Геометричний алгоритм розв’язання задачі

1. Визначаємо опорні точки (1 і 4) перетину окреслень поверхонь.

2. Визначаємо центр концентричних сфер (точка перетину осей – O(O₂)).

3. Визначаємо мінімально допустиму сферу на основі проведення нормалей до нарисових ліній поверхонь і вибору більшого з двох відрізків.

4. Будуємо точки лінії перетину за допомогою мінімальної сфери – (3(3₂)).

5. Визначаємо максимально припустиму сферу, беручи а якості радіуса відстань до найбільш віддаленої проекції точки.

6. Проводимо проміжну сферу:

а) будуємо перетин першої поверхні і сфери (a(a₂));

б) будуємо перетин сфери з другою поверхнею (b(b₂));

7. Визначаємо проміжну точку 2(2₂).

8. Будуємо лінію перетинання поверхонь, з'єднуючи отримані точки плавної кривої по лекалу.

Лінія перетину, у цьому прикладі, розпалася на дві частини просторової кривої. В наслідок загальної площини симетрії в перетиннихх фігурах, проекціюється на цю площину (або паралельну їй площину) у виді кривої другого порядку. Якщо ж потрібно побудувати проекції цієї лінії на інші площини, то це легко зробити, зв'язавши кожну точку лінії перетину з колом, що лежить на тій чи іншій поверхні обертання.

Розглянемо варіант, коли мінімальна сфера дотикається до двох поверхонь обертання. У цьому випадку для побудови лінії перетину поверхонь використовується теорема Г. Монжа, що формулюється так:

Якщо дві поверхні другого порядку описані біля третьої або вписані в неї, то лінія їхнього перетину розпадається на дві плоскі криві другого порядку. Площини цих кривих проходять через пряму, що з'єднує точки перетину ліній дотику.

Відповідно до цієї теореми лінії перетину конуса і циліндра, описаних навколо сфери (рис.15), будуть плоскими кривими – еліпсами, фронтальні проекції яких зображуються прямими A₂B₂ і C₂D₂.

Теорема Монжа знаходить ефективне застосування при конструюванні трубопроводів. Можливість вписування сфери в циліндри однакового діаметра дозволяє дуже швидко запроектувати їх перетин (рис.16).

Вправа:

Побудувати перетин двох конусів обертання, осі яких перетинаються і паралельні П₂ (рис.17).

Спосіб ексцентричних сфер

Ц

Рис.6

ей спосіб може бути використаний для побудови лінії перетину двох поверхонь, що мають загальну площину симетрії. При цьому кожна поверхня повинна мати сімейство кіл. Як і в способі концентричних сфер, площина симетрії повинна бути паралельна однієї з площин проекцій. Сутність способу легко усвідомити з наступних прикладів.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину конуса зі сферою (рис.18).

Вісь конуса і центр сфери розташовані в одній фронтальній площині. Будь-які дві сфери перетинаються по колу. Тому, якщо ми візьмемо будь-як допоміжну сферу радіуса R з центром на осі конуса, то вона перетне і дану сферу і даний конус по колах. У перетині цих кіл ми одержимо точки лінії перетину даних поверхонь. Для побудови наступних точок можна брати інші допоміжні сфери з різними положеннями центрів на осі конуса.

Приклад 2. Побудувати лінію перетину конуса з кільцем (рис.19).

Геометричний алгоритм рішення задачі

1. Задамо загальну площину симетрії поверхонь, що проходить через вісь конуса i(i₂), середню лінію кільця і співпадаючу з площиною середньої лінії кільця.

2. Визначимо опорні точки 1(1₂), 2(2₂), 3(3₂), 4(4₂).

3. Проведемо через вісь кільця l₂ допоміжну фронтально проекціюючу площину (₂) для побудови довільних точок лінії перетину. Ця площина розсіче кільце по колу, проекцією центра якої буде точка O₂.

4. Проведемо із центра O(O₂) перпендикуляр до площини отриманого кола. Цей перпендикуляр буде дотичної до середньої лінії кільця.

5. Визначимо точку перетину перпендикуляра й осі конуса – точку K(K₂).

6. Прийнявши точку K(K₂) за центр сфери, проведемо таку сферу, на якій лежало би коло з центром O(O₂). Для зображення такої сфери необхідно провести коло з центром K(K₂), що проходить через кінці відрізка a₂, що зображує коло з центром O(O₂).

7. Проведемо відрізокb₂, що зображує коло перетинання сфери і конуса.

