Умова паралельності прямої і площини:

Задана пряма паралельна заданій площині тоді і тільки тоді, коли в цій заданій площині існує пряма, паралельна заданій прямій.

На підставі цієї умови розв'язуються задачі зв'язані з паралельністю прямої і площини. Розглянемо приклади:

Задача 1. Через пряму а провести площину (а  ) паралельну заданій прямій m.

Аналіз задачі:

Зумови задачі випливає, що розв'язання її зводиться до побудови деякої прямоїb. Далі, з умови паралельності прямої і площини, випливає, що шукана площина повинна містити пряму рівнобіжну m. Отже, розв'язання задачі зводиться до проведення прямої b  m (b₁m₁, b₂m₂), що перетинає a у деякій довільній точці Аа (рис. 1а).

Розв'язання задачі 1 (рис. 1а).

1. На одній із проекцій прямої а (наприклад на а₂) вибираємо точку (див. на рис. т. А₂).

2. В точці перетину лінії проекційного зв'язку з проекцією a₁ прямої a знаходимо А₁

3. Через точку А(А₁, А₂)  а(а₁,а₂) проводимо пряму b(b₁, b₂) паралельну прямій m (b₁ m₁, b₂ m₂).

4. Шукана площина (а  b) паралельна прямій m тому, що вона містить пряму b  m.

Задача 2. Перевірити, чи паралельна площина (АВС) прямій n, (рис. 1б).

Аналіз задачі:

Перевірка прямої n на паралельність площині (АВС) відповідно до умови пара-лельності прямій і площини зводиться до знаходження в площині  прямій с паралельній прямій n.

1.3.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ

ДВОХ ПЛОЩИН

Умова перпендикулярності прямої площини в просторі

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ В ПРОСТОРІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ВОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВОМ ПЕРЕТИННИМ ПРЯМИМ ЦІЄЇ ПЛОЩИНИ.

На підставі цієї умови в попередній лекції нами розроблена

Умова перпендикулярності прямої і площини на кресленні

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ, ЯКЩО ЇЇ ГОРИЗОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ГОРИЗОНТАЛІ, А ЇЇ ФРОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ФРОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ФРОНТАЛІ.

Ця умова легше сприймається в символічній формі запису:

d    (d₁  h₁) + (d₂  f₂).

Умова перпендикулярності двох площин

ДВІ ПЛОЩИНИ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ОДНА З ЦИХ ПЛОЩИН МІСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ІНШОЇ ПЛОЩИНИ.

Ця умова є конструктивною, вона дозволяє розв’язувати практичні задачі пов’язані з перпендикулярними площинами.

Задача 3. Визначити чи перпендикулярні площини, сліди яких взаємно перпендикулярні.

Відповідь: ні, такі площини не перпендикулярні. Для доказу цього твердження з точки перетину слідів однієї з площин (рис. 2) проведемо пряму d перпендикулярну іншій площині. Проекції d₁, d₂ збігаються зі слідами h^, f^ , а це означає, що площина  не містить прямої d   і, за умовою перпендикулярності двох площин випливає запропонована негативна відповідь.

Задача 4. Через пряму а провести площину (а  ?) перпендикулярну площині (АВС).

П

f^ f^ 90 f₂

d₂ a₂ d₂ 1₂ C₂

2₂ h₂

90 A₂

B₂

C₁

2₁

90 1₁ B₁ f₁ d₁ d₁

h^ h^ a₁ 90

A₁ До задачі 4

h₁ (a  d)   (ABC) До задачі 3 (h^, f^) ні  (h^, f^)

Рис. 2

рямаd, що повинна визначити площину (а  d) може збігатися з перпендикуляром до заданої площини (АВС).

1.3.3. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Цей розділ займає особливе (центральне) положення в нарисній геометрії, насамперед тому, що задача, що буде поставлена і розв’язана настільки важлива в практичних додатках, що одержала власне найменування “Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії”. З іншого боку, при розв’язанні цієї задачі нами вперше буде застосований один із двох основних методів нарисної геометрії “Метод посередників”.

Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії:

ПОБУДУВАТИ ТОЧКУ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

Пряма і площина, відносно одне одного, можуть займати кожне з трьох положень. Пряма, або належить, або паралельна або перетинає площину. Для визначення того, яке з цих положень має місце в конкретному випадку, а також визначення точки перетину прямої і площини, якщо така існує, використовується спосіб площин-посередників. Сутність способу полягає в наступному:

• Будується допоміжна площина-посередник, утримуюча задану пряму.

• Визначається лінія перетину площини-посередника з заданою площиною.

• Далі проводиться аналіз взаємного положення двох прямих ліній (заданої прямої і отриманої лінії перетину). У результаті цього аналізу з'ясовується, який із трьох випадків має місце:

1. Якщо ці лінії збігаються, то задана пряма належить заданій площині.

2. Якщо ці лінії паралельни, то задана пряма паралельна заданій площині.

