3.5.2.А. Співвісні поверхні обертання і їх лінії перетину

Для визначення лінії перетину двох поверхонь обертання доцільно скористатися однією властивістю цих поверхонь. Воно полягає в тому, що

дві співвісні поверхні, тобто поверхні имеющие загальну вісь, перетинаються по колах, якы проходять через точки перетину меридіанів поверхонь.

На рис.11 таких точок одна - Q, на рис.12 – дві: M і N і стільки ж відповідних їм ліній перетину: q, m, n.

Н

Рис.1

а рисунках ці кола зображені відрізками прямих, що є фронтальними проекціями паралелей, по яких перетинаються поверхні обертання.

3.5.2.б. ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ І СФЕРИ З ЦЕНТРОМ НА ОСІ ОБЕРТАННЯ

В окремому випадку, якщо одна з поверхонь обертання – сфера, приведене вище властивість може бути сформульована інакше, а саме:

я

Рис.3

кщо центр січної сфери знаходиться на осі поверхні обертання, то сфера перетне дану поверхню по колах, число яких дорівнює числу точок перетину головних меридіанів поверхні(рис.13).

Якщо вісь поверхні обертання перпендикулярна площині проекцій П₁ (або П₂), то кола проекціюються на площину П₁ (або П₂) без спотворення, а на площину П₂ (або П₁) у відрізки прямих, перпендикулярних фронтальній (горизонтальній) проекції осі обертання (див. рис.1…3)

Поверхня сфери може перетинатися по колу з будь якою співвісною поверхнею обертання, що має сімейство кіл, наприклад, з циліндричною поверхнею, конічною поверхнею другого порядку, та ін.

Застосування сфер у якості допоміжних січних поверхонь становить особливий інтерес, тому що будь-яка площина, що проходить через центр сфери, є площиною симетрії, на сфері може бути узята нескінченна безліч систем кіл, і проекція сфери будується дуже просто. Ці обставини дозволяють з достатнім ступенем точності будувати лінії перетину поверхонь обертання за допомогою допоміжних сфер.

Сфери-посередники проводяться або з одного загального для всіх сфер центра (спосіб концентричних сфер), або – з різних центрів (спосіб ексцентричних сфер). В останньому випадку радіуси сфер можуть бути рівними або різними.

Особливості кожного з цих способів і умови його застосування простежимо на конкретних прикладах.

3.5.2.в. СПОСІБ КОНЦЕНТРИЧНИХ І ЕКСЦЕНТРИЧНИХ СФЕР ПРИ ПОБУДОВІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНАННЯ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ

Спосіб концентричних сфер

Цей спосіб застосовується для побудови лінії перетину двох поверхонь обертання, осі яких перетинаються. Він заснований на співвісності поверхонь.

Центр допоміжної січної сфери повинний лежати в точці перетину осей поверхонь.

Для спрощення графічного розв’язання необхідно, щоб площина, утворена осями поверхонь обертання, була паралельна до якої-небудь площини проекцій.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину конічної і циліндричної поверхонь обертання з перетинними осями (рис.14).

Побудуємо довільну сферу радіуса R₁ з центра O(O₂), що на кресленні зобразиться колом з центром O₂. Ця сфера соосна як з однією, так і з другою поверхнею, а тому вона перетне їх по колах.

Позначемо кола перетину, зображені на кресленні відрізками прямих, відповідно як a₂ і b₂.

В перетинанні кіл одержимо точку 2₂, що належить обом даним поверхням і, отже, до шуканої лінії перетину. Проекції таких точок є точками перетину проекцій кіл.

Змінюючи радіус допоміжної сфери і виконуючи аналогічні побудови, одержимо інші проміжні точки лінії перетину поверхонь.

Перед тим як проводити кола, що зображують довільні сфери, потрібно з'ясувати розміри радіусів найбільшої та найменшої сфер, придатних для розв’язання даної задачі. Для цього треба визначити точки перетину окреслювальних утворюючих поверхонь. Відрізок, що представляє відстань найбільш віддаленої проекції точки (12) від проекції центра (O₂), буде радіусом найбільшої сфери. Для визначення радіуса найменшої сфери потрібно з точки O₂ провести дві нормалі до окреслювальних ліній поверхонь. Визначивши точки перетину N₂ і N’₂ нормалей з окреслювальними лініями, потрібно взяти більший із двох отриманих відрізків. Якщо взяти як радіус допоміжної сфери менший відрізок, то одна з даних поверхонь з такою сферою не перетнеться.

Таким чином, сфера мінімального радіуса повинна до більшої поверхні поверхні, перетинаючи меншу. Максимальний радіус сфери --це відстань від центра сфери до найбільш віддаленої точки перетину окреслень поверхонь.