]

√3

14)

= ln tg

;

[Ответ]

= √

15)

+

2

+ 2;

[Ответ]

√

16)

√

2

2

[Ответ]

2 +

2 + ;

= ln

+

−

√

17)

1 +

2

2

[Ответ]

√ 2

+ 2 ;

= ( 2 +

2)

1

−

√

+

18)

=

;

[Решение] [Ответ]

19)

= √2

4

;

[Ответ]

2

+ 2

20)

=

;

[Ответ]

21)

= 3 + 2 + 3 − + ;

[Ответ]

22)

[Ответ]

= ;

23)

= .

[Ответ]

	Часть II. Задачи
	Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
	5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню	5.1.1. Общие задачи			Назад Вперёд
332.	Найти полный дифференциал функции:
1)	= arctg		, при = 2, = 3, = 0,1, = −0,2;	[Ответ]
2)	= , при = 1, = 2, = −0,1, = 0,1.			[Ответ]

333.Вычислить приближенно, заменяя приращение функции её дифференциалом:

1)

1,073,97;

[Решение] [Ответ]

2)

√

;

[Ответ]

(4,03)2 + (3,05)2

3)

1,03 · 9,98;

[Ответ]

4)

1,94 0,12;

[Ответ]

5)

1,042,03;

[Ответ]

6)

arctg

1,02

;

[Указание] [Ответ]

0,95

7)

√

[Ответ]

5 0,

3

+ 2,033

;

02

2

8)

ln(0,09

+ 0,99 );

[Ответ]

9)

sin 28 · cos 61 ;

[Указание] [Ответ]

10)

cos 2,36 · arctg 0,97 · 32,05;

[Ответ]

11)

1,002 · 2,0032 · 3,0043.

[Ответ]

334.

Найти производную

, если известно, что

1)

= 2+ 2 , = cos , = sin ;

[Решение] [Ответ]

2)

= 2 + 2 + , = sin , = cos ;

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

Меню

5.1.1. Общие задачи

Назад Вперёд

3)

= ln( + ), = 3, = 1 − 3;

[Ответ]

4)

= 5 + 2 − 3, = cos 2 , = arctg ;

[Решение] [Ответ]

5)

= arctg , = 2 + 1, = 3;

[Ответ]

6)

= 2 −3 , = tg , = 2 − ;

[Ответ]

7)

= , = ln , = sin ;

[Ответ]

8)

= + , = sin , = ln , = ;

[Решение] [Ответ]

1

√

9)

= cos(2 + 4 2 − ), =

,

=

;

[Ответ]

ln

10)

= 2 3 , = , = 2, = sin .

[Ответ]

335.

Найти производную по направлению функции

= 2

+ 2 в точке

(1; 1). Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью

угол:

1)

;

[Решение] [Ответ]

3

2)

;

[Ответ]

6

3)

.

[Ответ]

2

336.

Найти производную по направлению биссектрисы первого координат-

ного угла в точке (1; 1) функции = 3 − 5 2 + 8.

[Ответ]

337.

Найти производную по направлению биссектрисы первого координат-

ного угла функции = ln( + ).

[Ответ]

338. Найти производную функции = 2 − 2 + 2 в точке (1; 2; −1) по

−−−→

направлению вектора 1, где 1 — точка с координатами (2; 4; −3). [Ответ]

Часть II. Задачи
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.1. Общие задачи	Назад Вперёд

339.Найти производную функции = 42 + 92 − 2 в точке (2; 3; 1) по направлению

1)	радиус-вектора точки ;					[Ответ]
2)	вектора = 4i − 3j.					[Ответ]
340.	Найти градиент функции в точке :
1)	= 2 + 2 2 − 5, (2; −1);					[Решение] [Ответ]
2)	= 4 − 2 − 2, (1; 2);					[Ответ]
3)	=				, (0; 3);	[Ответ]
		2 + 2 + 1
4)	= ( − )2, (1; 1);					[Ответ]
			2
5)	=		2+ 2	, (1; 1).		[Ответ]
341.	Найти градиент функции :
1)	= 2 3;					[Решение] [Ответ]
2)	= 2 + 2 − 2;					[Ответ]
3)	= − 2;					[Ответ]
4)	= ln( 2 + 2 + 2).					[Ответ]
342.	Найти grad и | grad | в точке :
1)	= 2 − 2 + − , (1, 0, −1).					[Решение] [Ответ]
2)	= 3 2 − 3 + − 2, (1, 2, 3);					[Ответ]
3)	= 2 + 2 − 2, (1; −1; 2);					[Ответ]

	Часть II. Задачи
	Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
	5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню	5.1.1. Общие задачи									Назад Вперёд
4)	= 4 − 2 − 2 + 2, (3; 2; 1);									[Ответ]
5)	= √				, (−1; 2; 0);					[Ответ]
			2 + 2 + 2
6)	= , (3; −1; 2).							6 , 1);		[Ответ]
7)	= sin( − ), (					6 ,				[Ответ]
8)	=	+		, (2, 0, 1);						[Ответ]
9)	= arctg( + 2 + 2), (1, 1, 0).									[Ответ]