Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

1	2	2,4						1	2	2,4				1
	5,5	0,7			1строка		→	0	3,5			3,5	→	0
1										3,1
a1	0,8857		;		a0	2,4 2 ( 0,8857) 4,1714 .

	2	2,4
	1	0,8857

Следовательно,

y 4,1714 0,8857x

при

2

x

5,5

.

Расчет по четвертой и пятой точкам:												x4	5,5		,	y4	0,7 ;
Искомая функция:					y a0			a1 x .
1	5,5	0,7					1	5,5	0,7					1		5,5	0,7
	7,8	1,2		1строка		→	0	2,3	1,9			→		0		1	0,826
1											2,3
a1	0,826;		a0	0,7 5,5 0,826 5,243.
Следовательно, y 5,243 0,826x при												5,5 x 7,8.
Составим кусочно-линейную функцию:
			1 5,7x			1 x 0,
			1 0,7x			0 x 2,
y(x)		4,1714 0,8857x				2 x 5,5,
		5,243 0,826x			5,5 x 7,8.
Проверка:
y( 1) 1 5,7 ( 1) 6,7						- верно,
y(0) 1 0,7 0 1 - верно,

x	5

7,8

,

y	5

1,2

.

y(2) y(5,5) y(7,8)

4,1714 0,8857 2

5,243 0,826 5,5

5,243 0,826 7,8

2,4 - верно,

0,7 - верно,

1,2 - верно.

Графическая реализация кусочно-линейной интерполяции представлена на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Графическая реализация кусочно-линейной интерполяции

121

Построение кусочно-линейной интерполяционной функции. Решение в Microsoft Excel. Использование линии тренда

Реализация кусочно-линейной интерполяции в Microsoft Excel предствлена на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Кусочно-линейная интерполяция в Microsoft Excel

Построение кусочно-параболической интерполяционной функции.

Метод неопределенных коэффициентов. Ручной счет

Расчет по первой,

второй и третьей точкам:

x1 1,

y1 6,7

;

x2

0

,

y2

1

;

x3 2 , y3 2,4 .

y a0 a1 x a2 x

.

Искомая функция:

2

1	1
1	0
1	2
	1
→	0
	0

1	6,7
			1строка
0	1
4	2,4		1строка
1	1		6,7
	1		5,7
1
0	2		4,267		2

→

→

1

0

0

1 0 0

1	1
1	1
3	3
1	1
1	1
0	1

6,7
5,7
4,3
	3
6,7
5,7
2,134

	1
→	0
	0

1	1
1	1
1	1

6,7
5,7
		2 строка
1,433

→

a2 2,134 ;

a1

5,7 1 2,134

3,566

;

a	0

6,7 1 2,134 1 ( 3,566)

1

.

Следовательно,		y 1 3,566x 2,134x 2	при 1 x 2 .
Расчет по	третьей, четвертой и		пятой точкам: x3 2 ,	y3 2,4 ;	x4 5,5 ,
y4 0,7 ; x5	7,8 ,	y5 1,2 .
			122

Искомая функция:

y a	0

a x a x
		2
1	2

.

1	2	4	2,4				1	2	4	2,4
												3,5 →
1	5,5	30,25	0,7		1строка	→	0	3,5	26,25	3,1
					1строка					1,2		5,8
1	7,8	60,84	1,2				0	5,8	56,84

	1	2	4
→	0	1	7,5
	0	1	9,8

	2,4
	0,886
	0,207

2 строка

	1
→	0
	0

2	4
1	7,5
0	2,3

	2,4
	0,886
	0,679

2,3

	1
→	0
	0

2	4	2,4
1	7,5	0,886
0	1	0,295

a	2

0,295

;

a1

0,886 7,5 0,295

3,099

;

a0 2,4 4 0,295 2 ( 3,099) 7,418.

Следовательно,	y 7,418 3,099x 0,295x 2			при 2 x 7,8.
Составим кусочно-линейную функцию:
1 3,566x	2	,	1 x 2
	2,134x
y(x)			2 x 7,8
7,418 3,099x 0,295x2 ,

Проверка:

y y y y y

( 1) 1 3,566 ( 1) 2,134 ( 1)				2	6,7 - верно,
(0) 1 3,566 0 2,134 0	2	1	- верно,
(2) 7,418 3,099 2 0,295 2			2	2,4 - верно,
(5,5) 7,418 3,099 5,5 0,295 5,5						2		0,7 - верно,
(7,8) 7,418 3,099 7,8 0,295 7,8							2	1,2 - верно.

