Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

Пример 4.4

Используя квадратичную интерполяцию, вычислить значения функции у=f(х) при следующих значениях аргумента: х1=1,5306; х2=1,5282. Предварительно убедиться в применимости формулы (табл. 4.6).

			Таблица 4.6		Решение. Выберем из таблицы
	Реализация квадратичной				несколько		значений и		составим
	интерполяции				таблицу разностей первого, второго
	х		у		и третьего порядков (табл. 4.7).
	1,524		21,354
	1,525		21,821
	1,526		22,308
	1,527		22,818
	1,528		23,352
	1,529		23,911
	1,530		24,498
	1,531		25,115
	1,532		25,763
	1,533		26,445
									Таблица 4.7
	Таблица разностей первого, второго и третьего порядков
	х		у		y i		yi		yi
							2		3
	1,527		22,818		0,534		0,025		0,003
	1,528		23,352		0,559		0,028		0,002
	1,529		23,911		0,587		0,030		0,001
	1,530		24,498		0,617		0,031		-
	1,531		25,115		0,648		-		-
	1,532		25,763		-		-		-

На возможность квадратичной интерполяции указывает тот факт, что разности второго порядка практически постоянны.

При вычислении пользуемся формулой

f (x)

f (x	0	) q f (x	0	)

q(q 1)	2
2

f

(x	0	)

,

где

q

(x

x	0	) /

h

;х0

–ближайшее

значение в таблице, меньше чем х.

Если х=1,5306, то х0=1,530; q=(1,5306-1,530)/0,001=0,6;

	f (1,5306) 24,498 0,6 0,617	0,6( 0,4)	0,031	24,498 0,3702 0,0037
		2

24,8645

.

Принимаем f

Если х=1,5282,

(1,5306) 24,864.

то х0=1,528; q=(1,5282-1,528)/0,001=0,2;

f (1,5306) 23,352 0,2 0,559 0,2( 0,8) 0,028 23,352 0,1118 0,0022 23,4616 . 2

Принимаем f (1,5282) 23,462.

131

Пример 4.5

Найти приближенное значение функции у=f(х) при х=0,263 с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (функция задана в неравноотстоящих узлах – табл. 4.8).

	Таблица 4.8
Исходные данные
х	у
0,05	0,050042
0,10	0,100335
0,17	0,171657
0,25	0,255342
0,30	0,309336
0,36	0,376403

Решение. Вычисления производим по формуле

		n
f (x)	n 1	( yi
		i 0

/

Di

)

, где

n 1

(x x	0	)(x

x1 )...(x

x	n	)

,

D

(x

i

x

0

)(x

i

x

)

...(x

i

x

i 1

)(x x

)(x

i

x

i 1

)

...(x

i

i

1

i

Вычисления приведены в табл. 4.9.

x	n	)

.

									Таблица 4.9
				Результаты вычислений
i			Разности					Di	yi / Di
0	0,213	-0,05	-0,12		-0,20	-0,25	-0,31	-0,19809∙10-4	-2526,2
1	0,05	0,163	-0,07		-0,15	-0,20	-0,26	0,44499∙10-5	25547,7
2	0,12	0,07	0,093		-0,08	-0,13	-0,19	-0,154365∙10-5	-111202,0
3	0,20	0,15	0,08		0,013	-0,05	-0,11	0,1716∙10-6	1488007,0
4	0,25	0,20	0,13		0,05	-0,037	-0,06	0,7215∙10-6	428740,0
5	0,31	0,26	0,19		0,11	0,06	-0,097	-0,980402∙10-6	-38392,7

Итак,

5 1

0,1506492 10	6

,

5 ( yi i 0

/ Di )

1790173,8

. Следовательно,

		5		i
f (0,263)
	5 1		( y
		i 0

/ D ) 0,1506492 10	6
i

1790173,8

0,269678

.

Пример 4.6

Найти приближенное значение функции у=f(х) при х=0,1157 с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (функция задана в равноотстоящих узлах – табл. 4.10).

132

Таблица 4.10

Исходные данные

х	у
0,101	1,26183
0,106	1,27644
0,111	1,29122
0,116	1,30617
0,121	1,32130
0,126	1,32660

Решение.									Вычисления
производим					y	по			формуле
f (x)				n				,
			(t)			i
	n 1			i 0	(t i)C		i
где	(t) t(t 1)(t 2)...(t n) ,
n 1
t (x x0 ) / h , h xi 1 xi ,
Ci ( 1)		n i		i! (n i)!.

Здесь t=(0,1157-0,101)/0,005=2,94.

Вычисления располагаем в табл.

4.11.

i

0

1

2

3

4

5

x	i

0,101

0,106

0,111

0,116

0,121

0,126

Результаты вычислений

y	i	t i	C	i	(t i)C	i
1,26183		2,94	-120		-352,8
1,27644		1,94	24		46,56
1,29122		0,94	-12		-11,28
1,30617		-0,06	12		-0,72
1,32130		-1,06	-24		25,44
1,32660		-2,06	120		-247,2

Таблица 4.11

y	i
(t i)C		i

-0,0035766

0,0274149

-0,1144691

-1,8141250

0,0519379

-0,0054069

Итак,

	(t) 0,7024271,
5 1

5	y
		i
i 0	(t i)C		i

1,858225. Следовательно,

		5	y
f (0,1157)	5 1	(t)		i
		i 0	(t i)C		i

0,7024271 ( 1,858225)

1,30527

.

Пример 4.7

Используя интерполяционные формулы Гаусса, вычислить приближенные значения функции у(х) при х=0,168 и х=0,175.

		Таблица 4.12
Исходные данные
х		у
0,12		6,278
0,14		6,404
0,16		6,487
0,18		6,505
0,20		6,436
0,22		6,259
0,24		5,954
	133

Составим таблицу конечных разностей функции у=f(х) (табл. 4.13)

					Таблица 4.13
		Таблица конечных разностей
xi	yi		yi	2	3
				yi	yi
x-3=0,12	y-3=6,278		0,126	-0,043	-0,022
x-2=0,14	y-2=6,404		0,083	-0,065	-0,022
x-1=0,16	y-1=6,487		0,018	-0,087	-0,021
x0=0,18	y0=6,505		-0,069	-0,108	-0,020
x1=0,20	y1=6,436		-0,177	-0,128	-
x2=0,22	y2=6,259		-0,305	-	-
x3=0,24	y3=5,954		-	-	-

Таблица заканчивается разностями третьего порядка, так как они практически постоянны.

Для определения значения х=0,168 примем х0=0,16; тогда

t=(x-x0)/h=(0,168-0,16)/0,02=0,4.

Воспользуемся первой формулой Гаусса:

y(x) y	0	t y	0
y(0,168) 6,487
6,487 0,0072

t(t 1)	2			(t
2!	y	1
0,4 0,018			0,4(
0,0078 0,0012

	1)t(t 1)		3	,
	3!		y 1
	0,6)	( 0,065)			1,4 0,4 ( 0,6)	( 0,022)
	2				6
	6,5032 6,503.

Для определения значения х=0,175 примем х0=0,18, тогда

t=(x-x0)/h=(0,175-0,18)/0,02=-0,25.

Воспользуемся второй формулой Гаусса:

y(x) y0 t y 1	t(t 1)	2			(t 1)t(t 1)		3	,
	2!	y 1			3!		y 2
y(0,175) 6,505 ( 0,25) 0,018			( 0,25) 0,75			( 0,087)			0,75 ( 0,25) ( 1,25)	( 0,022)
					2				6
6,505 0,0045 0,0082 0,0009			6,5078 6,508 .

Пример 4.8

Для функции y=f(x), заданной таблично (табл. 4.14) осуществить кусочно-линейное интерполирование и кусочно-квадратичное интерполирование.

134

	Таблица 4.14
Исходные данные
х		у
0		1,5
0,5		0
1		0
2		2
3		2
4		1
5		2
		S	k	(x)

В результате получим

Решение. Осуществим кусочно-линейное интерполирование. Для этого разобьем данную функцию на элементарные промежутки, определяемые соседними числами первого столбца таблицы – хк, и на каждом из этих участков построим интерполяционный полином Лагранжа первой степени (прямую линию):

yk	x x			k 1		yk 1		x x		k	.
	x		x				x		x
		k			k 1			k 1			k

	3х 1,5			при	0 х 0,5,
		0		при	0,5 x 1,
S1 (x)	2x 2			при	1 x 2,
		2		при	2 x 3,
	x 5			при	3 x 3,
			3	при	4 x 5.
	x
График			полученного			кусочно-линейного	интерполирования

представлен на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Кусочно-линейная интерполяция

Осуществим кусочно-квадратичное интерполирование. Для этого будем рассматривать тройки известных точек отрезков [0;1], [1;3], [3;5]. На каждом из этих отрезков по известным точкам построим полином Лагранжа второй степени (параболу):

135

S

(x)

y

(x x

k

1

)(x x

k 2

)

y

(x x

k

)(x x

k 2

)

y

(x x

k

)(x x

k 1

)

k

k

x

x

k 1

x

x

k 2

x

x

(x

)(x

)

(x

)(x

)

(x

)(x

)

k

k

1

k

k 2

k 1

k

k 1

k 2

k 2

k

k 2

k 1

.

В результате получим

3x

2

4.5x 1.5,

0 x 1,

2

S2

(x) x

5x 4

,

1 x 3,

x

2

8x

17,

3 x 5.

График полученного кусочно-квадратичного интерполирования представлен на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Кусочно-квадратичная интерполяция

Пример 4.9

Найти смыкающийся кубический сплайн, проходящий через точки: (0;0), (1;0,5), (2;2), (3;1,5). Первая производная удовлетворяет граничным

условиям S	(0) 0,2 и S			(3) 1 .
'			'
Решение. Кубический сплайн состоит из кубических полиномов
S(x) Sk (x) sk ,0		sk ,1 (x xk ) sk ,2 (x xk )			2	sk ,3	(x xk )	3	,
где 0 k N 1, N количество точек (хк,							ук), а xk			x xk 1 .

Коэффициенты сплайна S(x) вычисляются по формулам:

где

где

sk ,0 yk , sk ,1

mk

, sk ,2 dk

hk

(2mk mk 1 )

, sk ,3

mk 1 mk

,

(4.51)

2

6

6hk

mk S"(xk ) ; mk 1

S"(xk 1 ) ; hk xk 1

xk ; dk

y

k 1

y

k

.

h

k

Для вычисления mk применяется следующая формула:

hk 1mk 1 2(hk 1 hk )mk hk mk 1

uk ,

(4.52)

uk 6(dk dk 1 )

для k 1,2,...N 2 .

136

Система (4.52) является линейной системой с N-2 уравнениями и N неизвестными.

Для смыкающегося кубического сплайна дополняем ее уравнениями:

			3					S' (x			))		m
m					(d									1	,
	0		h				0			0			2
				0
m						3		(S' (x				) d				)	m	N 2	.
	N 1				h				N 1					N 2				2
						N 2

(4.53)

Сначала вычислим величины:

h	0	h	h					2		1,
		1
d	0	( y	1			y			0		) / h				0		(0,5 0) /1 0,5,
d	1	( y	2			y					) / h						(2 0,5) /1 1,5,
									1					1
d	2	( y	3			y				2		) / h				2	(1,5 2) /1 0,5,
u	1	6(d		1			d				0		) 6(1,5 0,5) 6,
u	2	6(d			2		d					1		) 6( 0,5 1,5) 12.

Из системы (4.52) получим уравнения:

m	0	4m		m	2	6,
			1
m		4m	2	m	3	12.
1

Воспользуемся формулами (4.53):

			3				S'(x				))		m
m					(d								1
	0		h			0				0			2
				0
m			3		(S'(x				) d			)	m	2
	3		h					3			2		2
				2

или

		3(0,5 0,2)	m			0,9	m
m			1				1
	0		2				2
m		3( 1 ( 0,5))		m	2	1,5		m	2	.
	3			2				2

Подставляя

m	0

и

m	3

в систему (4.52) получим

0,9	m	4m m					6
	1											m		5,1
									3,5m
	2		1			2
										1			2
								или
				m					m	3,5m				10,5.
m	4m		1,5		2		12
									1				2
1		2		2
Решая эту систему, получим, что											m1 2,52 и m2
Находим m0				и m3 :

3,72

.

m		0,9	2,52			0,36,
	0
				2
m	3	1,5 3,72 0,36.
				2
Значения				m0		0,36	,	m1 2,52 ,	m2 3,72 ,

находим коэффициенты сплайна. Решением является:

m	3	0,36

подставляем в (4.51) и

S0 (x) 0,48x3 0,18x 2 0,2x		0 x 1,
S1 (x) 1,04(x 1)3 1,26(x 1)2	1,28(x 1) 0,5	для 1 x 2,
S2 (x) 0,68(x 2)3 1,86(x 2)2	0,68(x 2) 2	2 x 3.
	137

Смыкающийся кубический сплайн показан на рис. 4.16.

Рис. 4.16 Смыкающийся кубический сплайн

Пример 4.10

Найти естественный кубический сплайн, проходящий через точки:

(0;0), (1;0,5), (2;2), (3;1,5) с граничными условиями	S"(0) 0 и		S"(3) 0.
Решение. Кубический сплайн состоит из кубических полиномов:
S(x) Sk (x) sk ,0 sk ,1 (x xk ) sk ,2 (x xk )	2	sk ,3 (x xk )		3	,
где 0 k N 1, N – количество точек (хк, ук), а xk	x xk 1 .

Коэффициенты сплайна S(x) вычисляются по формулам:

где

где

sk ,0 yk , sk ,1

m

k

,

dk

h (2m

k

m

k 1

)

,

m

k 1

m

k

sk ,2

k

sk ,3

2

6

6h

k

mk

S"(xk ) , mk 1

S"(xk 1 )

, где hk

xk 1

xk ,

d k

y

k 1

y

k

.

h

k

Для вычисления mk

применяется следующая формула

hk 1mk 1 2(hk 1 hk )mk

hk mk 1

uk

,

uk

6(dk dk 1 )

для k 1,2,...N 2 .

,

(4.54)

(4.55)

Система (4.55) является линейной системой с N-2 уравнениямии N неизвестными.

Для естественного кубического сплайна дополняем ее уравнениями:

m	0	0,
m	N 1		0.

(4.56)

Сначала вычислим величины:

h0	h1 h2 1,
d 0	( y1	y0 ) / h0	(0,5 0) /1 0,5,
d1	( y2	y1 ) / h1	(2 0,5) /1 1,5,
d 2	( y3	y2 ) / h2	(1,5 2) /1 0,5,
u1	6(d1	d 0 ) 6(1,5 0,5) 6,
u2	6(d 2 d1 ) 6( 0,5 1,5) 12.

138

Из системы (4.55) получим уравнения:

m	0	4m		m	2	6,
			1
m		4m	2	m	3	12.
1

Подставляя m0					и m3	в систему (4.55)
4m		m	2	6,
1
m	4m		2	12.
1

Решая эту систему, получим, что m1 Значения m0 0 , m1 2,4 , m2 3,6 ,

находим коэффициенты сплайана. Решением является:

получим:

2,4	и m2 3,6
m3	0 подставляем в (4.54) и

S		(x) 0,4x	3	0,1x
	0
S		(x) 1(x 1)				1,2(x 1)			1,3(x 1) 0,5
					3			2
	1
S		(x) 0,6(x 2)				3	1,8(x 2)		2	0,7(x 2)	2
	2

для

0 x 1, 1 x 2, 2 x 3.

Естественный кубический сплайан показан на рис. 4.17.

Рис. 4.17 Естественный кубический сплайн

Пример 4.11

Найти экстраполяционный кубический сплайн, проходящий через точки: (0;0), (1;0,5), (2;2), (3;1,5).

Решение. Кубический сплайн состоит из кубических полиномов

S(x) Sk (x) sk ,0 sk ,1 (x xk ) sk ,2 (x xk )2 sk ,3 (x xk )3 ,

где 0 k N 1, N количество точек (хк, ук), а xk x xk 1 . Коэффициенты сплайна S(x) вычисляются по формулам:

sk ,0 yk , sk ,2

dk

h (2m

k

m

k 1

)

, sk ,1

m

k

,

m

k 1

m

k

k

sk ,3

6

2

6h

k

где m

S"(x

) , m

S"(x

) ,

h

x

x

,

d

yk 1 yk

.

k

k 1

k 1

k 1

k

k

k

k

hk

Для вычисления mk

применяется следующая формула

hk 1mk 1 2(hk 1 hk )mk hk mk 1 uk ,

(4.57)

(4.58)

139

где

uk

6(dk

dk 1 )

для

k 1,2,...N

системой с N-2 уравнениями и N Для экстраполяционного

уравнениями:

2 . Система	(4.58) является линейной
неизвестными.
кубического	сплайна дополняем ее

m

m

h

(m

m )

,

0

2

1

0

1

h

1

m

m

h

N

2

(m

N

2

m

N 3

N 1

N 2

h

N 3

)	.

(4.59)

Сначала вычислим величины:

h	0	h	h					2		1,
		1
d	0	( y	1			y			0		) / h				0		(0,5 0) /1 0,5,
d	1	( y	2			y					) / h						(2 0,5) /1 1,5,
									1					1
d	2	( y	3			y				2		) / h				2	(1,5 2) /1 0,5,
u	1	6(d		1			d				0		) 6(1,5 0,5) 6,
u	2	6(d			2		d					1		) 6( 0,5 1,5) 12.

Из системы (4.58) получим уравнения

m	0	4m		m	2	6,
			1
m		4m	2	m	3	12.
1

Воспользуемся формулами (4.59):

m		m			h	(m			m )
					0		2		1
	0	1				h
								1
m		m			h	(m			m )
					2			2	1
	3		2				h
									1

или

m	0	m		(m	2		m ) 2m			m	2
		1					1	1
m	3	m	2	(m		2	m ) 2m		2	m .
							1				1

Подставляя					m0	и m3		в систему
2m m			4m m				6		или
	1	2	1			2
m 4m		2	2m	2	m		12
1						1
Получим, что m1							1	и m2	2 .
Находим m0					и m3 :
m0	2 2 4,
m3	4	1 5.

(4.58) получим

6m1 6,

6m2 12.

Значения m0

4

, m1

коэффициенты сплайна. Решением является:

1

,

m	2

2

,

m	3	5

подставляем в (4.57) и находим

S		(x) 0,5x	3	2x			2	x
S	0	(x) 0,5(x 1)					0,5(x 1)					1,5(x 1) 0,5
					3						2
S	1	(x) 0,5(x 2)					(x 2)			(x 2) 2
						3			2
	2

0 x 1,

для 1 x 2,

2 x 3.

Экстраполяционный кубический сплайн показан на рис. 4.18.

140