Тема 5. Прямая задача динамики

5.1. Материальная точка массы m= 1 кг движется согласно закону

,

где – радиус-вектор точки относительно инерциальной системы отсчётаOxyz (r – в метрах;t– в секундах,F– в ньютонах). Найти модуль действующей на точку силыF₀ в начальный момент времениt₀ = 0.

Ответ:

5.2. Три постоянные силы, модули которых удовлетворяют соотношениюF₁ :F₂ :F₃ = 1 : 2 : 3, действуют на точку массыт = 4 кг в одном и том же направлении и сообщают ему ускорениеа= 3 м/с². Найти модули этих сил;

F₁ = … (Н);F₂ = … (Н);F₃ = … (Н).

Ответы: 2*4*6

5.3. При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велика силаР (кН) (1 килоньютон = 10³Н) среднего давления пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м?

Р= … (кН) (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 487

5.4. ГрузМмассы 1,05 кг подвешен к тросу и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению

φ=ּsin(ּt), гдеφ– угол отклонения троса от вертикали в радианах,t– время в секундах. Определить натяжение тросаТ_max в нижнем положении груза (Ускорение свободного падения принять равнымg= 9,8м/с² ; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Т_max= … (Н).

Ответ: 13

5.5. Семь одинаковых грузов по 70 г каждый прикреплены к концам нити перекинутой через блок (см. рис.). Определить натяжение нити при движении грузов. Массой блока пренебречь, трение в блоке отсутствует. Ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с². Результат округлить до второго десятичного знака после запятой.

Т= … (Н).

Ответ: 2,35

5.6. С какой силой нужноF (Н) нужно действовать на тело массыт= 5 кг, чтобы оно падало вниз с ускорениема= 15 м/с² ? Ускорение свободного падения принять равнымg = 10 м/с².F= …

Ответ: 25

5.7. Автомобиль массой 5 тонн трогается с места с ускорением 0,6 м/с². Найти силу (Н) тяги, если коэффициент сопротивления движению равен 0,04. Ускорение свободного падения принять равнымg = 10 м/с². Сила тяги = … (Н)

Ответ: 5000

5.8. Два одинаковых бруска по 2 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, движутся вдоль горизонтальной плоскости при действии неравных противоположно направленных горизонтальных силF₁иF₂;F₁= 8 (Н),F₂ = 6 (Н) (см. рис.). Пренебрегая трением, определить внутреннее усилиеS в связывающей бруски нити;

S= … (Н).

Ответ: 7

5.9. Парашютист движется при раскрытом парашюте движется со скоростьюv= 2 м/с. Какая минимальная сила сопротивленияf воздуха действует на парашютиста и парашют общей массыm = 75 кг при полностью раскрытом парашюте? (Ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с².)f = … (Н).

Ответ: 735

5.10. Мальчик, скатившись на санках с ледяной горки, проехал по горизонтальной дороге до остановки путь 20 м за 10 сек. Определить коэффициент тренияf. (Ускорение свободного падения принять равнымg= 10 м/с²).f= …

Ответ: 0,04

5.11. Система двух одинаковых грузов, связанных нерастяжимой верёвкой, переброшенной через идеальный блок, движется с ускорениема= 0,45ּg(см. рис.). Определить коэффициент трения скольженияf между горизонтальной опорной плоскостью и движущимися по ней грузами;f = …

Ответ: 0,1

5.12.Система четырёх одинаковых грузов массыm= 0,7 кг каждый, связанных невесомой нерастяжимой нитью, приводится в движение вдоль горизонтальной плоскости тяжёлой гирей, подвешенной к переброшенному через идеальный блок свободному концу каната. Определить, какова должна быть массаМ этой гири при движении грузов с заданным ускорениема= 0,3ּg(g– ускорение свободного падения), если коэффициент трения скольжения грузов по опорной плоскости равенf= 0,2;

М= … (кг).

Ответ: 2

5.13. Через блок переброшена нить, к концам которой подвешены гири по 300 г каждая (см рис.). Какую вертикальную силу нужно приложить к одной из гирь, чтобы гири стали двигаться с ускорением 50 см/с²?

F= …(Н).

Ответ: 0,3

5.14. Тело массыт = 40 г, брошенное вертикально вверх с начальной скоростьюv_o= 30 м/с, достигло высшей точки спустяt = 2,5 с. Найти среднюю силу сопротивленияf (Н) воздуха, действовавшую на тело во время движения. (Ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с².)

Ответ: 0,088

5.15. Материальная точка массыm= 1 кг движется по окружности радиусаr= 1 м в соответствии с уравнениемs= 1,5ּt²– 4ּt (s – значение дуговой координаты по дуге окружности,s – в метрах,t – в секундах). Определить модуль силы || (Н), действующей на точку в момент времени t = 2 сек. (Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

Ответ: 5

5.16. Материальная точка массыm= 1 кг движется по окружности радиусаr= 1 м в соответствии с уравнениемs= 1,5ּt²–t + 1 (s – значение дуговой координаты по дуге окружности,s – в метрах,t – в секундах). Определить модуль силы || (Н), действующей на точку в момент времени t = 1 сек.

Ответ: 5

5.17. Материальная точка массыт = 0,5 кг движется по окружности радиусаR = 8 м согласно уравнениюs= 2ּt²(s – в метрах,t – в секундах). Определить модуль действующей на точку силы равенF(Н) в момент времениt = 2 сек.

Ответ: 2ּ

5.18. Жёсткий невесомый стержень длинойlприварен под угломαк вертикальному равномерно вращающемуся валу. К свободному концу стержня прикреплен точечный груз массыm. Установить, при какой угловой скоростиω вращения вала сила,cкоторой стержень действует на груз, будет направлена вдоль этого стержня?

Ответ:

5.19. Верёвка выдерживает груз массыm₁ = 120 кг при подъёме его с некоторым ускорением, направленным вверх, и груз массыm₂ = 480 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная массаm (кг) груза, который можно поднять на этой верёвке, двигая его с постоянной скоростью?

Ответ: 192

5.20.Материальная точка массойm= 0,5 кг движется в горизонтальной плоскости с ускорениемr = (3ּt² + 2ּt)ּi + (4ּt² + 3ּt)ּj(м). Определить модуль силы (Н), действующей на неё в плоскости движения.

Ответ: 5

5.21.Материальная точка массойm= 1 кг движется в плоскостиОхусогласно уравнениямx =t³+t²+t,y = t³– 3ּt²–t. Определить модуль равнодействующей сил (Н), приложенных к точке, в момент времениt= 1 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 8

5.22.Материальная точка массойт = 2 кг движется по окружности радиусаR = 8 м согласно уравнениюs=t²(s – в метрах,t – в секундах). Определить проекцию равнодействующей силF_n (Н), приложенных к точке, на главную нормаль к траектории в момент времениt = 2 сек.F_n = … (Н)

Ответ: 4

5.23. Материальная точка массойm= 2 кг движется по горизонтальной прямой в соответствии с уравнениемs =ּt³ +ּt²+t (м). Определить модуль силыF (Н), действующей на точку в направлении её движения в момент времениt = 3 с.

F = … (Н),

Ответ: 8

5.24.Тело массойm= 10 кг, подвешенное на тросе, поднимается вертикально в соответствии с уравнениемz= 9,8ּ( –ּt³ +ּt²) (м). Определить силу натяженияT (Н) троса в момент времениt = 4 сек. (Ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с²; результат вычисления округлить до первого знака после запятой.)T = … (Н)

Ответ: 0

5.25. Сила сопротивленияf, действующая на раскрытый парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропорциональностиh = 20 Нּс²/м²). Масса парашютистаm= 72 кг. С какой высоты должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы скорость его приземления равнялась скорости приземления парашютиста, прыгающего с большой высоты? (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно)h= … (м).

