174343

Это выражение сначала умножим на	1	, а потом на	1	. В резуль%
	MPK
			dL

тате преобразования получим: dK MPL . Следовательно, MRTS dL MPK

dK MPL . dL MPK

Используя расчет MRTS через предельные значения продуктов, уче% ные делают вывод, что изокванта показывает уменьшение отношения предельного продукта труда к предельному продукту капитала по мере того, как все большее количество труда замещает капитал. Изокванта по% казывает, как фирма замещает факторы производства при сохранении неизменным объема производства.

Выше были представлены различные комбинации капитала и тру% да, обеспечивающие один и тот же объем выпуска. Какой метод произ% водства следует выбрать фирме? Мы рассматриваем фирму, максими% зирующую прибыль. Поэтому наилучшей комбинацией будет та, кото% рая обеспечивает наименьшие издержки. Для выбора самого дешевого метода производства необходимо знать цены на ресурсы. Для анализа используем линию бюджетного ограничения — изокосту. Изокоста по

казывает различные комбинации двух ресурсов, которые могут быть при обретены фирмой при данном уровне цен на ресурсы и данной величине расходов. Изокоста — это линия равных издержек.

Линия бюджетного ограничения описывается формулой

В РK К РL L,

где В — бюджет фирмы для закупки ресурсов; РK — цена единицы капи% тала; К — количество капитала; РL — цена единицы труда; L — количе% ство труда.

Изокоста строится следующим образом. Предположим, что печь стоит 5000 денежных единиц (ден. ед.), а работник за 1 год — 1500 ден. ед. На 10 000 ден. ед. можно купить 2 печи или 7 работников. На оси ор% динат отмечается точка 2.0, на оси абсцисс — 0.7. Точки соединяются прямой линией и получают изокосту B1 (рис. 5.8). Все другие точки на этой линии отражают другие комбинации труда и капитала.

Наклон изокосты равен отношению цен используемых ресурсов:

PL 1500 0,3. PK 5000

Если фирма располагает большим бюджетом, она может приобре% сти большее количество ресурсов, например, на 16 000 денежных еди% ниц — 3 печи или 10 работников. По возрастании бюджета производи% теля изокоста сдвигается вправо, при снижении — влево. Изменение

82

Рис. 5.8. Бюджетная линия производителя

цены на ресурс отразит угловой коэффициент изокосты. Ресурсы, цены на которые растут, замещаются другими ресурсами. Графически это выразится в изменении крутизны изокосты. Для ответа на вопрос, ка% кой метод производства является самым дешевым, надо нанести изо% кванту Q1 для выпуска 320 единиц продукции на множество линий бюд% жетного ограничения. Оптимальное сочетание факторов отразит точка В — точка касания изокванты с изокостой (рис. 5.9).

K
	A
3
	B
2			C
				Q1
		B1		B2
1	4	7	8	10	L
	Рис. 5.9. Минимизация издержек
	для заданного объема выпуска

В точке касания изокванты с изокостой угловые коэффициенты совпадут. Соотношение предельных продуктов факторов производства

83

станет равно соотношению их цен. Таким образом достигается равно% весие производителя

MPL		PL	или	MPL		MPK	.
MPK PK				PL		PK

Эта формула отражает правило минимизации издержек для опреде% ленного объема выпуска. Оптимальное сочетание факторов производ% ства достигается при таком распределении бюджета производителя, при котором последний рубль, затраченный на приобретение каждого вида ресурса, приносил бы одинаковый прирост выпуска общего про% дукта. В случае неравенства, замещение одного фактора другим произ% водится в пользу более дешевого фактора. В результате такой замены под действием закона убывающей предельной производительности предельный продукт относительно дешевого фактора будет уменьшать% ся, а предельный продукт относительно дорогого фактора будет расти.

5.3.Траектория развития. Отдача от масштаба

Спомощью метода изоквант для каждого уровня выпуска опреде%

ляются наименьшие издержки. Так на рис. 5.10 при производстве Q1 выбирают вариант В1, при производстве Q2 — вариант В2 и т. д. Соеди% нив точки оптимального объема выпуска, получаем направление экс% пансии фирмы, траекторию ее развития.