8. Визначимо точку 5(52) перетину отриманих кіл і приналежну одночасно конусові і кільцю, і тому є точкою шуканої лінії їх перетину.

9. Аналогічною побудовою, застосовуючи нові допоміжні площини, знайдемо необхідну кількість точок лінії перетину. При цьому потрібно проводити допоміжні сфери з різних центрів, що лежать на осі конуса.

Таким чином, перевагою способу ексцентричних сфер є те, що його можна застосовувати і в тих випадках, коли одна з пересічних поверхонь не є поверхнею обертання. Необхідною умовою є наявність на цій поверхні сімейства кіл, які можна розглядати як результат перетину поверхні зі сферою. У число умов входить також умова, щоб перпендикуляри, встановлені з центрів кругових перетинів, перетинали вісь поверхні обертання.

Вправа:

На рисунку 20 зображений елемент трубопроводу. Його поверхня циліндрична. Необхідно побудувати лінію перетину цієї поверхні з поверхнею циліндричної труби способом ексцентричних сфер.

Закон зміни радіуса перетину циліндричної поверхні.

Рис.10

РОЗДІЛ 4. ОСНОВИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ.

4.1. ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ.

При розв’язанні задач у нарисній геометрії може виникати задача поділу відрізка АВ, заданого своїми проекціями А₁В₁ і А₂В₂ у деякому відношенні. Для рішення цієї задачі застосовується теорема ФАЛЕСА (одна з теорем елементарної геометрії): “якщо на одній зі сторін кута від його вершини послідовно відкласти рівні між собою відрізки і через кінці цих відрізків провести рівнобіжні прямі, що перетинають другу сторону кута, то на другій стороні кута відкладуться також рівні між собою відрізки”.

ФАЛЕС Мілетський (біля 625 – 547 до н.е.)

Давньогрецький математик і астроном. У молодості Фалес відвідав Єгипет, де в школах Мемфіса і Фів вивчив різні науки. Повернувшись на батьківщину, заснував у Мілеті філософську школу.

Історики вважають, що Фалес перший познайомив греків з геометрією і що він був першим грецьким астрономом. Фалес пророчив сонячне затемнення, що мало місце 28 травня 585 до н.е. Знання Фалеса в геометрії були досить широкими. Він знав, що протилежні кути, що утворюються при перетині двох прямих, рівні; що в рівнобедреному трикутнику кути, що лежать при основі, рівні; що трикутник цілком визначається двома кутами та прилеглою до них стороною і що на підставі цього можна визначати відстань корабля від берега; що коло поділяється діаметром навпіл (сам довів це твердження); що кут, вписаний у півколо, - прямій. Фалесу приписують також спосіб визначення висот різних об’єктів, зокрема пірамід, по тіні, коли сонце піднімається над обрієм на 45º.

Оскільки відношення відрізків, розташованих на прямій є інваріантом паралельного проекціювання (не змінюється при паралельному проекціюванні), тоді для поділу відрізка на епюрі досить розділити в потрібному відношенні одну з його проекцій (на рис. 1 поділена горизонтальна проекція А₁В₁), а потім по лінії зв’язку визначається точка на другій проекції відрізка ( на А₂В₂ точка С₂).

4.2. ОБЧИСЛЕННЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННЮ. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ.

Якщо кінці відрізка задані координатами А(х_А, y_А, z_А), B(x_В, y_А, z_А) і АС/AB = λ, тоді точкове числення дозволяє обчислити точку С:

Точкове числення передбачає покоординатний розрахунок точок, отже, маємо координати шуканої точки С:

При λ = ½ точка С поділить відрізок навпіл (С – центроїд відрізка), тоді будемо мати:

Якщо відношення λ прийняти як параметр t, що приймає значення з області дійсних чисел, тоді поточна точка М прямої АВ визначить точкове рівняння прямої:

Або, в іншому виді:

Доповнення параметра до одиниці зручно використовувати при завданні точкового рівняння прямої.

4.3. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ ЛІНІЇ, ВІДРІЗКА, ПРОМЕНЯ В СТАНДАРТНІЙ

ТА ПРИРОДНІЙ ПАРАМЕТРИЗАЦІЯХ.

Оскільки параметр t = АМ/AB, тоді доповнення параметра до одиниці має вигляд:

Тоді, останнє точкове рівняння прямої можна записати у вигляді:

д

Рис. 2

еa і b симетричні параметри з області дійсних чисел, що задовольняють залежності:

а + b =const = l_AB.

Параметри a і b називаються стандартними, а рівняння – рівнянням прямої у стандартній параметризації.