3.3.4. Конічні перерізи.

В залежності від положення січної площини відносно конуса, розрізняють наступні види конічних перерізів (рис.3):

1– Еліпс, – січна площина перетинає усі утворюючі конуса, .

2 – Парабола, – січна площина паралельна одній утворюючій конуса, .

3 – Гіпербола, – січна площина паралельна двом утворюючого конуса, .

Передбачається, що в цьому випадку січна площина не проходить через вершину конуса.

Запитання. Що буде являти собою конічний переріз, якщо січна площина проходить через вершину конуса?

Д

Рис.3

ля побудови горизонтальної проекції конічного перерізу необхідно виділити опорні точки перерізу і побудувати їх, як на рис. 2. Отримані точки з'єднуємо плавною лінією – це буде крива 2-го порядку.

5. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ ТА ПОВЕРХНІ.

Для побудови точок перетину прямої лінії з поверхнею застосовується спосіб допоміжних січних площин. Як правило, допоміжна січна площина проводиться безпосередньо через задану пряму. При цьому допоміжну січну площину варто вибрати таким чином, щоб у перетині були найпростіші лінії (прямі лінії або кола).

Розглянемо конкретні приклади.

Побудувати точки перетин прямої лінії з поверхнею конуса. Виявляється, у цьому випадку зручно провести січну площину через задану пряму і через вершину конуса. Така площина перетне поверхню конуса по твірним (якщо пряма перетинає поверхню конуса).

Допоміжна січна площина утворена заданою прямою і вершиною конуса – точкою S. Через довільну точку К прямої і точку S проведемо пряму SК і побудуємо точку G – слід прямої SК в площині основи конуса. Також побудуємо точку H – слід прямої в площині основи конуса. Пряма HG – слід площини на площині основи конуса. Коло основи конуса перетинає пряму в точках 1 і 2. З'єднуючи вершину конуса S із точками 1 і 2, визначимо точки M і N (точки перетину твірних S1 і S2 і заданої прямої) як точки зустрічі прямої з поверхнею конуса. Розв’язання цієї задачі можна також розглядати як результат центрального проекціювання прямої з вершини конуса на площину його основи. Зворотним проекціюванням із точок 1 і 2 одержуємо шукані точки M і N.

Для розв’язання задачі на побудову точок перетину прямої лінії з поверхнею сфери також застосовуємо спосіб допоміжних січних площин. Через пряму проводимо допоміжну січну площину, як правило, що проектуючу. Тому що будь-яка площина перетинає сферу по колу, необхідно застосувати спосіб перетворення комплексного креслення – спосіб заміни площин проекцій або спосіб обертання – для того, щоб одержати натуральну величину фігури перетину і у цій же площині побудувати задану пряму. Шукані точки визначаться в перетині побудованої прямої та кола перетину.

Так, на рис.5 показана побудова точок зустрічі прямої HL зі сферою, виконане способом заміни площин проекцій. Нова вертикальна площина паралельна прямій HL. У цьому випадку нова вісь x₁₄ паралельна прямій H₁L₁.

3.4. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ ЛІНІЇ І ПОВЕРХНІ. АЛГОРИТМ ПОБУДОВИ ТОЧОК ВХОДУ І ВИХОДУ НА ПОВЕРХНЯХ

При перетині поверхні з прямою утворюються точки, які прийнято називати точками протикання поверхні або точками входу та виходу на поверхнях; а пряму – січною прямою або просто січною. Кількість точок протикання залежить від характеру заданої поверхні та положення прямої в просторі.

Загальний алгоритм побудови точок проникання деякої поверхні прямої полягає у наступному:

а) через пряму проводять допоміжну площину;

б) знаходять лінію перетину допоміжної площини з заданою поверхнею;

в) відмічають точки перетину отриманої лінії з даною прямою.

Через пряму можна провести скільки завгодно різних площин. Однак, для спрощення розв’язання задачі необхідно вибрати таку допоміжну площину, щоб лінію перетину її з даною поверхнею можна було будувати як можна простіше.

Розглянемо розв’язання деяких типових прикладів.

3.4.1. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ З ГРАННИМИ ПОВЕРХНЯМИ

Приклад 1. Побудувати точки перетину прямої l загального положення з поверхнею трикутної піраміди.

У загальному випадку пряма лінія може перетинати поверхню багатогранника в одній, двох і більш точках, однак, будь-який опуклий багатогранник не більш ніж у двох точках. Точки перетину прямої з багатогранником ще називають точками зустрічі.

Загальний прийом побудови точок зустрічі прямої з багатогранником заснований на добре знайомій нам першій основній позиційній задачі.

Геометричний алгоритм побудови перетину гранної поверхні прямою лінією.

1. Проводимо через пряму l допоміжну проекціюючу площину (на рис.1 фронтально-проекціюючу).

2. Будуємо лінію перетину піраміди січною площиною (на фронтальній проекції точки перетину 1₂, 2₂, 3₂ збігаються з проекцією площини; на горизонтальній – одержуємо точки 1₁, 2₁, 3₁ на відповідних ребрах і послідовно з'єднуємо їх).

3. Визначаємо точки перетину прямої з контуром перетину (l₁ перетинається з контуром перетину 1₁, 2₁, 3₁, в точках M₁ і N₁, з них проводимо лінії проекційного зв'язку до перетину з l₂, одержуємо M₂ і N₂).

3.4.2. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ З КОНУСОМ

Приклад 2. Побудувати точки перетину прямої з поверхнею конуса.

Геометричний алгоритм побудови точок перетину прямої з поверхнею конуса.

1. Проводимо через прямуl допоміжну площину  (l x m), що проходить через вершину конуса, де m задаємо точками K і S (рис.2).

Ця площина одна з усіх, котрі можна провести через пряму l, перетинає конус по утворюючим.

2. Знайдемо слід допоміжної площини на площині “основи” конуса. Площина “основи” взагалі може бути розташована довільно, а в окремих випадках бути площиною рівня або фіксованою площиною проекцій, в даному прикладі П₁. Слід площини визначений точками M і N (точка M – слід прямої l, точка N – слід довільної прямої m, що лежить у допоміжній площині.

1. Відмічаємо точки 1 і 2 перетину отриманого сліду з контуром основи конуса і проводимо два утворюючі конуси, по яких його розсікає допоміжна площина.

2. В

   Рис.2

   ідмічаємо на утворюючих 1S і 2S точки A і B перетину з даною прямоюl.