174343

Рис. 3.10. Линия «цена%потребление» и линия спроса на товар X

представлен отрезком x2x3. Снижение цены данного товара увеличивает реальный доход потребителя, позволяя ему купить большее количество товара. Эффект дохода показывает, как изменяется реальный доход потре% бителя и его спрос при уменьшении цены на товар X, и демонстрируется передвижением с кривой безразличияU1 на кривую безразличия U2.

Эффект субституции всегда действует в сторону увеличения покупок подешевевшего товара. Эффект дохода действует также в отношении нор% мальных товаров, в случае низших товаров и товаров Гиффена — в проти% воположном направлении:

ЭЦ ЭS ЭD.

52

Рис. 3.11. Эффект от снижения цены блага X

Представим в табл. 3.3 изменения эффектов замещения дохода и цены в отношении нормального товара, низшего и товара Гиффена в случае снижения цены.

Реакция потребителя на изменение цены для различных типов то% варов с использованием эффектов замены и дохода подтверждает зна% ние по теории рыночного спроса.

			Таблица 3.3
	Эффект снижения цены
Тип товара	ЭS	ЭD	ЭЦ
Нормальный	Q	Q	Q
Низший	Q	Q	Q
Товар Гиффена	Q	Q	Q

Итак, положение бюджетной линии отражает благосостояние по% требителя. Снижение цены на один из товаров при неизменности всех прочих факторов повернет бюджетную линию вправо, уменьшит угол наклона и увеличит возможности для покупок данного товара. Рост до% хода отразит сдвиг бюджетной линии вправо и увеличит потребление доступных потребительских товаров.

Приложение

Рассмотрим математический подход оптимизации поведения потребителя в рам% ках бюджетного ограничения. Воспользуемся дифференциальным исчислением. Сформулируем проблему оптимизации для двух товаров.

53

З а д а ч а. Максимизация функции полезностиU (x,y ) xy с учетом, что весь до% ход, составляющий 40 рублей, расходуется на покупку яблок и картофеля. Цена од% ного килограмма яблок составляет 2 рубля, а одного килограмма картофеля — 1 рубль. Тогда бюджетное ограничение описывается следующим уравнением: 2 x y 40. Для упрощения расчетов предполагается, что товары бесконечно де% лимы.

Первый способ решения

Выразим x, который равен x 40 y 20 1 y. Подставим значение x в функцию

22

полезности: U (x,y ) (20 1 y )y 20y 1 y 2 . Проведем дифференцирование функ%

22

ции. Найдем первую производную для определения экстремума функции

U (y ) 20 y 0, y 20.

Для выявления второго признака экстремума, точки максимума или минимума определяется производная второго порядка: если производная при переходе через экстремум меняет знак с «минуса» на «плюс» — точка минимума, а если с «плюса» на «минус» — точка максимума. В нашем случаеU (y ) 1, отсюда следует, что опреде%

лена точка максимума (y 20). Подставив в равенство x 20 1 y значение y 20, по% 2

лучим, что x 10. Итак, при значении x 10 и y 20 потребитель максимизирует свою полезностьU 10 20 200.

Второй способ решения (метод множителей Лагранжа)

Этот способ используется для максимизации или минимизации функции при одном или нескольких ограничениях. Применительно к случаю максимизации по% лезности функция Лагранжа имеет вид

F (x,y, ) U (x,y ) (Px x Py y I ).

Множитель Лагранжа представляет собой дополнительную полезность, воз% никающую при росте дохода на 1 рубль. Для оптимизации выбора потребитель дол% жен получать одинаковую полезность от последнего рубля, потраченного на покуп% ку товара X и Y. В противном случае полезность можно повысить, потратив большую сумму на один товар и сократив расходы на другой товар. Проведем дифференциро% вание функции Лагранжа. Если стоимости товаров X и Y равны доходу потребителя, то PX X PYY I 0. Тогда задача максимизации сводится к максимизации функции

U (x,y ). Дифференцируя функцию (F) относительно X, Y, и приравнивая производ% ные к нулю, мы можем получить необходимые условия для максимума. Напишем уравнения в общем виде:

F

MU x (x,y ) Px 0, x

F

MU y (x,y ) Py 0, y

F

Px x Py y I 0.

54

Применительно к конкретной задаче уравнения выглядят

F (x,y, ) xy (2 x y 40),

F y 2 0,x

F x 0,y

F

2 x y 40 0.

Три уравнения перепишем следующим образом: y 2 ,

x ,

2 x y 40.

Теперь можем решить эти уравнения с тремя неизвестными 2( ) ( 2 ) 40,

4 40,

10. Подставим значения в первые два уравнения

y2 2( 10) 20, x 10.

Полученные значения x и y являются решением задачи оптимума потребите% ля — комбинацией товаров (яблок и картофеля), максимизирующих полезность U 10 20 200.

Третий способ решения

Использование правила максимизации полезности MU x MU y .

Px Py

MU x y,MU y x, y x .

21

Используем бюджетное ограничение2 x y 40 для решения системы уравнений y x ,

21

2 x y 40.

Получаем

x 10,y 20,

U 10 20 200.

Ответ: x 10,y 20,U 200.

55

3.5.Практические задания

1.Потребитель располагает доходом в 21 000 р. и осуществляет вы% бор между двумя товарами А и Б, цены которых равны соответствен% но 3 и 6 р. Определить, сколько единиц товара ему следует купить, что% бы максимизировать полезность. Необходимые данные приведены

втабл. 3.4.

			Таблица 3.4
Единицы А	MU A	Единицы Б	MU Б
1	30	1	60
2	27	2	48
3	24	3	42
4	21	4	36
5	18	5	30
6	15	6	24

2.Что отражают кривые безразличия: а) выпуклые к началу координат; б) вогнутые к началу координат?

3.Представьте функцию полезности для набора (X, Y) с нейтраль% ным благом X (нейтральное благо — благо, увеличение количества ко% торого не приводит к росту общей полезности потребителя).

4.Определить функцию рыночного спроса Q q x q y на основе функций индивидуального спроса: p 10 q x , p 8 q y .

5.Задания тестовой формы.

А. Студент получает 20 дополнительных единиц полезности от по% следней плитки шоколада и 10 — от последней порции мороженого. Цена шоколада — 100 р., порции мороженого — 50 р. Что должен делать студент?

а) покупать больше шоколада и меньше мороженого; б) покупать больше мороженого и меньше шоколада; в) оставить свое потребление без изменений; г) покупать больше шоколада и больше мороженого;

д) покупать меньше шоколада и меньше мороженого.

Б. Если MRS между двумя благами равна 3 независимо от уровня по% требителя, то:

а) блага являются совершенными субститутами;

56

б) блага являются взаимодополняемыми; в) кривая безразличия выпукла к началу координат;

г) кривая безразличия вогнута к началу координат.

Ответы

№ 1 Для решения задачи следует воспользоваться правилом максимиза%

ции полезности MU А MU Б . Определяем значение MU А и MU Б для

	PА	PБ				PА		PБ
каждой единицы товара (табл. 3.5).
							Таблица 3.5
Единицы А	MU A		MU А		Единицы Б	MU Б		MU Б
			PА					PБ
1	30	10			1	60	10
2	27	9			2	48	8
3	24	8			3	42	7
4	21	7			4	36	6
5	18	6			5	30	5
6	15	5			6	24	4

Первая единица товара А и первая единица товара Б имеют одина% ковую предельную полезность, но у потребителя остаются неизрасхо% дованные деньги. Поэтому он будет продолжать приобретать товары и остановится на соотношении три единицы товара А и две единицы то% вара Б, когда полностью расходует весь свой доход.

Ответ: 3А 2Б.

№ 2 а) выпуклые к началу координат кривые безразличия отражают убы%

вание предельной полезности блага с ростом его потребления; б) вогнутые к началу координат кривые безразличия показывают

возрастание предельной полезности блага с ростом его потребления.

№ 3 Функция полезности для набора (X, Y)

с нейтральным благом X представляется в виде U (X ,Y ) U (Y ). Кривая безразличия

принимает форму горизонтальной линии (рис. 3.12). Рис. 3.12. Кривые безразличия

57

№ 4 Построение кривой рыночного спроса происходит посредством гори%

зонтального суммирования, когда складываются индивидуальные объемы спроса на благо при каждом уровне его цены. Поэтому следует преобразо% вать уравнения функций и выразить qx и qy:

q x 10 p, q y 8 p. Суммировав эти функции, получим Q 9 p. № 5. А: в; Б: а.

Òе м а 4. РЫНОЧНЫЙ СПРОС

ÈЕГО ЭЛАСТИЧНОСТЬ

4.1.Эластичность спроса по цене, способы ее исчисления и пределы изменения.

4.2.Перекрестная эластичность спроса. Эластичность спроса по доходу. 4.3.Эластичность предложения.

4.4.Практические задания.

4.1. Эластичность спроса по цене, способы ее исчисления и пределы изменения

В теории спроса изучена зависимость между изменением величины спроса на товар и изменением цены. Для бизнеса важно знать, как и на% сколько увеличивать или уменьшать цену для увеличения дохода фир% мы. Мера изменения величины спроса относительно изменения цены называется эластичностью спроса по цене. Рассчитывается последняя посредством использования следующей формулы:

% Q Q P E P % P P Q,

где E P — коэффициент эластичности спроса по цене; % Q — процент% ное изменение в объеме спроса; % P — процентное изменение в цене; Q — первоначальное значение объема спроса; P — первоначальное зна% чение цены; Q — изменение величины спроса; P — изменение цены.

Коэффициент эластичности спроса по цене (E P ) — это процентное изменение величины спроса на товар, вызванное однопроцентным из% менением его цены при неизменности всех прочих факторов, влияю% щих на объем спроса. Этот коэффициент имеет отрицательный знак (объясняется действием закона спроса), однако рассматривается абсо% лютная величина коэффициента эластичности.