3. Я

   С₂ С₂ С₂

   N₂

   2₂ M₂ N₂ 1₂ 2₂ N₂ 1₂ 2₂

   1₂ M₂ M₂

   ₂ B₂ ₂ B₂ ₂ B₂

   A₂ A₂ C₂ A₂ C₂

   C₂

   1₁ M₁

   1₁ 2₁ M₁ 2₁ N₁ 1₁ 2₁

   N₁

   A₁ A₁ B₁ B₁

   A₁

   1. MN  (ABC) 2. MN  (ABC) M₁

   3. MN  (ABC) N₁

   Рис. 3

   кщо ці лінії перетинаються, то точка їх перетину є точкою перетину заданої прямої і заданої площини.

На (рис. 3) графічно зображені ці три випадки для площини (АВС) і прямої МN.

Почнемо з складання плану (послідовності) її розв’язання:

1. Через пряму проводимо допоміжну площину-посередник (зручніше проекціюючу).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини з заданою.

3. Відзначаємо точку перетину знайденої лінії перетину з заданою прямою.

4. За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість прямої

Н

Рис.4

а (рис 4) графічно відбиті етапи 1 – 4 визначення точки перетину відсіку площини АВСD і прямої m.

ПЕРЕТИН ДВОХ НЕПРОЗОРИХ ПЛАСТИН.

Першу основну позиційну задачу курсу нарисної геометрії зручно використовувати при побудові відрізка перетину двох непрозорих пластин. Для цього необхідно:

• Вибрати в одному з заданих плоских відсіків відрізок (найчастіше він входить у задання цього відсіку).

• Визначити точку перетину обраного відрізка з іншим відсіком. Якщо знайдена точка перетину знаходиться поза відрізком, то (як правило) повертаються до попереднього пункту (вибирають іншу пряму в першому відсіку). Якщо жоден з відрізків першого відсіку площини не перетинає другий відсік площини, то робимо висновок, що вони не перетинаються (площини перетинаються поза відсіками або паралельні).

• Визначити, таким способом, дві точки. За допомогою двох точок лінії перетину площин визначаємо відрізок перетину відсіків.

• За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Оформляємо креслення з урахуванням видимості.

Розглянемо приклад розв’язання задачі для побудови відрізка перетину двох трикутних пластин.

Точка М(М₁, М₂) перетину відрізка АВ  (АВС) із площиною (DEF) визначена за допомогою площини-посередника (₂). Точка N(N₁, N₂) перетину відрізка EF (DEF)

з площиною (АВС) визначена за допомогою площини-посередника (₁). Відрізок MN визначає лінію перетину непрозорих трикутних відсіків АВС і DEF.

1.3.4. СПОСІБ ПЛОЩИН - ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ВИЗНАЧЕННІ ЛІНІЇ

ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

У випадку, коли задані не плоскі пластини, а нескінченні площини говорять не про перетин площин по відрізку, а по прямій лінії. Пряму визначають будь-які її незбіжні точки, причому ці точки не обов'язково повинні належати прямим, що визначають площину.

У цьому випадку застосовується спосіб площин-посередників у самому загальному вигляді.

Алгоритм побудови лінії перетину двох площин способом площин посередників:

1. Задані площини  і  розсікаємо допоміжною площиною посередником  (зручніше щоб  на одній із площин проекцій проекціювалася в пряму лінію).

2. Визначаємо лінію перетину площини  і площини  (для спрощення виконання цього пункту і було запропоновано використовувати площину окремого положення, як посередника ).

3. Будуємо лінію перетину другої заданої площини  з посередником  (випадок, коли посередник  проходить через одну із прямих площини , ми мали при побудові лінії перетину непрозорих пластин).

4. Відзначаємо точку перетину знайдених у пп. 3, 4 ліній перетину заданих площин  і  з посередником  (може виявитися, що лінії перетин паралельни, але площини не обов'язково паралельни). Можно просто довести, що отримана точка одночасно належить  і , а отже є лінією їх перетину.

5. Аналогічно за допомогою ще одного посередника  визначають другу точку, що належить шуканій лінії перетину (зручно, якщо одна точка лінії перетину визначена за допомогою посередника , вибирати   ).

6. З'єднуємо побудовані точки прямою лінією перетину площин. Видимість, при цьому, не визначається, тому що нескінченні площини не передбачаються непрозорими.

На (рис. 6) зображений наочний схематичний рисунок, що може бути корисним для запам'ятовування алгоритму побудови лінії перетину площин, а також практичний приклад визначення лінії

 M 4  a₂ b₂ f^₂

2  1₂

₂ 3₂

1 2₂ M₂

3 ₂ 5₂ N₂ 7₂

6 N 8 6₂

5 X₁₂ f^₁  h^₂

7 3₁

1₁ 7₁

5₁



a₁

2₁ M₁

b₁ 6₁

h^₁

N₁

Спосіб площин-посредников при побудові лінії

перетину MN площин  і . Рис. 6

MN=(a  b)  (h^  f^).

1.3.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

2.1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ТА ЙОГО ЗНАЧЕННЯ В НАРИСНІЙ ГЕОМЕТРІЇ.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОКЦІЙ.