3.4.3. Перетин прямої з похилим циліндром

Приклад 3. Побудувати перетин прямої l з поверхнею похилого циліндра.

Геометричний алгоритм побудови точок перетину прямої з поверхнею похилого циліндра

1. П

   ₂

   роводимо через прямуl допоміжну площину  (l x n), паралельно утворюючим циліндра (на прямій l беремо довільну точку K і проводимо через неї пряму n паралельно утворюючій циліндра) (рис.3).

2. Б

   ₁

   удуємо лінію перетину допоміжної площини з поверхнею циліндра (знаходимо лінію перетину площини  із площиною підстави циліндра MN, через точки перетинання 1₁, 2₁ проводимо утворюючі паралельні n₁).

3. Відмічаємо точки A₁ і B₁ перетину цих утворюючих з прямою l₁, що є горизонтальною проекцією шуканих точок; фронтальні проекції A₂ і B₂ знаходимо за допомогою ліній проекційного зв'язку.

Побудови в двох вищерозглянутих прикладах можна тлумачити як рішення способом додаткового проекціювання.

3

Рис.3

.4.4. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ ЗІ СФЕРОЮ

Приклад 4.Побудувати точки перетину прямої l з поверхнею сфери.

Точки перетину сфери з прямою загального положення побудуємо за допомогою заміни площин проекцій, перетворивши пряму в пряму рівня.

Геометричний алгоритм побудови точок перетину прямої з поверхнею сфери.

1. Пряму l (l₁, l₂), що перетинає сферу і займає загальне положення відносно площин проекцій П₁ і П₂, укладемо в допоміжну проекціюючу площину ( ₍1) (рис.4).

2. Введемо нову площину проекцій П₄, паралельну площини  (x₁₄//₁), і на цій площині побудуємо проекцію прямої l₄ і проекцію кола, яке одержимо в перетині заданої сфери площиною .

3. На площині проекцій П₄ знайдемо проекцію шуканих точок M₄ і N₄. Далі за допомогою ліній проекційного зв'язку побудуємо проекції M₁, M₂ і N₁, N₂.

Тема 3.5. Взаємний перетин поверхонь. Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь. Способи побудови лінії перетину поверхонь

При перетині поверхонь утвориться лінія, яку прийнято називати лінією перетину поверхонь. Ця лінія одночасно належить обом поверхням і, в загальному випадку, є просторовою кривою, ступінь складності якої залежить від ступеня складності перетинних поверхонь та їхнього взаємного розташування у просторі. У ряді випадків лінія перетину поверхонь може розпадатися на кілька частин, що, зокрема, можуть бути плоскими кривими, а в окремих випадках – навіть складатися з відрізків прямої. Лінію перетину поверхонь, як і лінію перетину поверхні з площиною, будують по опорних точках. До опорних слід відносити усі характерні точки окреслень поверхонь: точки зломів, екстремальні точки (найбільш високі, низькі і т.п.), точки розташовані на осях симетрії. Що ж стосується додаткових (допоміжних) точок, то їх кількість і розміщення диктується заданою точністю побудови лінії перетину.

Загальний метод побудови точок, що належать лінії перетину поверхонь, полягає в застосуванні поверхонь-посередників.

Сутність методу полягає в наступному.

Нехай задані поверхні  і  (рис.5).

Загальний алгоритм побудови лінії перетину поверхонь

1. Уведемо поверхню-посередник .

2. Знайдемо лінію перетину a поверхні-посередника з поверхнею .

3. Знайдемо лінію перетину b поверхні-посередника з поверхнею .

4. Багаторазово (n раз) повторюючи описану процедуру і змінюючи при цьому положення поверхні посередника , одержимо 2n точок, що належать лінії перетину l заданих поверхонь.

5. З'єднавши отримані точки L_i, M_i, i[1,n] плавної кривої, одержимо шукану лінію перетину l.

Як посередник можуть бути використані різні поверхні або площини, але доцільно вибирати з них такі, котрі дозволяють одержати графічно найбільш прості лінії перетину з заданими поверхнями. Тому найчастіше, як поверхні-посередники, використовують проекціюючі площини, а також концентричні або ексцентричні сфери.

Способи побудови лінії перетину поверхонь у залежності від виду посередника

Відповідно розрізняють:

• спосіб допоміжних площин;

• спосіб допоміжних сферичних поверхонь.

Для способу допоміжних площин варто розрізняти два випадки:

а) використовується система паралельних площин;

б) застосовується допоміжна площина, що обертається.

Аналогічно для способу сферичних поверхонь необхідно виділяти:

а) систему концентричних допоміжних сфер;

б) систему ексцентричних допоміжних сфер.

Для інженерної практики велике значення має наслідок, що випливає з теореми Монжа. Відповідно до цього наслідку дві поверхні другого порядку, описані біля однієї сфери, перетинаються по 2-х плоских лініях. Так, наприклад, на рис.2 еліпсоїд обертання і конус, описані біля сфери, перетинаються по двох еліпсах. Ці еліпси зображені у виді прямих, тому що прийнято, що вісь конуса і велика вісь еліпсоїда паралельні площині проекцій.

Якщо хоча б одна з перетинних поверхонь лінійчата (тобто має прямолінійні утворюючі), то лінію перетину можна будувати, відшукуючи точки перетину утворюючої цієї поверхні з іншої поверхнею. Зокрема, такий прийом можна застосувати і при побудові лінії перетину багатогранника з кривою поверхнею.

3.5.1. СПОСОБИ ПЛОЩИН-ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ПОБУДОВІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПОВЕРХОНЬ

Спосіб проекціюючих площин-посередників застосовується, коли обидві задані поверхні можна одночасно перетнути сімейством проекціюючих площин по графічно простих лініях.

Загальний алгоритм побудови лінії перетинання поверхонь на основі способів площин-посередників полягає в наступному:

1. Підберемо метод розв’язання задач. Це значить виберемо фронтальні або горизонтальні площини в якості допоміжних паралельних площин так, щоб у перетині з кожною з заданих поверхонь були такі лінії, як прямі або коло.

2. Способом, що був описаний у попередній лекції, визначимо безліч точок одночасно належних двом поверхням. Побудову лінії перетину починають з визначення опорних точок. Опорні точки майже завжди дозволяють бачити, в яких межах потрібно змінювати положення допоміжних січних площин для побудови проміжних точок.

3. Через отримані точки проведемо лінію перетину. З'єднаємо точки плавної кривої по лекалу.

4. Визначимо видимість лінії перетину, спираючись на опорні точки, оформимо креслення з урахуванням видимості.

Реалізацію запропонованого порядку роботи з побудови лінії перетину поверхонь розглянемо на конкретних прикладах.

3.5.1.а. СПОСІБ ГОРИЗОНТАЛЬНИХ СІЧНИХ ПЛОЩИН

Приклад 1. Побудувати проекції лінії перетину прямого кругового конуса з наскрізним отвором (рис.7).

Геометричний алгоритм розвязання прикладу 1 способом горизонтальних січних площин

1. Використовуємо сімейство січних горизонтальних площин рівня для побудови горизонтальної проекції l₁ лінії перетину. Тоді точки, що належать лінії перетину, будуть визначатися на перетинанні паралелей із прямими, по яких обране сімейство площин буде перетинати задані поверхні. Так, наприклад, січна площина l₂ перетинає конус по колу a, а внутрішню призму – по фронтально-проекціюючих прямих b і c, що проходить через точки 5, 11 і 6, 12. Ці точки належать лінії перетину прямих b, c з колом a.

2. За опорні приймемо точки 1, 2, 3, 7, 8, 9, а за додаткові – довільні точки. Оскільки всі ці точки належать поверхні конуса, ті їх горизонтальні проекції визначимо за допомогою горизонтальних січних площин рівня.

3. Визначимо видимість лінії перетину.

