Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.3. Предел функции. Два замечательных предела
Меню 2.3.4. Бесконечно малые функции	Назад Вперёд

2.3.4. Бесконечно малые функции

Определение. Функция ( ) называется бесконечно малой при → (БМФ), если

> 0

> 0 :

, 0 < | − | < ,

| ( )| < .

Согласно определению предела функции по Коши функция ( ) является бесконечно малой при → тогда и только тогда, когда

lim ( ) = 0.

→

Обратим внимание на необходимость указания точки, в которой функция является бесконечно малой. Например, функция = 2 является бесконечно малой при → 0, но не является бесконечно малой при → 1. В самом деле,

lim 2 = 0,	lim 2 = 1.
→0	→1

Свойства БМФ

1.Сумма любого конечного числа БМФ есть БМФ. [Доказательство]

2.Бесконечно малая функция при → является ограниченной в неко-

торой окрестности точки . [Доказательство]

3. Произведение бесконечно малой функции при → и функции, ограниченной в некоторой окрестности точки , есть бесконечно малая функция

при → .		[Доказательство]
4.	Произведение нескольких БМФ есть БМФ.	[Доказательство]
5.	Произведение БМФ на постоянную есть БМФ.	[Доказательство]

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.3. Предел функции. Два замечательных предела
Меню 2.3.5. Бесконечно большие функции	Назад Вперёд

2.3.5. Бесконечно большие функции

Определение. Функция ( ) называется бесконечно большой при →

(ББФ), если для любого числа > 0, сколь большим оно бы ни было, существует такое > 0, что для всех , удовлетворяющих условию 0 < | − | < , выполнено неравенство | ( )| > , т.е.

> 0

> 0 :

, 0 < | − | < ,

| ( )| > .

В этом случае применяется обозначение:

lim ( ) = ∞.

→

Если известно, что при 0 < | − | < функция ( ) принимает только положительные (отрицательные) значения, данное обозначение может быть дополнено путем указания знака бесконечности:

→	∞	( →	−∞)
lim ( ) = +		lim ( ) =	.

Не забывайте указывать точку, в которой функция является бесконечно большой. Например, функция = 1/( −2) является бесконечно большой при → 2, но не является бесконечно большой при → 1.

Свойства бесконечно больших функций

1.ББФ при → не ограничена ни в какой окрестности точки = .

2.Произведение ББФ при → и функции, имеющей ненулевой предел при → , есть ББФ при → .

3.Частное ББФ при → и функции, имеющей конечный предел при

→ , есть ББФ при → .

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.3. Предел функции. Два замечательных предела
Меню 2.3.5. Бесконечно большие функции	Назад Вперёд

4.Произведение двух ББФ при → есть ББФ при → .

5.Сумма ББФ при → и ограниченной в некоторой окрестности точки

функции есть ББФ при → .

Связь между БМФ и ББФ характеризует следующая теорема.

Теорема 2.7. Если ( ) — БМФ при → , причем ( ) ̸= 0 при ̸= ,

то 1/ ( ) — ББФ при → . И обратно, если ( ) — ББФ при → , то

1/ ( ) — БМФ при → . [Доказательство]

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.3. Предел функции. Два замечательных предела
Меню 2.3.6. Свойства предела функции	Назад Вперёд

2.3.6. Свойства предела функции

При исследовании свойств предела функции мы будем пользоваться рассмотренными ранее свойствами БМФ.

1.	Функция ( ) имеет предел при → тогда и только тогда, когда
разность ( ) = ( ) − является БМФ при → .									[Доказательство]
2.	Если у функции ( ) есть предел при → , то этот предел единствен-
ный.									[Доказательство]
3.	Функция, имеющая предел при → , ограничена в некоторой окрест-
ности точки .									[Доказательство]
4.	Произведение функции, имеющей предел при → , на БМФ при →
есть БМФ при → .									[Доказательство]
5.	Если функция ( )					имеет отличный от нуля предел при → , то
функция 1/ ( ) ограничена в некоторой окрестности точки .
									[Доказательство]
6.	Отношение БМФ при → и функции, имеющей отличный от нуля
предел при → , есть БМФ при → .									[Доказательство]
7.	Пусть lim ( ) = и lim ( ) = . Тогда
		→			)	→		б) → ( ( ) − ( ))
а)	→ (					+	;		= − ;
	lim ( ) + ( ) =							lim
в)	lim ( ) ( ) = ;
	→
		( )
г)	lim		=		(при условии, что ̸= 0).
		( )
	→

[Доказательство]

Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции

2.3. Предел функции. Два замечательных предела

Меню 2.3.6. Свойства предела функции

Назад Вперёд

Пример 2.11. Найти lim

2 + 1

.

+ 2

→0

Решение. Здесь можно применить свойство 7:

= 0 + 2

= 2.

lim0 + 2

= lim ( + 2) =

(

lim )+ lim→2

2 + 1

lim ( 2 + 1)

lim

2 + lim 1

0 + 1

1

→0

→0

0

→

→0

→0

→0

Пример 2.12. Найти lim

3 − 1

.

− 1

→1

Решение. Очевидно, что

lim ( − 1) = 0.

→1

Поэтому свойство предела частного здесь применить нельзя. Однако заметим, что и

lim ( 3 − 1) = 0.

→1

Говорят, что здесь имеем неопределенность вида 00 . Преобразуем выражение под знаком предела:

3 − 1			=	( − 1)( 2		+ + 1)	= 2 + + 1,	= 1.
	−	1			−	1		̸

Так как при рассмотрении предела функции в точке = 1 ее аргумент не принимает значения, равного 1, то

lim	3 − 1		=		lim ( 2 + + 1) = 3.
→1	− 1				→1
	√			− 3		.
Пример 2.13. Найти lim		5 + 2
→2		2 − 4

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.3. Предел функции. Два замечательных предела
Меню 2.3.6. Свойства предела функции	Назад Вперёд

Решение. Здесь имеем неопределенность вида 00 . Поэтому выражение под знаком предела следует преобразовать. Числитель содержит радикал, и в этом случае частное удобно умножить и разделить на «сопряженное» выражение √5 + 2 + 3. Будем иметь:

→2

2

4−

=

→2

( 2

(

4)

√5)+ 2

+ 3

lim

√

5 +

2

3

lim

√

5 +

2

2 − 32

=

−

2

9−

(

)

2

( 2

5 +

→2

( 2

4

1

→2

− 4) (√5 + + 3)

− 4)

(√5 + 1 + 3)

= lim

−

= lim

−

=

2

2

= lim2

√

=

.

6

5 +

2

+ 3

→

Пример 2.14. Найти

lim

99 2 + + 1

.

2 + 99

→∞

Решение. Числитель и знаменатель в отдельности при → ∞ являются ББФ. Поэтому непосредственно перейти к частному пределов на основании свойства 7 нельзя. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела. Разделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени, т.е. в данном случае, 2. Имеем:

		99 2 + + 1						99 +	1	+			1
																99
lim						= lim							2		=		= 99.
			2	+ 99						99						1
	→∞						→∞	1 +
											2