Графическая реализация кусочно-параболической интерполяци представлена на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Кусочно-параболическая интерполяция

123

Построение кусочно-параболической интерполяционной функции. Решение в Microsoft Excel. Использование линии тренда

Реализация кусочно-параболической интерполяции в Microsoft Excel представлена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Кусочно-параболическая интерполяция в Microsoft Excel

Построение интерполяционной функции полинома четвертой степени. Решение в Microsoft Excel. Использование линии тренда

Реализация интерполяции четвертой степени в Microsoft Excel представлена на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Построение интерполяционной функции полинома четвертой степени в Microsoft Excel

124

Построение линейной аппроксимирующей функции. Метод наименьших квадратов. Ручной счет

Искомая функция:									y a0 a1 x .
xi		1 0 2 5,5 7,8 14,3 ,
i		( 1)		0		2		5,5			7,8		96,09	,
xi
2			2		2		2			2		2
i
yi		6,7 1 2,4 0,7 1,2 10,6 ,
i
xi	yi 1 6,7 0 1 2 2,4 5,5 ( 0,7) 7,8 1,2
i

3,61

,

	5		14,3	10,6		5	1						1	2,86 2,12
								2,86	2,12
																→
	14,3				14,3		→	6,72	0,252		1строка	→	0
			96,09 3,61				1							3,86 1,868		3,86
		1	2,86	2,12
→
		0	1	0,484

a1

0,484

;

a0 2,12 2,86 ( 0,484) 3,504.

Следовательно, y 3,504 0,484x при 1 x 7,8 .

Вычисление значений найденной функции в заданных точках:

y( 1) 3,504 0,484 1 3,988,

y y y y

(0) (2) (5,5) (7,8)

3,504 3,504

3,504

3,504

0,484 0 0,484 2

0,484

0,484

3,504	,
2,536	,
5,5 0,842		,
7,8 0,271.

Вычисление отклонений найденной функции от исходных заданных точек:

12

y		y(x )
1		1
y	2	y(x	2

6,7 3,988 2,712 ) 1 3,504 2,504

,

,

3

y	3

y(x	3	)

2,4 2,536

0,136

,

4 y4	y(x4 ) 0,7 0,842 1,542 ,
5 y5	y(x5 ) 1,2 0,271 1,471.

График линейной аппроксимирующей функции представлен на рис. 4.10.

125

Рис. 4.10. Линейная аппроксимирующая функция

Построение линейной аппроксимирующей функции. Решение в Microsoft Excel. Использование линии тренда

Реализация линейной аппроксимации в Microsoft Excel представлена на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Линейная аппроксимирующая функция в Microsoft Excel

126

	Построение параболической аппроксимирующей функции. Метод
наименьших квадратов. Ручной счет
Искомая функция:														y a0					a1 x a2 x							2	.
xi	1 0 2 5,5 7,8 14,3																			,
i	( 1)			0					2				5,5				7,8						96,09				,
xi
2			2					2			2					2					2
i	( 1)			0					2			5,5					7,8					647,927 ,
xi
3			3				3			3					3					3
i	( 1)			0					2				5,5				7,8						4633,568 ,
xi
4			4					4			4					4					4
i
yi	6,7 1 2,4 0,7 1,2 10,6																						,
i
xi yi		1 6,7 0 1 2 2,4 5,5 ( 0,7) 7,8 1,2 3,61,
i	yi	( 1)				6,7 0								1 2					2,4 5,5						( 0,7) 7,8				1,2 68,133.
xi
2					2								2					2						2				2
i

	5	14,3
	14,3	96,09
	96,09	647,927

96,09 647,927 4633,568

10,6		5
		14,3
3,61
		96,09
68,133

→

111

2,86 6,72 6,743

19,218 45,31 48,221

	2,12
			1строка
	0,252
	0,709		1строка

→

1 2,86 → 0 3,860 3,883

19,218	2,12
			3,86 →
26,092	1,868
29,003	1,411		3,883

	1
	0
	0

2,86 1 1

19,218 6,76 7,469

	2,12
	0,484
	0,363		2 строка

→

1 2,86

→0 10 0

19,218

6,76

0,709

2,12

0,484 0,121

0,709

	1
→	0
	0

2,86	19,218	2,12
1	6,76	0,484
0	1	0,171

a a

2 0

0,171; a1 0,484 6,76 0,171 1,64 ;

2,12 19,218 0,171 2,86 ( 1,64) 3,524.

Следовательно, y 3,524 1,64x 0,171x							2	при 1 x 7,8 .
Вычисление значений найденной функции в заданных точках:
y( 1) 3,524 1,64 ( 1) 0,171 ( 1)				2	5,335 ,
y(0) 3,524 1,64 0 0,171 0	2	3,524				,
y(2) 3,524 1,64 2 0,171 2	2	0,928				,
y(5,5) 3,524 1,64 5,5 0,171 5,5			2	0,323			,
y(7,8) 3,524 1,64 7,8 0,171 7,82				1,136 .

Вычисление отклонений найденной функции от исходных заданных точек:

12

3

y
1
y	2

y3

y(x1 ) 6,7 5,335 1,365 ,y(x2 ) 1 3,524 2,524,

y(x3 ) 2,4 0,928 1,472,

4 y4 y(x4 ) 0,7 ( 0,323) 0,377 ,

127

5 y	5	y(x	5	)

График рис. 4.12.

1,2 1,136 0,064.

параболической аппроксимирующей функции представлен на

Рис. 4.12. Параболическая аппроксимирующая функция

Построение параболической аппроксимирующей функции. Решение в Microsoft Excel. Использование линии тренда

Реализация параболической аппроксимации в Microsoft Excel представлена на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Параболическая аппроксимирующая функция в Microsoft Excel

128

Пример 4.2

Используя первую или вторую интерполяционные формулы Ньютона, вычислить значения функции у=f(х) при следующих значениях

аргумента: х1=1,2173; х2=1,253; х3=1,210; х4=1,270.

	Таблица 4.3
Исходные данные
х	у
1,215	0,106044
1,220	0,106491
1,225	0,106935
1,230	0,107377
1,235	0,107818
1,240	0,108257
1,245	0,108696
1,250	0,109134
1,255	0,109571
1,260	0,110008

Решение. Составим таблицу конечных разностей (табл. 4.4).

				Таблица 4.4
	Таблица конечных разностей
i	xi	yi	y i	2
				y	i
1	1,215	0,106044	0,000447	-0,000003
2	1,220	0,106491	0,000444	-0,000002
3	1,225	0,106935	0,000442	-0,000001
4	1,230	0,107377	0,000441	-0,000002
5	1,235	0,107818	0,000439	0
6	1,240	0,108257	0,000439	-0,000001
7	1,245	0,108696	0,000438	-0,000001
8	1,250	0,109134	0,000437	0
9	1,255	0,109571	0,000437	-
10	1,260	0,110008	-	-

При вычислении разностей ограничиваемся разностями второго порядка, так как они практически постоянны. При х=1,2173 и х=1,210 пользуемся формулой Ньютона для интерполирования вперед:

f (x) y0 q y0 q(q 1) 2 y0 q(q 1)(q 2) 3 y0 ... , где q (x x0 ) / h . 2! 3!

Если х=1,2173, то q=(1,2173-1,215)/0,005=0,46;

129

	f (1,2173) 0,106044 0,46 0,000447	0,46( 0,54)	( 0,000003)
		2
	0,106044 0,0002056 0,0000004 0,106250.

Если х=1,210, то q=(1,210-1,215)/0,005=-1,

f (1,210) 0,106044 ( 1) 0,000447 0,000003 0,105594.
При х = 1,253	и х = 1,270 пользуемся формулой
интерполирования назад:
f (x) yn q yn 1	q(q 1) 2			q(q 1)(q 2)		3	... , где q
	y n 2				y n 3
	2!				3!
Если х=1,253, то q=(1,253-1,260)/0,005=-1,4;
f (1,253) 0,110008 ( 1,4) 0,000437					( 1,4)( 0,4)	0
					2
0,110008 0,000612 0,109396.
Если х=1,270, то q=(1,270-1,260)/0,005=2;
f (1,270) 0,110008 2 0,000437			2 3		( 0,000001) 0,110879.
				2

Ньютона для

(x xn ) / h .

Пример 4.3

Используя линейную интерполяцию, вычислить sin(0,6682). Предварительно убедиться в применимости формулы, для чего выбрать шесть значений из таблицы Брадиса и составить таблицу разностей.

Решение. Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков (табл. 4.5):

			Таблица 4.5
	Таблица разностей
x	sinx	y i	y
			2
				i
0,63	0,5891	0,0081	-0,0001
0,64	0,5972	0,0080	-0,0001
0,65	0,6052	0,0079	0,0000
0,66	0,6131	0,0079	-0,0001
0,67	0,6210	0,0078		-
0,68	0,6288	-		-

На возможность линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны.

При вычислении пользуемся формулой f (x) f (x0 ) q f (x0 ) , где q (x x0 ) / h , х0 – ближайшее значение в таблице, меньше чем 0,6682.

Имеем х0=0,66; q=(0,6682-0,66)/0,01=0,82;

sin(0,6682) 0,6131 0,82 0,0079 0,6131 0,0065 0,6196.

130