Рис. 5.10. Траектория развития фирмы

Каждому новому равновесному состоянию соответствует все возрас% тающий объем производства продукции. При этом объем производства может увеличиваться быстрее прироста затрат, может отставать, а может соответствовать ему. Зависимость затрат фирмы от количества продук% ции отражает понятие «отдача от масштаба». Под масштабом понимается

84

размер фирмы, измеренный объемом выпуска. Различают возрастаю% щую, убывающую и постоянную отдачу от масштаба. Названные выше изменения можно представить графически (рис. 5.11, 5.12, 5.13).

Рис. 5.11. Убывающая отдача от масштаба. Объем производства растет медленнее, чем затраты

Рис.5.12. Возрастающая отдача от масштаба. Объем производства опережает рост затрат фирмы

Рис. 5.13. Постоянная отдача от масштаба. Объем про% изводства возрастает пропорционально росту затрат

85

Возрастающую отдачу от масштаба можно объяснить следующими факторами:

1)использование автоматизации и компьютерной техники в произ% водственном процессе;

2)совершенствование управленческого аппарата и адекватность управленческих решений;

3)разделение труда и специализация.

С помощью возрастающей отдачи объясняется существование круп% ных производств и фирм.

Приложение

Производственная функция может быть выражена разными типами уравнений:

1)линейный типQ ax b;

2)квадратичный типQ ax 2 bx c, или ax 2 bx c;

3)кубический тип ax 3 bx 2 cx d, или ax 3 bx cx d;

4)степенной типQ x b .

1.График линейной функции Q ax b представляет собой прямую линию и строится по двум точкам, a — коэффициент пропорциональности, b — свободный член, показывает, насколько график функции смещен вдоль осиQ (рис. 5.14).

2.График функцииQ ax 2 bx c представляет собой параболу, которая имеет

смещение и растяжение. Чтобы построить график этой функции, необходимо обра% тить внимание на знак коэффициента a. Если a 0, то ветви параболы направлены вверх, если a 0, то ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы лежит

в точке x	b	и Q	b2 4ac	. Например, дана функция Q x 2 5x 6. Построить
2a			4a

график данной функции:

Рис. 5.14. Производственная функция линейного типа

2.1) определим точки пересечения ветвей параболы с осью X. Для этого решим уравнение

		b b2
x1,2			4ac		5 25 24		x1	6,x2 1;
		2a			2

86

2.2)	вершина параболы лежит в точке
		x		b			5		2,5,
			2a			2
		Q	25 24							49	12,25;
	4					4
2.3)	при x 0;Q 6 (рис. 5.15).
												Q
		–6						–2,5				0	1

X

–6

–12,25

Рис. 5.15. Производственная функция квадратичного типа

3. График полиномиальной функции Q ax 3 bx 2 cx d строится следующим образом:

3.1) находятся точки пересечения с осью абсцисс. Для этого уравнение прирав% нивается к нулю:

ax 3 bx 2 cx d 0.

Целесообразно разделить обе части этого уравнения на множительa. В результа% те получим уравнение следующего вида:

x 3 b1 x 2 b2 x b3 0,

имеющее те же корни, что и исходное уравнение. Затем следует выполнить замену

неизвестного x y b1 . После несложных преобразований будем иметь 3

y 3 py q 0.

Корни этого уравнения определяются по формулам Кардано:

y1 1 1 ,
y			1	( ) i		3				( ),
	2
			2	1	1	2				1		1
y			1	( ) i					3		( ),
	3
			2	1	1	2				1		1

87

где в качестве 1 берется любое из значений корня 3													q		q				2		p					3
																										, в качестве
													2
															2						3
1	— то значение корня 3		q		q		2	p			3	, для которого 1 1								p
																					.
			2																	3
					2			3
															q				2		p				3
	С помощью дискриминанта кубического уравнения D																									корни куби%
															2						3

ческого уравнения можно найти без явного применения формул Кардано следую% щим образом:

3.1.1) D 0. Тогда все три корня уравнения являются действительными и нахо%

2

дятся по формулам: у 2

p

cos

k

, — наименьший положительный угол,

3

k

3

q

3 3

удовлетворяющий условию cos

.

2

p

3.1.2) D 0. Корни являются действительными, причем два из них равны между

собой.