Этот способ расчета используется при незначительных изменениях цены. При больших изменениях в цене рассчитывают дуговую эластич% ность спроса. Значение ценовой эластичности зависит от направления

58

изменения цены. Например, точки A и B на кривой спроса имеют сле% дующие значения: точка A:Q 20 штук при P 600 р. за штуку, точка В: Q 40 штук при P 500 р. за штуку. Рассмотрим направление движения от A к B:

E P			20				600		6.	P
			100 20
Обратное направление движения, от B к A, задает E P другое значение:
E P			20			500		2,5.		P
		100
				40

Чтобы избежать разных значений коэффициента эластичности спроса по цене на одном и том же отрезке кривой спроса рассчитывают дуговую эластичность. Последняя является показателем средней реакции спроса на изменение средней цены на каком%то отрезке кривой спроса:

ED		Q2 Q1		P2 P1		Q2 Q1		P1 P2	,
		Q1 Q2		P1 P2
						P2 P1 Q1 Q2

22

гдеQ1 и P1 — первоначальные значения;Q2 и P2 — конечные значения. Если измеряется эластичность спроса в какой%то точке кривой спроса, то пользуются бесконечно малым изменением цены, т. е. стремящемся к 0.

Q

Тогда отношения P берется как производная функции спроса по цене

dQ. Формула точечной эластичности выглядит следующим образом: dP

E P dQ P . dP Q

За д а ч а. Используем уравнение линейной функции спроса Q

160 2P для определения точечной эластичности спроса при цене 10 р.

Р е ш е н и е: Воспользуемся формулой E P dQ P . dP Q

1. Определяем величину спросаQ при цене P 10 р.:

Q160 2P 160 2 10 140.

2.Выражение dQ определяем путем вычисления первой производ%

dP

ной функции спроса по цене dQ 2. dP

При использовании линейной функции для решения берется коэф% фициент при цене (в нашем случае 2).

59

3. Рассчитаем точечную эластичность спроса:

E P 2 10 20 1. 140 140 7

В ы в о д: при незначительном отклонении цены (например, на 1 %)

объем спроса изменится на 1 %. 7

Для анализа эластичности спроса по цене воспользуемся линейной

Q

функцией спроса Qd a bP. Коэффициент b равен отношению P ,

которое неизменно для всех точек линии спроса. Формула эластично% сти спроса по цене принимает вид

E P b P . Q

Для определения коэффициента E P необходимо знать значение цены и количества. В точке пересечения линии спроса с осью абсцисс P 0, тогда E P 0; в точке пересечения с осью ординат Q 0, отсюда E P (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Кривая спроса

иэластичность спроса

Всередине кривой спроса E P 1, т. к. в точке l кривой спроса объ% ем спроса равен половине всего возможного спроса, т. е.Q a/2. Цена для такого объема спроса в случае линейной зависимости между вели%

чиной спроса и ценой составитP (a Q) a/2 a . Поэтому эластич% b b 2b

ность спроса по цене в точке l будет равна единице:

E P			Q	P	b	a/2b		b	1.
			P Q			a/2		b

60

Эластичность спроса по цене не является постоянной вдоль всей кривой спроса. Эластичность спроса высока при высоких ценах. По% скольку цена высока и количество товара незначительно, мы имеем большую в процентном отношении величину прироста спроса и мень% шую в процентном отношении величину снижения цены. По мере дви% жения вниз вдоль кривой спроса эластичность становится меньше.

Различают эластичный спрос, неэластичный спрос и единичную эластичность. Для единичных товаров может иметь место совершенно эластичный спрос и совершенно неэластичный.

На участке выше точки l спрос эластичен, в этом случае процентное выражение величины спроса изменяется больше, чем цена (E P 1). Величина спроса очень сильно реагирует на изменение в цене. На уча% стке ниже точки l спрос неэластичен. Изменения величины спроса отно% сительно малы ( E P 1). Когда процентное изменение объема покупок в точности компенсируется процентным изменением цены, имеет ме% сто единичная эластичность ( E P 1).

Абсолютную нечувствительность объема спроса к изменению цены демонстрирует совершенно неэластичный спрос (E P 0). Такое поведение потребителя описывается выражением: «Я должен иметь товар, чего бы мне это не стоило». Совершенно эластичный спрос означает абсолютную нечувствительность цены к изменениям объема спроса (E P ).

Оценка эластичности спроса по цене важна для определения дина% мики выручки на фирме. Выручка рассчитывается умножением количе% ства реализованной продукции на цену. Если спрос эластичен, то изме% нение цены ведет к противоположному изменению выручки. Например, при уменьшении цены на 1 % прирост продаж оказывается больше 1 %, отсюда выручка (TR) увеличивается

TR P Q .

В случае неэластичного спроса цена и выручка изменяются в одном направлении. Например, при уменьшении цены на 1 %прирост продаж увеличивается меньше, чем на 1 %, следовательно выручка падает

При единичной эластичности процентное изменение объема поку% пок в точности компенсируется процентным изменением цены, поэто% му выручка остается неизменной: TR 0.

У п р а ж н е н и е. Цена выросла с 40 р. до 50 р. Величина спроса уменьшилась с 15 до 10 единиц. Определить эластичность спроса в дан% ном диапазоне цен.

61