Умова паралельності прямих:

Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх дві проекції паралельні.

Умова перетину прямих:

Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх три проекції перетинаються, і точки перетину цих проекцій лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

У загальному випадку досить двох проекцій. Для профільних прямих необхідно три проекції, або досить дві, але серед цих двох повинна бути профільна проекція.

Умова схрещування двох прямих:

Прямі схрещуються тоді і тільки тоді, коли проекції цих прямих у загальному випадку перетинаються, але точки перетину цих проекцій не лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

Окремі випадки схрещування прямих можуть мати пари паралельних проекцій. Для профільних прямих тільки третя (профільна) проекція характеризує їхнє взаємне положення.

Паралельні прямі

загального положення

Перетинні прямі

загального положення

Перехресні прямі

загального положення

Паралельні профільні прямі

Перехресні профільні прямі

Р озглянемо зображення загальних і окремих випадків взаємного розташування прямих на кресленні Г. Монжа.

Рис. 1

Варто розглянути ці випадки і запам'ятати так, щоб по виду проекцій можно було розрізняти паралельні, перетинні та перехресні прямі, а також могти зобразити такі прямі, тобто необхідно засвоїти першу і другу задачі курсу нарисної геометрії, виділених на початку першої лекції, по взаємному розташуванню двох прямих розташованих у просторі.

1.2.2. ПРОЕКЦІЇ КУТА. ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОГО КУТА

Кут не спотворюється на площині проекцій у тому випадку, якщо сторони, що утворюють його, паралельні до цієї площини проекцій. Для прямого кута умови менш жорсткі, досить паралельності цій площині проекцій тільки однієї сторони кута, а друга сторона кута може, при цьому, займати будь-яке положення, аби вона не проектуіювалася в точку.

Рис. 2

1.2.3. СПОСІБ КОНКУРУЮЧИХ ТОЧОК ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ВИДИМОСТІ

НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Т

Горизонтально конкуруючі Фронтально конкуруючі Профільно конкуруючі

точки А і В точки С і D точки M і N

Рис. 3

очки називаються конкуруючими, якщо їх проекції збігаються тільки на одній із площин проекцій. У залежності від того, які проекції збігаються, існують горизонтально, фронтально і профільно конкуруючі точки.

Конкуруючі точки на одній із площин проекцій зливаються в одну точку. Одна з точок, що зливаються, обов'язково знаходиться зверху, залишаючись видимою при розгляданні конкуруючих точок уздовж їхньої проекційної лінії на площині конкурування (у нашому випадку: точка А видима наП₁; точка С видима на П₂; точка М видима на П₃).

За допомогою конкуруючих точок дуже зручно визначати видимість ребер багатогранника, тому що немає необхідності представляти в просторі багатогранник, а досить вибрати конкуруючі точки на підозрілих (по видимості) ребрах багатогранника і застосувати розроблене правило.

Приклад.Задано чотири вершини тетраедра

SАВС (рис. 4) на кресленні Г. Монжа. Оформити креслення з урахуванням видимості ребер.

Оформлення видимості на г. п. п. П₁:

Окреслення поверхні тетраедра завжди бачимо, отже, його обводимо контурною замкнутою ламаною лінією А₁В₁S₁C₁A₁. Невидимим на горизонтальній площині проекцій П₁ може бути тільки одне з ребер ВС або АS. На цих ребрах є дві конкуруючі точки (точка 1 на ребрі AS і точка 2 на ребрі ВС). Оскільки точка 2 на П₁ невидима і належить ребру ВС, то В₁С₁ проводимо штриховою лінією, А₁S₁ – суцільною основною.

Оформлення видимості на ф.п. п. П₂:

Окреслення А₂В₂С₂S₂A₂ наводимо суцільною основною лінією. На двох ребрах, що залишилися, АС і BS вибираємо дві конкуруючі точки 3 і 4 (3BS, 4AC). З двох конкуруючих точок 3 і 4, точка 4 має меншу глибину, отже, ребро АС, якому належить точка 4, на П₂ буде невидимим. Проекцію А₂С₂ проводимо штриховою лінією.

1.2.4. ЗАДАННЯ ПЛОЩИНИ.

Як відзначалося раніше (лекція 3), площина визначається симплексом (три не приналежні одній прямій точки) і алгоритмом задання поточної її точки. У нарисній геометрії прийнято три точки з'єднувати в трикутник, а поточну точку площини будувати за допомогою прямих приналежних площини (рис. 5).

Точка М (М₁, М₂) у площині трикутника АВС будується за допомогою прямої А1. Точка А належить площині АВС, як вершина цього трикутника, точка 1 - як приналежна прямій СВ. Тоді вся пряма А1 із усіма її точками (включаючи М) належить площині. На практиці для побудови проекцій М  АВС одна з проекцій (наприклад М₁) або вибирається довільно, або за умовою задана, другу проекцію (у нашому випадку М₂) графічно будують за допомогою наступного алгоритму.