Г

Рис.3

оризонтальною межою видимості для лінії перетину є екватор (основа) конуса. Тому уся горизонтальна проекціяl лінії перетину є видима.

Фронтальною межою видимості є лінії головного меридіана конуса, тому на фронтальній площині проекцій П₂ видимою буде тільки передня частина лінії перетину.

Приклад 2.Побудувати проекції лінії перетину півсфери та прямого кругового конуса (рис.8).

Геометричний алгоритм розв’язання прикладу 2 способом горизонтальних січних площин

1. Використовуємо, як посередників, горизонтальні площини рівня: вони будуть перетинати обидві поверхні по колах, в перетині яких і будуть знаходитися точки, які належать лінії перетину.

2. Визначимо опорні точки, у якості яких виступають, у даному випадку, тільки екстремальні по висоті точки. Оскільки обидві поверхні мають загальну площину симетрії, паралельну фронтальній площині проекцій П₂, то їх головні меридіани перетинаються в точці 5, що і є самою високою точкою лінії перетину поверхонь. Її фронтальна проекція 5₂ буде знаходитися в перетині фронтальних окреслень заданих поверхонь, а горизонтальна проекція 5₁ – на горизонтальній проекції загальної площини симетрії. Тому що основи заданих поверхонь належать однієї і тієї ж горизонтальної площини, то вони перетинаються в точках 1 і 9, що є самими низькими точками лінії перетину заданих поверхонь. Їх горизонтальні проекції 1₁ і 9₁ будуть знаходитися на горизонтальних проекціях основ півсфери і конуса, а фронтальні проекції 1₂ і 9₂ – на фронтальній проекції цих основ.

3. Визначимо додаткові точки, використовуючи кілька площин посередників, розташованих рівномірно по висоті між опорними точками 5₂ і 1₂9₂. Площина-посередник I, наприклад, перетинає обідві поверхоні, відповідно, по паралелях a і b, що, в свою чергу, перетинаються в точках 4 і 6. При цьому спочатку визначимо горизонтальні проекції 4₁ і 6₁ цих точок, як результат перетину горизонтальних проекцій a₁ і b₁ паралелей a і b, а потім – їх фронтальні проекції 4₂ і 6₂. Аналогічно, визначимо додаткові точки 2 і 8, а також 3 і 7.

4. Визначимо видимість лінії перетину.

Горизонтальною межею видимості для лінії перетину є лінія основ півсфери і конуса. А оскільки вся лінія перетину l знаходиться вище цієї межі, те вся горизонтальна проекція l₁ буде видимою.

Фронтальною межею видимості для лінії перетину буде лінія головних меридіанів заданих поверхонь, а тому що частина лінії перетину від точки 1 до точки 5 знаходиться перед цією межею, те фронтальна проекція цієї частини лінії перетину буде видимою.

3.5.1.б. СПОСІБ ФРОНТАЛЬНИХ СІЧНИХ ПЛОЩИН

Приклад 3.Побудувати лінію перетину півсфери і прямої трикутної призми (рис.9).

Оскільки призма займає фронтально-проекціююче положення, то фронтальнапроекція 1₂ лінії перетину l півсфери призмою відома: вона збігається з фронтальним окресленням призми.

Геометричний алгоритм розв’язання прикладу 3 способом фронтальних січних площин

1. Використовуємо, як посередників, фронтальні площини рівня. Тоді точки, що належать лінії перетину, будуть визначаться на перетині півкіл із прямими, по яких обране сімейство площин буде перетинати задані поверхні.

2. Приймемо, як опорні точки  точки зломів, екстремальні по висоті точки і точки головного меридіана на півсфері.

Січна площина I перетинає півсферу по півколу a, горизонтальна проекція якої збігається з горизонтальним окресленням призми. Січну площину II проводимо через ребро призми, перетинаючи півсферу по півколу b, що у свою чергу перетинається з ребром призми в точці 2.

