Кравченко. Практикум

92	10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

ПРИМЕРЫ

Задача 10.1

	Определить коэффициенты четырехполюсника, эк-
	вивалентного воздушному трансформатору (рис. 10.1),
	сопротивления обмоток которого
	r1 = 10 Ом, x1 = 10 Ом,
	r2 = 40 Ом, x2 = 40 Ом,
Рис. 10.1	коэффициент связи K = 0,5.

Решение

Алгоритм решения заключается в приведении уравнений, составленных по законам Кирхгофа, к виду основных уравнений четырехполюсника в А-форме:

U1 AU2 BI2,

(1)

I1 CU2 DI2.

На основании второго закона Кирхгофа для схемы рис. 10.1 имеем:

U1 I1(r1 jx1) I2 jxМ ,

U2 I2(r2 jx2) I1 jxМ ,

(2)

где

xМ Kx1x2 0,510 40 10 Ом.

Система уравнений (2) может быть приведена к виду

				r1 jx1	(r1 jx1)(r2 jx2)
	U1	U	2		I2		jxМ ,
				jx		jx
				М		М

I	1	U			1	I	2	(r2 jx2)	.
				2 jx
								jx
					М			М

Сопоставив полученные уравнения с классическими уравнениями четырехполюсника (1), получим

А (r1 jx1) 10 j10 1,41 45 , jxМ j10

93

В (r1 jx1)(r2 jx2) jxМ jxМ

(101 j10)(40 j40) j10 80,62 7,13 Ом;

j10
С			1		1	j0,1См ;
			jxМ		j10

D (r2 jx2) 5,66 45 . jxМ

Проверка
АD BC 1,41 45 5,66 45 80,62 7,13 0,1 90 1.
Ответ: А 1,41 45 , B 80,62 7,13 Ом,
C j0,1См , D 5,66 45 .
Задача 10.2
По результатам измерений напряжения, тока и мощности со стороны
входных зажимов четырехполюсника в режиме холостого хода: U1x = 158,1 B,
I1x = 10 A, P1x = 500 Bт, и в режиме короткого замыкания: U1к = 126,5 B,
I1к = 10 A, P1к = 400 Bт, а также со стороны выходных зажимов четырехпо-
люсника в режиме холостого хода: U2x = 158,1 B, I2x = 10 A, P2x = 1500 Bт.
Определить	коэффициенты	четырехпо-
люсника, если характер цепи во всех режимах
индуктивный.
Решение
Схема четырехполюсника при питании
его со стороны зажимов 1 1 (так называемый
«прямой» режим) имеет вид, представленный			Рис. 10.2
на рис. 10.2.
1. Для этого режима основные уравнения четырехполюсника в А-форме:

U1 AU2 ВI2,

I1 CU2 DI2,

94	10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

работающего в режиме холостого хода (zн = , I2x = 0), принимают вид

U1x = AU2x,

I1x =CU2x.

В результате входное сопротивление четырехполюсника в режиме «прямого» холостого хода определится соотношением

z

U

1х

А

158,1 0

15,81

15,81 71,56 Ом,

(1)

1х

I

С 10

1х

1х

Р1х

1х

500

в котором

arccos

arccos

71,56 .

1х

U1хI1х

158,1 10

2. Для режима короткого замыкания (zн = 0, U2к = 0) основные уравнения четырехполюсника принимают вид

U1к ВI2к,

I1к DI2к.

В результате входное сопротивление четырехполюсника в режиме «прямого» короткого замыкания определится соотношением

z

U

1к

В

126,5 0

12,65

12,65 71,57 Ом,

(2)

10

1к

I

D

1к

1к

1к

где

arccos

Р1к

arccos

400

71,57 .

1к

U1кI1к

126,5 10

3. Схема четырехполюсника при питании его со стороны зажимов 2 2 (так называемый «обращенный» режим) представлена на рис. 10.3. Основные уравнения «обращенного» четырехполюсника:

U2 DU1 ВI1,

I2 CU1 AI1

для режима холостого хода

(zн = ∞, I1 = 0)

Рис. 10.3

95

приобретают вид

U2х DU1х,

I2х CU1х.

В результате входное сопротивление «обращенного» четырехполюсника (со стороны зажимов 2 2 ) в режиме холостого хода определится соотношением

z2х

U

2х

D

158,1 0

15,81 2х 15,81 18,42 Ом,

(3)

I2х

С

10 2х

в котором 2х arccos

Р2х

arccos

1500

18,42 .

U2хI2х

158,1 10

4. Совместное решение уравнений (1), (2), (3) с учетом соотношения

AD BC 1

(4)

позволяет определить значения всех коэффициентов четырехполюсника.

Из уравнений (1), (2), (3) следует

B Dz

, C

D

,

A Cz

D

z1х

.

(5)

1к

z2х

1х

z2х

Подставив выражения (5) в уравнение связи параметров (4), получим

АD BC D2

z1х

D2

z1к

1 ,

z2х

z2х

D

z2х

15,81 18,42

2,24 26,55 .

z1х z1к

15,81 71,56 12,65 71,57

Из (1), (2) и (3) вытекает

B D z1ê 2,24 26,36 12,65 71,57 28,34 45,02 Î ì

,

С

D

2,24 26,55

0,142 44,97 См,

z2х

15,81 18,42

A D

z1х

2,24 26,55

15,81 71,56

2,24 26,59 .

z2х

15,81 18,42

Ответ: A 2,24 26,59 ,

B 28,34 45,02 Ом,

C 0,142 44,97 См, D 2,24 26,55 .

96	10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Задача 10.3

Рис. 10.4

Решение

Параметры четырехполюсника, представленного на рис. 10.4:

z1 = 1000 Ом, z2 = j1000 Ом,

z3 = –j1000 Ом.

Определить коэффициенты, характеристическое сопротивление и постоянную передачи четырехполюсника.

1.Для определения коэффициентов приведем исходный четырехполюсник

кП-образному виду. Для этого достаточно преобразовать «звезду» z1, z2, z1 в эквивалентный «треугольник» z12, z11, z12

(рис. 10.5):

z

z

z

z1z2

1500 j1500 Ом,

12

1

2

z

z

2

1

z

z

z

z1z1

2500 Ом.

11

1

1

z

z

1

1

Рис. 10.5

В результате

получается

П-образная схема

(рис. 10.6), в которой

z

z11z3

2500( j1000)

344,83 j862,07Ом,

1Ï

z

z

3

2500 j1000

11

z2П z3П z12 1500 j1500 Ом.

Для П-образной схемы замещения симметричного (z2П z3П ) четырехпо-

люсника

B z1П 344,83 j862,07

= 928,48 68,2 Ом,

A D 1

z1Ï

1

344,83 j862,07

z2Ï

1500 j1500

0,92 25,93 ,

Рис. 10.6

97

Ñ z1Ï z2Ï z3Ï z2Ï z3Ï

344,83 j862,07 3000 j3000 0,882 10 3 57,41 См. (1500 j1500)2

2. Характеристическое сопротивление рассматриваемого симметричного четырехполюсника:

В	928,48 68,2

zс 1026 5,39 Ом.

С0,882 10

3.Коэффициент передачи четырехполюсника:

Гa jb ln(A ВС) ln(0,92 25,93

928,48 68,2 0,882 10 3 57,41 ) 0,549 j0,772.3 57,41

Ответ: A D 0,92 25,93 , B 928,48 68,2 Ом,

C 0,882 10 3 57,41 См, zc 1026 5,39 Ом,

Г 0,549 j0,772.

Задача 10.4

К выходным зажимам четырехполюсника (рис. 10.7), постоянные которого соответствуют

схеме на рис. 10.3 (задача 10.3), подключена ак- тивно-индуктивная нагрузка с номинальными данными: Рн = 32 Вт, Uн = 10 В, cos н = 0,8.

Определить активную мощность на первич-

Рис. 10.7

ных зажимах четырехполюсника.

Решение

Активная мощность на входе цепи может быть найдена по соотношению

*

P1 Re(U1 I1).

Для этого необходимо предварительно с помощью основных уравнений четырехполюсника в А-форме

98

10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

U

1

A

U2

B

I2,

(1)

I1

C

U2

D

I2

определить напряжение U1 и ток I1 на входе четырехполюсника по заданным выходным величинам U2 и I2.

С учетом того, что

I2	Рн			32	4А, 2	arccos(0,8) 36,87 ,
	Uнcos 2
		10 0,8
и как результат I2 I2 2				4 36,87 А,			(Uн=Uн 0), из системы урав-
нений (1) следует:

U1 0,92 25,93 10 0 928,48 68,2 4 36,87

3715,65 104,93 В,

I1 0,882 10 3 57,41 10 0 0,92 25,93 4 36,87

3,69 62,78 А.

Следовательно,

P1 Re(3715,65 104,93 3,69 62,78 ) 10,16 кВт.

Ответ: P1 10,16 кВт.

Задача 10.5

y

T

Требуется реализовать четырехполюсник, с помощью которого при постоянстве входного напряжения U1 ток в приемнике I2 оставался бы неизменным при любом сопротивлении приемника zпр.

Решение

Рис. 10.8 Выбираем Т-образную схему четырехполюсника (рис. 10.8).

Из уравнения четырехполюсника в А-форме

U1 AU2 BI2,

99

имея в виду, что

U

2 =

I

2 zпр,

следует

U

1

=

A

I2 zпр +

B

I2.

(1)

С учетом требуемых условий

U

1 = const,

I2= const

соотношение (1) может быть приведено к виду

U

1

Аzпр В const.

(2)

I2

Так как для Т-образной схемы четырехполюсника

A 1

z1Т

,

z3Т

выражение (2) принимает форму

z

1

1Т

zпр В const .

(3)

z3Т

Уравнение (3) в случае переменной нагрузки ( zпр var ) может выпол-

няться лишь при условии, когда

1 z1Т 0. z3Т

Откуда следует, что
z1Т z3Т .	(4)
Соотношение (4) реализуемо лишь в случае, если z1Т	и z3Т реактивные

сопротивления произвольной величины и противоположного знака, например: z1Т jxL, а z2Т jxC.

100		10. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
	ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 10.6
I1	r I2	Определить коэффициенты четырехполюсника,
		схема которого представлена на рис. 10.9.
1	2
U1 xC	U2	Ответ: А = 1, В = r, C j , D 1 j	r .
	2'
1'		xС	xС
	Рис. 10.9

Задача 10.7

На рис. 10.10 изображена векторная диаграмма для напряжений U1x, U2x и тока I1х симметричного четырехполюсника, работающего в режиме холостого хода. Найти коэффициенты четырехполюсника, если известно, что по модулю

U1x = 100 В, U2x = 200 В, I1х = 2,5А.

Ответ: А = D = 0,5, В = – j60 Ом,

Рис. 10.10

C = – j0,0125 См.

Задача 10.8

I1

1

r1

U1

r2

r3

I2

2

r4

U2

v

1' 2'

Рис. 10.11

Определить напряжение аккумуляторной батареи U1, питающей делитель напряжения (рис. 10.11), и ток батареи I1, если известно, что вольтметр с сопротивлением rV =10 000 Ом показывает напряжение U2 =

=40 В. Постоянные четырехполюсника:

А= 2,35, В = 2200 Ом,

С = 0,00275 См, D = 3.

Ответ: U1 = 102,8 В, I1 = 122 мА.

11. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ (соединение звездой)

Основные сведения

Трехфазный генератор

Под трехфазной симметричной системой ЭДС понимается совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на угол 120 .

ЕА, ЕВ, ЕС – система фазных ЭДС;

ЕА , ЕВ а2ЕA , ЕС аЕA;

где а еj120 – поворотный множитель (фазовый оператор);

ЕА ЕВ ЕС 0

Характеристики трехфазной цепи

U А0 , UВ0 , UС0 – фазные напряжения генера-

тора;

U АВ , UВС , UСА – линейные напряжения гене-

zл

I A

ратора;

U

U AB

Ua0

U

Uа0

, Ub0

, Uc0 – фазныенапряжения нагрузки;

EA

A0

za

010

1

1

1

1

z0

I0

Uab , Ubс ,

Uса

– линейные напряжения на-

EС

zb

EB

zc

U

CA1

U

Ub01

грузки;

U

C0

B0

zл

Uc01

IА,

IВ ,IС

–

линейные токи;

IC

UBC zл

IB

U010 – напряжение смещения нейтрали;

I0 – ток нейтрали

Расчет несимметричного режима ( za zb zc )

Несимметричный трехфазный режим не обладает какими-либо особенностями, упрощающими расчет. Как правило, применяют метод узловых потенциалов в сочетании собобщенным законом Ома

EA

EB

EС

U0 0

zл za

zл zb

zл zс

,

1

1

1

1

1

zл za

zл zb

zл zс

z0

IA

EA

U

0

1

0

,IB

EB

U

0

1

0

, IС

E

С

U

0

1

0

za zл

zb zл

zс zл

I0 IA IB IC