3q

3q

Корни вычисляются по формулам: y1

,y

2

y3

.

p

2 p

3.1.3) D 0. В этом случае кубическое уравнение имеет один действительный и два сопряженных комплексных корня. Например, при p 0 будет иметь:

								2						p			2	p
												3					3
						y1										,y2,3				i pctg2 ,
											sin2						sin2
												3
		!				2		p
где tg 3 tg			,		sin !						.
		2				q		3

3.2) производим исследование функции на экстремум. Вычисляем первую про% изводную по x и получаем следующее уравнение: 3ax 2 2 bx c 0. Решаем это квад%

ратное уравнение: x1,2 b b2 3ac . Находим значения x, подставляем в исходное 3a

уравнение ax 3 bx 2 cx d 0 и получаем координаты возможных точек экстремума (min или max). Затем смотрим на промежутки убывания, возрастания и строим исхо% дя из всех полученных данных график функции (рис. 5.16).

4. Известным примером степенной функции является функция Кобба — Дугла% са, которая показывает выпуск продукции как функцию от затрат капитала и труда,

Q AK L ,

где A, , — положительные константы;

0 , 1; 1 ,

где , — коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда.

88

Рис. 5.16. График производственной функции кубического типа

Коэффициент показывает увеличение объема производства в процентах при увеличении затрат K на 1 %. Коэффициент показывает увеличение объема произ% водства в процентах при увеличении затрат труда на 1 %. Графически функция Коб% ба — Дугласа представляет собой плавно вогнутую кривую (рис. 5.17).

Рис. 5.17. Функция Кобба — Дугласа

5.4.Практические задания

1.Производство товара описывается функцией производства крат% косрочного периодаQ x 3 15x 2 72x.Q — количество товара в шту%

ках, x — количество единиц переменного ресурса:

а) постройте график функции производства (TP, APx и MPx ). Пока% жите на графике участок роста увеличивающейся выработки и умень% шающейся выработки;

б) при каком количестве переменного фактора фирма максимизи% рует выпуск?

2.Почему технический прогресс является фактором роста произ% водства?

3.С какой целью определяют экономическое время?

4.При каком условии достигается оптимальная комбинация факто% ров производства?

5.Что описывает траектория развития фирмы?

89

6. Задания тестовой формы.

А. В производственной функции Кобба — Дугласа Q AR L не%

изменный эффект масштаба соблюдается при: а) 1; б) 1; в) 1; г) 0;

д) A 0.

Б. Любая точка, находящаяся на изокванте или изокосте, означает: а) количество производимого продукта; б) объем продукта в денежном выражении;

в) комбинацию физических объемов ресурсов; г) сумму издержек ресурсов; д) сумму переменных издержек.

В. Если MRTS равна 1, независимо от объема выпуска, то это пред% полагает, что:

а) кривая изокванты выпукла к началу координат; б) кривая изокванты вогнута к началу координат; в) товары дополняют друг друга;

г) факторы производства совершенно взаимозаменяемы; д) кривая изокванты отражает уменьшающийся угол наклона.

Ответы

№ 1 a)

Q x 3 15x 2 72x, x( x 2 15x 72) 0,

x1 0,

x 2 15x 72 0,

	x 2		15							225 288				3,8,
									2
	x 3	15							225 288			18,8248,
					Q			2
	AP							x 2 15x 72,
		x			x
	MP			dQ					3x 2 30x 72.
	x			dx

Задача имеет экономический смысл при x1 0 и x 2 18,8248.

90

Рис. 5.18. Общий, средний и предельный продукт

переменного фактора

Участок роста увеличивающейся выработки — 0A, участок роста уменьшающейся выработки — AB;

б) используем график общего продукта

Q x 3 15x 2 72x.

Максимальный объем выпуска достигается при таком объеме пере% менного фактора, при котором его предельная производительность рав% на 0 (MPx 0):

MPx 3x 2 30x 72. Приняв MPx 0, получаем:

3x 2 30x 72 0, x 12,

Q 12 3 15 12 2 72 12 1296.

Фирма максимизирует прибыль при х 12.

№ 2 Влияние технического прогресса на производство проявляется в

двух формах:

1)увеличении количества производимой продукции при данном количестве ресурсов;

2)снижении затрат факторов производства при данном объеме вы% пуска.

91