Для задання найвищих точок лінії перетину поверхонь, опустимо перпендикуляри з проекції O₁ центра півсфери на відповідні проекції горизонтально-проеціюючих граней призми. Через отримані горизонтальні проекції 3₁, 4₁ проведемо горизонтальні сліди фронтальних площин-посередників III і IV.

Січна площина III перетинає грань призми по фронтально-проекціюючий прямій, що проходить через точку 3, а півсферу по півколу c, фронтальні проекції яких, в свою чергу, перетинаються в точці 3₂. Аналогічно одержуємо фронтальну проекцію точки 4.

Січна площина V проходить через головний меридіан півсфери, перетинаючи при цьому призму по горизонтально-проеціюючих прямих, що проходять через точки 5 і 6. Фронтальні проекції 5₂ і 6₂ будуть знаходитися на перетині фронтальних окреслень півсфери і ліній перетину січної площини з гранями призми.

Основи заданих поверхонь належать площини П₁ і тому вони перетинаються в точках 1, 6, 5, що є самими низькими точками лінії перетину заданих поверхонь. Їхні горизонтальні проекції 1₁, 7₁, 8₁ будуть знаходитися на горизонтальних проекціях основ півсфери і призми, а фронтальні проекції 1₂, 7₂, 8₂ – на фронтальній проекції основ.

3. Визначення видимості.ронтальною межею видимості є лінії головного меридіана півсфери. Тому на фронтальній площині проекцій повинна бути видимої тільки частина лінії перетину, розташована перед фронтальним меридіаном. Таким чином, на фронтальній площині проекцій П₂ будуть видимі частини лінії, обмежені точками 5, 2 і 2, 6.

3.5.1.в. СПОСІБ ПРОЕКЦІЮЮЧИХ ПЛОЩИН

Приклад 4. Побудувати проекції лінії перетину тригранної піраміди і призми (рис.10).

Геометричний алгоритм розв’язання прикладу 4 способом проєктуюцих площин

1. Використовуємо для розв’язання задачі сімейство фронтально-проекціюючих площин, рівнобіжних ребрам призми. Кожна з цих площин буде перетинати піраміду по трикутнику і точки лінії перетину будуть визначатися на перетині цього трикутника з ребром призми.

2. Задамо опорні точки лінії перетину.

Нехай фронтально-проекціююча площина I перетинає піраміду по трикутнику 123. Тоді горизонтальні проекції K₁ і K’₁ точок перетину K і K’ піраміди ребром призми EE’ будуть знаходитися на перетині горизонтальної проекції 1₁2₁3₁ трикутника 123 з горизонтальною проекцією E₁E’₁ ребра EE’, а фронтальні проекції K₂ і K’₂ цих точок можна знайти, використовуючи властивість належності.

Аналогічно визначимо точки L, L', M, М' лінії перетину призми з пірамідою. З'єднавши отримані точки прямими, лінію перетину.

2. Визначимо видимість лінії перетину.

Оскільки усі відрізки, що складають частини лінії перетину, належать як граням призми, так і граням піраміди, то їхня видимість цілком визначається видимістю цих граней. Так, на горизонтальній площині проекцій усієї грані піраміди видимі, а з граней призми невидима тільки одна – DD'F'. Тому на горизонтальній площині проекцій невидимі тільки відрізки L₁M₁ і L’₁M’₁, що належать лінії перетину.

На фронтальній площині проекцій видимими є дві грані піраміди – ASB і BSC, а також одна грань призми – ЕЕ'F'. Тому видимими будуть тільки відрізки K₂L₂ і K’₂L’₂, що належать цій грані призми.

Задача по побудові лінії перетину граних поверхонь, коли одна з них є проекціюючою, вирішується зовсім просто: по точках перетину ребер одного багатокутника з гранями іншого – спосіб ребер; або по лініях перетину граней одного багатокутника з гранями іншого – спосіб граней.

3.5.2. СПОСІБ СФЕР ПРИ ПОБУДОВІ ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ПОВЕРХОНЬ ОБЕРТАННЯ