1.1. Комплексне креслення точки і прямої

1.1.1. КООРДИНАТИ І ПРОЕКЦІЇ ТОЧОК. ЕПЮР (КРЕСЛЕННЯ) Г. МОНЖА

У

Рис. 2

Декартової системі координат OE₁E₂E₃ (рис.1) точка А(x,y_,z) визначається трьома дійсними числами x_, y_, z, що називаються координатами точки А. Одиничний відрізок ОЕ₁ визначає вісь абсцис ОХ, одиничний відрізок ОЕ₂ визначає вісь ординат OY, а одиничний відрізок ОЕ₃ – вісь аплікат OZ. Якщо на осях побудувати прямокутний паралелепіпед з орієнтованими сторонами, рівними координатам точки, то його вершина, протилежна початку координат О, визначить цю точку А.

Унарисній геометрії частіше використовуються не координати, а проекції точок (рис. 2) на три взаємо-перпендикулярні площини проекцій П_1, П₂, П₃. Ці площини називаються:

• Горизонтальна площина проекцій – П₁.

• Фронтальна площина проекцій – П₂.

• Профільна площина проекцій – П₃.

Проекції точки А на ці площини проекцій одержали відповідні найменування:

• А₁ – горизонтальна проекція точки А.

• А₂ – фронтальна проекція точки А.

• А₃ – профільна проекція точки А.

Щоб мати можливість використовувати в нарисній геометрії не тільки графічні, але й обчислювальні методи, зручно за горизонтальну площину проекцій П₁ прийняти координатну площину OXY, за П₂  OXZ, за П₃  OYZ. Тоді точка А і її проекції А₁, А₂, А₃ визначаються декартовими координатами:

Точку однозначно визначають три її координати. Оскільки будь-яка пара проекцій точки містить у собі всі три координати, то справедливо, важливе для нарисної геометрії, твердження:

СИСТЕМА ДВОХ ПРОЕКЦІЙ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНО ВИЗНАЧАЄ ЇЇ ПОЛОЖЕННЯ В ПРОСТОРІ, ПРИЧОМУ ОДНА З КООРДИНАТ ЗАГАЛЬНА ДЛЯ ДВОХ ПРОЕКЦІЙ.

З

Рис. 3

’єднавширис. 1 і рис. 2 в один рис. 3, одержимо просторовий взаємозв'язок точки, її проекцій і координат. Три взаємо-перпендикулярні координатні площини, а з ними три нескінченні площини проекцій П₁, П₂, П₃ поділяють простір на вісім частин, що називаються октантами. З отриманого нами твердження, можна зробити висновок, що нарисна геометрія може використовувати не три, а дві площини проекцій П₁ і П₂. Дві площини проекцій поділяють простір на чотири частини, що називаються чвертями або квадрантами. Точка А (рис. 3) знаходиться в першій чверті, суміжні з нею – друга чверть (за фронтальною площиною П₂) і четверта чверть (під горизонтальною площиною проекцій П₁). Третя чверть симетрична першій відносно осі ОХ.

Координата у_А відображає віддалення точки А від фронтальної площини проекцій і називається глибиною точки А, z – відображає висоту точки А. Точка А₁₂ ОХ, що визначає абсцису точки, а також орієнтовані глибина і висота, що визначають ординату і аплікату цієї точки, відіграють особливу роль у нарисній геометрії. Вони утворюють епюр (креслення) Гаспара Монжа – систему двох сполучених уздовж осі ОХ координатних площин проекцій П₁і П₂.

П

Рис. 4

ри сполученні площин проекцій П₁ і П₂ обертанням навколо осі абсцис, осі OY і OZ зливаються в загальну пряму лінію, але мають різні напрямки (рис. 4). Ланки А₁₂А₁ і А₁₂А₂ координатної ламаної утворюють пряму А₁А₂ перпендикулярну осі ОХ, що називається лінією зв'язку. Плоске креслення, що складається з горизонтальної А₁ і фронтальної А₂ проекцій точки А, розташованих на лінії зв’язку А₁А₂, перпендикулярної осі проекцій ОХ  х₁₂ має ім'я засновника нарисної геометрії Г. Монжа (рис. 5).

Рис. 5

Монж Гаспар (10.5.1746 – 28.7.1818) – французький геометр і суспільний діяч, чл. Паризької АН (1780). Творець нарисної геометрії, один із творців Політехнічної школи в Парижі. Народився у Бон Кот-д'Ор. Тут закінчив міське училище, а також школу військових інженерів у Мезьере. У 1768 Монжа призначають професором математики, а в 1771 – і професором фізики в цій школі. З 1780 він викладає гідравліку в Луврскій школі (Париж). В ці роки вчений займається математичним аналізом, хімією, метеорологією, практичною механікою. У період Французької буржуазної революції Монж працював спочатку в місії по встановленню нової системи мір і ваг, а потім морським інженером і організатором національної оборони. Під час Директорії Монж зблизився з Наполеоном, брав участь у його поході в Єгипет і створенні в Каїрі Єгипетського інституту (1798). Монж одержав всесвітнє визнання, створивши (70-і роки) сучасні методи проекційного креслення і його основу – нарисну геометрію. Однак головний його здобуток з цих питань – “Нарисна геометрія” – було опубліковано в 1799. Важливі відкриття зробив Монж і в диференціальній геометрії. Перші його роботи про рівняння поверхонь були опубліковані в 1770 і 1773. У 1795 і 1801 вийшли у світ його роботи про кінцеві і диференціальні рівняння різних поверхонь. У 1804 була видана велика книга за назвою “Застосування аналізу до геометрії”. У ній Монж розглядав циліндричні та конічні поверхні, утворені рухом горизонтальної прямої, що проходить через фіксовану вертикальну пряму, канальчасті поверхні, поверхні, у яких лінії найбільшого нахилу утворюють постійний кут з горизонтальною площиною, поверхні переносу і т.п. Як додаток до книги вчений дав свою теорію інтегрування рівнянь з частковими похідними 1-го порядку і своє розв’язання задачі про коливання струни. Для кожного з видів поверхонь він вивів спочатку диференціальне, а потім і кінцеве рівняння. Він перший позначив буквами p і q часткові похідні від z по x і y, а буквами r, s і t – похідні другого порядку.

У залежності від того, в якій чверті знаходиться точка, її проекції, розташовані на лінії зв’язку, будуть змінювати своє положення відносно осі х₁₂. По положенню проекцій А₁, А₂ відносно осі, необхідно визначати положення точки А щодо площин проекцій:

• Проекції збігаються і належать осі проекцій  точка належить осі.

• Проекції знаходяться над віссю проекцій  точка в другій чверті.

• Проекції знаходяться під віссю проекцій  точка в четвертій чверті.

• Горизонтальна проекція точки – під віссю, а фронтальна проекція точки – над віссю проекцій  точка знаходиться в першій чверті.

• Горизонтальна проекція точки – над віссю, а фронтальна проекція точки – під віссю проекцій  точка знаходиться в третій чверті.

• Горизонтальна проекція знаходиться на осі  точка належить фронтальної площини проекцій П₂.

• Фронтальна проекція точки – на осі  точка знаходиться на П₁.

Так, по парі проекцій точки, що знаходяться на площині (на аркуші паперу), читають положення точки в просторі (друга задача курсу нарисної геометрії).

І, навпаки, по положенню точки в просторі, зображують її креслення парою проекцій (перша задача курсу нарисної геометрії).

Освоїти перші дві задачі курсу для точки – основна мета вивчаючого курс!

ВПРАВИ:

1. Які чверті при сполученні площин проекцій в одну площину закриваються, а які розкриваються?

2. Якій площині належать точки, проекції яких збігаються?

3. У якій чверті знаходиться точка, координати якої усі негативні?

4. У якій чверті знаходиться точка В, симетрична точці А з першої чверті, відносно х₁₂?

5. Визначити координати точки В, симетричній точці А(20, -10, 30) відносно точки О. У яких чвертях знаходяться точки А і В? Побудувати наочні зображення і епюр Г. Монжа точок А і В.

1.1.2. ЕПЮР ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ, ЙОГО НАТУРАЛЬНА ВЕЛИЧИНА ТА КУТИ НАХИЛУ ПРЯМОЇ ДО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ (СПОСІБ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА).

Х₁₂

Рис. 6

Якщо з'єднати відрізком прямої однойменні (з однаковими індексами) проекції точок А і В (рис. 6), то одержимо проекції прямої АВ:

• горизонтальну проекцію А₁В₁ відрізка АВ,

• фронтальну проекцію А₂В₂ відрізка АВ.

Узагальному випадку проекція відрізка завжди по довжині менше ніж його натуральна величина. Отже, маючи дві проекції відрізка, ми не маємо безпосередньо його натуральної величини. Оскільки дві проекції визначають відрізок, то вони також визначають і його довжину (натуральну величину), що дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника. Один катет такого трикутника дорівнює горизонтальної проекції А₁В₁ відрізка АВ (рис. 6), а другий катет по довжині дорівнює різниці висот кінців цього відрізка. Трикутник з гіпотенузою по довжині рівній натуральній величині відрізка побудувати по його проекціях можна на будь-якому вільному місці креслення. Якщо необхідно визначити н.в. одного відрізка, то трикутник прибудовують до однієї з проекцій (рис. 7), якщо ж спосіб прямокутного трикутника потрібно застосувати багаторазово (визначаються довжини ребер багатогранника і т.п.), то використовують вільне поле креслення.

Зверніть увагу (рис. 7), що трикутник можна добудувати, як до горизонтальної проекції А₁В₁, так і до другого катета (різниці висот).

Для зорової наочності введені знаки:

“▐ ” – довжина горизонтальної проекції А₁В₁;

“╢” – довжина фронтальної проекції А₂В₂;

“≡” – різниця висот точок А і В.

“≈” – різниця глибин точок А і В;

“

Рис. 7

н. в. АВ” – натуральна довжина відрізка АВ;

“α” – кут нахилу прямої АВ до горизонтальної площини проекцій П₁;

“” – кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій.

На (рис. 7) побудовані чотири прямокутних трикутники для побудови величин α, β, н.в. АВ. Спосіб побудови таких величин у нарисній геометрії одержав назву від використаної для цього геометричної фігури – спосіб прямокутного трикутника для визначення довжини відрізка і кутів нахилу прямої до площин проекцій. Це перший спосіб нарисної геометрії, що дозволяє графічно вводити в неї метрику.

1.1.3. СЛІДИ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Слідом прямої на площині називається точка перетину прямої із площиною. Нас будуть цікавити сліди прямої на площинах проекцій П₁ і П₂, щоб можна було описати, як розташовується пряма щодо площин проекцій (через які чверті вона проходить). Такий опис називається аналізом прямої.

Горизонтальним слідом називається точка Н перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій.

Рис. 8

Нехай задана пряма відрізком АВ, на (рис. 8) задані два варіанти її розташування. Потрібно визначити її сліди Н і F, а також виконати аналіз прямої.

Побудова горизонтального сліду Н:

- фронтальну проекцію А₂В₂ прямої АВ про-

довжуємо до осі проекцій, одержуємо Н₂ (фронтальну проекцію горизонтального сліду Н);

- через Н₂ перпендикулярно осі проекцій про-

водимо лінію зв'язку до перетину з А₁В₁, одержуємо Н₁ (горизонтальну проекцію горизонтального сліду)

Фронтальним слідом називається точка F перетину прямої з фронтальною площиною проекцій.

Для прямої АВ (рис. 8) потрібно визначити фронтальний слід (два варіанти розташування прямої).

Побудова фронтального сліду F:

- горизонтальну проекцію А₁В₁ прямої АВ продовжуємо до осі проекцій, одержуємо F₁ (горизонтальну проекцію фронтального сліду);

- через F₁ перпендикулярно осі проекцій проводимо лінію зв'язку до перетину з А₂В₂, одержимо F₂ (фронтальну проекцію фронтального сліду).

Аналіз прямої АВ (перший варіант):

• відрізок прямої АВ між слідами F і Н знаходиться в першій чверті;

• пряма АВ, перетинаючи верхню частину фронтальної площини, іде променем у другу чверть;

• пряма АВ, перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде променем у четверту чверть.

Остаточно аналіз проходження прямої має вигляд:

Пряма, виходячи з другої чверті, перетинає верхню частину фронтальної площини входячи в першу чверть, потім перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде в четверту чверть.

Вправа: Виконати аналіз прямої АВ (другий варіант).

Відповідь: Пряма, виходячи з першої чверті перетинає передню частину горизонтальної площини, входить у четверту чверть, потім перетинає нижню частину фронтальної площини, уходить у третю чверть.

1.1.4. ПРЯМІ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

При зображенні креслень геометричних форм намагаються задати такі її проекції, щоб складові частини цієї форми найменше спотворювалися. У цьому випадку відрізки прямих займають особливе положення відносно площин проекцій (паралельні або перпендикулярні площинам проекцій).

Розрізняють два види прямих окремого положення:

• лінії рівня – прямі паралельні площинам проекцій;

• проекціюючі прямі- прямі перпендикулярні площинам проекцій.

Лінії рівня:

1. Горизонтальна пряма – пряма паралельна горизонтальній площині П₁;

2. Ф

   ронтальна пряма – пряма паралельна фронтальній площині П₂;

3. Профільна пряма – пряма паралельна профільній площині П₃.

Проекціюючі прямі:

1. Пряма, що горизонтально-проекціюється - пряма перпендикулярна горизонтальній площині проекцій П₁;

2. Пряма, що фронтально-проекціюється- пряма перпендикулярна фронтальній площині проекцій П₂;

3. П

   1. p_{2 ≡} н.в. p 2. p₂ 3. A₂ н.в. АВ В₂ А₃≡В₃

   p₁ ≡ н.в. p н.в. АВ

   p₁ А₁ В₁

   ряма, що профильно-проекціюється- пряма перпендикулярна профільній площині проекцій П₃.

Вправа. Скільки ребер містить багатогранник? Які прямі окремого положення визначають ребра багатогранника?

1.2. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ. ПЛОЩИНА

1.2.1. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ

Для того, щоб розрізняти взаємне положення прямих по їх проекціях і мати можливість їх зображувати, варто засвоїти умови їхнього взаємного положення.