Ответ: 1,8

5.26. Материальная точка массойm= 1,5 кг движется прямолинейно согласно уравнениюх = – ּt³+4ּt² + 3ּt (м). Определить модуль равнодействующей силF (Н), приложенных к точке в момент времениt= 8 сек.F = … (Н)

Ответ: 0

5.27. Материальная точка массойm= 5 кг движется по окружности радиусаR= 10 м согласно уравнениюs =ln(t)(м). Определить проекцию равнодействующей сил (H), приложенных к точке, на нормаль к траектории в момент времениt= 0,5 с.

Ответ: 2

5.28.Материальная точка массойm= 1 кг движется по окружности радиусаR= 20 м согласно уравнениюs =0,3ּt²– 2ּt (м). Определить модуль равнодействующей сил (H), действующих на точку, в момент времениt= 10 с.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: 1

5.29. Гиря массы 0,396 кг подвешена к концу нити длины 2 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 6 м/с. Найти натяжениеТ нити непосредственно после толчка. (Ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.).Т= … (Н).

Ответ: 11

5.30. ГрузМ массы 0,265 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причём нить составляет с вертикалью уголα = 30^о (см. рис.). Определить натяжениеТ нити (ускорение свободного падения принять равнымg= 9,8 м/с²; результат округлить до ближайшего целого числа.)

Т = … (Н).

Ответ: 3

5.31. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростьюv = 12 м/с. Радиус кривизны в середине мостаρ = 60 м. Определить силу давленияNавтомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста (ускорение свободного падения принять равнымg = 9,8 м/с²);N= … (Н)

Ответ: 7400

5.32. Два тела с массамит₁ = 50 г ит₂= 100 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силойF(H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяженияТ_max = 5 Н, не оборвалась? (Числовой результат определить до первого знака после запятой включительно.)F = … (Н).

Ответ: 7,5

5.33. Два тела с массамит₁ = 100 г ит₂= 50 г связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной плоскости. С какой силойF(H) можно тянуть первое тело, чтобы нить, способная выдержать силу натяженияТ_max = 5 Н, не оборвалась?F = … (Н).

Ответ: 15

5.34. Тело массы 100 г, падая с высоты 9 м, приобрело скорость 12 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равнымg= 9,8 м/с².)

Ответ: 0,18

5.35. С высоты 25 м кусок дерева падал в течение 2,5 сек. Какую часть составляет средняя сила сопротивления воздуха от силы тяжестиF_сопр/(mg)? (Ускорение свободного падения принять равнымg= 10 м/с².)

Ответ: 0,20

5.36. Масса поезда без локомотива равнаm= 2ּ10⁵кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через Δt = 60 с после начала движения приобрёл скоростьv= 12 м/с. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжениеТ между поездом и локомотивом в период разгона. (Ускорение свободного падения принять равнымg= 10 м/с².)Т = … (Н).

Ответ: 50 000

5.37.

S: Тело массы 50 г, падая с высоты 10 м, приобрело скорость 10 м/с. Найти среднюю силу (Н) сопротивления воздуха. (Ускорение свободного падения принять равнымg= 10 м/с².) Принять, что при движении самолёта по дуге окружности величина скорости сохраняется равной 240 м/с.

Ответ: 0,25

5.38.Маятник отклонён в горизонтальное положение (ОА) и отпущен без начальной скорости. Определить натяжение нити в нижем положении маятника (ОС).

Ответ: 3ּmּg

5.39. Воздушный шар массыМ опускается с постоянной скоростью. Какой массытбалласт нужно выбросить, чтобы шар поднимался с той же скоростью? Подъёмная сила воздушного шараQ известна. (Ускорение свободного паденияg)

Ответ: m = 2ּ(M –Q/g)