Графічний алгоритм побудови відсутньої проекції точки, що належить площині.

1. Через задану проекцію (наприклад М₁) шуканої точки М проводиться довільна допоміжна пряма так, щоб дві її точки належали геометричним елементам, що визначають задану площину, (у нашому випадку точка А і точка 1 ВС).

2. Визначається друга проекція допоміжної прямої (на рис.5 - А₂1₂).

3. По лінії проекційного зв'язку, на проекції побудованої в п.2 фіксується шукана відсутня проекція точки приналежної площині.

Слід зазначити, що вибір допоміжної прямої п.1 алгоритму довільний, а шукана точка площини при цьому визначається однозначно.

Площина в інженерній практиці може ще визначатися:

1. Не тільки трикутником, але і будь-якою плоскою фігурою.

2. Прямою і точкою, не приналежною прямїй.

3. Двома паралельними або перетинними прямими.

Розв'язання багатьох задач із площинами значно спрощується в тому випадку, якщо прямі, що визначають площину, є лініями рівня або що проеціюються. Нарисна геометрія особливо виділяє два випадки задання площини:

1. Лініями рівня – перетинні горизонтальні та фронтальні прямі.

2. Слідами – лінії рівня, що належать площинам проекцій.

1.2.5. ГОЛОВНІ ЛІНІЇ ПЛОЩИНИ

У площині знаходиться двохпараметрична множина прямих, серед яких нарисна

геометрія виділяє як головні:

1. Горизонталь h площини – горизонтальна пряма, що належить площині.

2. Фронталь f площини – фронтальна пряма, що належить площині.

3. Лінія найбільшого нахилу до П₁  лінія схилу площини – лінія, що належить площині і перпендикулярна її горизонталям.

4. Лінія найбільшого нахилу до П₂ – лінія, що належить площині і перпендикулярна фронталям площини.

Г

Горизонталь h площини (АВС) Фронталь f площини (a b)

Лінія схилу u(u_1, u₂) площини (m, A) Лінія найбільшого нахилу 12 площини

(f^,h^) до площини проекцій П₂

Рис. 7

3₂

оризонталь і фронталь площини настільки часто зустрічаються в нарисній геометрії при розв'язанні практичних задач, що одержали не тільки власні імена, але й особливі літерні позначення:h і f.

Лінії найбільшого нахилу спільно зі способом прямокутного трикутника дуже зручно використовувати для визначення кута нахилу площини до площин проекцій.

Задача. Визначити кут нахилу площини, заданої слідами, до горизонтальної площини проекцій П₁.

Р

1₁

2₁

Рис. 8

озв'язання задачі (рис. 8) представлено для різних варіантів положення площини (h^, f^).

Причому 1₁2₁  h^; знаками ,  зазначені довжини катетів проти яких у прямокутному трикутнику визначений шуканий кут φ.

1.2.6. ПЛОЩИНИ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ

Площини, як і прямі щодо площин проекцій можуть займати окреме положення. Розрізняють два види площин окремого положення:

1. Площини рівня:

• Горизонтальна площина;

• Фронтальна площина;

• Профільна площина.

2. Площини, що проекціюються:

• Горизонтально-проекціююча площина;

• Фронтально-проекціююча площина;

• Профільно-проекціююча площина.

Визначимо ці площини трикутником і зобразимо їх проекції. Відзначимо, що будь-які плоскі фігури, розташовані в площині рівня, не спотворюються на відповідній площині проекцій. Отже, для визначення натуральних величин плоских фігур необхідно їх розташувати в положення площини рівня. Площини, що проекціюються, спотворюються на площинах проекцій, але вони так само дуже корисні для розв'язання практичних задач по двох основних причинах:

1. Можна простим виміром визначити кут нахилу проекціюючої площини до площини проекцій.

2. Усе, що знаходиться в проекціюючої площині, проекціюється на відповідну площину в пряму лінію (збірна властивість проекціюючої площини).

Нами розглянута (рис. 9) не нескінчена площина, а трикутний її відсік АВС. На практиці приходиться часто мати справу з фігурами розташованими у не обмеженій відсіком площині. Для задання такої площини досить однієї її проекції-лінії (рис. 10).

Вправи по багатограннику (див. Пункт 1.1.4).

• Виконати аналіз взаємного положення ребер багатогранника.

• Виконати аналіз граней цього багатогранника.

• Відзначити натуральні відстані і кути між геометричними формами в багатограннику.

1.3. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ І ДВОХ ПЛОЩИН

1.3.1. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН