Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

Рис. 4.18. Экстраполяционный кубический сплайн

Пример 4.12

Найти кубический сплайн, заканчивающийся параболой, проходящий

через точки: (0;0), (1;0,5), (2;2), (3;1,5).

Решение. Кубический сплайн состоит из кубических полиномов:

S(x) Sk (x) sk ,0 sk ,1 (x xk ) sk ,2 (x xk )

2

sk ,3 (x xk )

3

, где

0 k N 1

;

N

количество точек (хк, ук);

xk

x xk 1 .

Коэффициенты сплайна

S(x)

вычисляются по формулам:

m

k

h (2m

k

m

k 1

)

sk ,3

m

k 1

m

sk ,0 yk , sk ,1

,

sk ,2

dk

k

,

k ,

(4.60)

2

6

6hk

где mk S"(xk ) , mk 1 S"(xk 1 ) ,

hk xk 1 xk ,

dk

y

k 1

y

k

.

h

k

Для вычисления mk применяется следующая формула:

hk 1mk 1

2(hk 1 hk )mk

hk mk 1

uk ,

(4.61)

где

u	k	6(d	k	d	k 1	)

для

k

1,2,...N

2

.

Система (4.61) является линейной системой с N-2 уравнениямии N неизвестными.

Для кубического сплайна, заканчивающегося параболой, дополняем ее уравнениями:

m	0	m		,
			1
m	N 1		m		N 2	.

(4.62)

Сначала вычислим величины:

h0	h1 h2 1,
d 0	( y1	y0 ) / h0	(0,5 0) /1 0,5,
d1	( y2	y1 ) / h1	(2 0,5) /1 1,5,
d 2	( y3	y2 ) / h2	(1,5 2) /1 0,5,
u1	6(d1	d 0 ) 6(1,5 0,5) 6,
u2	6(d 2 d1 ) 6( 0,5 1,5) 12.

Из системы (4.61) получим уравнения:

141

m	0	4m			m			2	6,
				1
m		4m		2	m			3	12.
1
Воспользуемся формулами (4.62):
m	0	m	,
		1
m	3	m	.
		2
Подставляя									m0 и m3		в систему (4.61) получим:
m 4m m								6			или	5m m			6,
1			1			2							1	2
m 4m			2		m		2		12			m	5m	2	12.
1												1
Решая эту систему, получим, что															m1 1,75	и m2
Находим							m0 и m3			:
m	0	1,75,
m	3	2,75.

2,75

.

Значения

m	0

1,75

,

m1

1,75

,

m	2

2,75

,

m	3	2,75

подставляем в (4.61) и

находим коэффициенты сплайна. Решением является:

S

(x) 0,875x

3

0,375x

0

(x) 0,75(x 1)

0,875(x 1)

1,375(x 1) 0,5

для

S1

3

2

S

(x) 1,375(x 2)

3

0,875(x 2) 2

2

Кубический

сплайн,

заканчивающийся

на рис. 4.19.

0 x 1, 1 x 2, 2 x 3.

параболой, показан

Рис. 4.19. Кубический сплайн, заканчивающийся параболой

Пример 4.13

Найти кубический сплайн урегулированной кривизны, проходящий

через точки: (0;0), (1;0,5), (2;2), (3;1,5).

граничным условиям S"(0) 0,3

и S"(3)

Вторая производная удовлетворяет

3,3 .

Решение. Кубический сплайн состоит из кубических полиномов

S(x) Sk (x) sk ,0 sk ,1 (x xk ) sk ,2 (x xk )2 sk ,3 (x xk )3 ,

где 0 k N 1, N количество точек (хк, ук), а xk x xk 1 .

142

Коэффициенты сплайна S(x)

вычисляются по формулам:

sk ,0 yk , sk ,1

m

k

,

dk

h (2m

k

m

k 1

)

,

sk ,3

m

k 1

m

k

,

sk ,2

k

2

6

6h

k

где m

S"(x

) , m

S"(x

)

, h

x

x

, d

yk 1

yk

.

k

k 1

k 1

k 1

k

k

k

k

hk

Для вычисления mk

применяется следующая формула

hk 1mk 1 2(hk 1 hk )mk

hk mk 1

uk

,

где uk

6(dk dk 1 )

для

k 1,2,...N 2 .

(4.63)

(4.64)

Система (4.64) является линейной системой с N-2 уравнениями и N неизвестными.

Для кубического сплайна урегулированной кривизны дополняем ее уравнениями:

m	0	S"(x		0	),
m	N 1		S"(x			N 1	).

(4.65)

Сначала вычислим величины:

h	0	h	h					2		1,
		1
d	0	( y	1			y			0		) / h				0		(0,5 0) /1 0,5,
d	1	( y	2			y					) / h						(2 0,5) /1 1,5,
									1					1
d	2	( y	3			y				2		) / h				2	(1,5 2) /1 0,5,
u	1	6(d		1			d				0		) 6(1,5 0,5) 6,
u	2	6(d			2		d					1		) 6( 0,5 1,5) 12.

Из системы (4.64) получим уравнения:

m	0	4m		m	2	6,
			1
m		4m	2	m	3	12.
1

Воспользуемся формулами (4.65):

m	0	S"(0) 0,3,
m	3	S"(3) 3,3.

Подставляя	m0 и
0,3 4m1 m2	6

m1 4m2 3,3 12

m	3

в систему (4.64) получим:

или	4m		m		6,3,
	1			2
	m	4m		2	15,3.
	1

Решая эту систему, получим, что

Значения

m0

0,3

,

m1

2,7

,

m2

находим коэффициенты сплайна.

m1 2,7

4,5

, m3

иm2 4,5 .

3,3 подставляем в (4.63) и

143

Решением является:

S		(x) 0,5x	3	0,15x				2	0,15x
	0
S		(x) 1,2(x 1)					1,35(x 1)				1,35(x 1) 0,5
						3				2
	1
S		(x) 1,3(x 2)			3	2,25(x 2)				2	0,45(x 2)	2
	2

для

0 x 1, 1 x 2, 2 x 3.

Кубический сплайн урегулированной кривизны показан на рис. 4.20.

Рис. 4.20. Кубический сплайн урегулированной кривизны

Пример 4.14
Пусть в		результате		экспериментального			изучения	зависимости
y f x получена таблица значений в пяти точках (табл. 4.15).
								Таблица 4.15
				Исходные данные
xi		0,1		0,3	0,5		0,8	1
yi		0,3		0,55	0,65		0,4	0,25

Найти			аппроксимирующий		полином	первого
y P	x b	b	x	методом наименьших квадратов.
1	0	1
Записываем матрицы нормальной системы для						y Ax B
первой степени:

С

n=5,

n

n xi

i 1

n			n
xi			yi
i 1		B	i 1		,
n			n
xi2			yi xi
i 1		i 1

n
xi	0,1 0.,3 0.5 0.8 1 2,7 ,
i 1
n
xi2	0,01 0,09 0,25 0,64 1 1,99 ,
i 1

порядка

полинома

144

n
yi	0,3 0,55 0,65 0,4 0,25 2,15 ,
i 1
n
xi	yi 0,1 0,3 0,3 0,55 0,5 0,65 0,8 0,4
i 1

То есть расчетная система имеет вид

1

0,25

1,09

.

	5	2,7		2,15			a
								1		,
C			B			A
	2,7			1,09
		1,99				a		2

	5a1	2,7a2	2,15		,	a2	0,13	,	a1
		1,99a2		1,09
2,7a1

0,5

,

тогда искомый полином примет вид:

P1 (x)

0,5 0,13x

.

4.19. Пример применения аппроксимации и интерполяции функций в экономике

Предельный анализ и оптимизация прибыли, издержек и объема производства

Вернемся к задаче максимизации прибыли предприятия. Математическое решение данной задачи сводится к максимизации функции прибыли P = kQ –Z.

Функция имеет экстремум, когда ее производная равна нулю:

	dP	0;	d (kQ)		dZ	.
	dQ		dQ		dQ

Анализ зависимости между ценой продукта и его количеством в динамике позволяет выбрать для функции спроса линейную форму вида k = a0 + a1Q. Анализируется n периодов, в каждом из которых считаются заданными параметры ki и Qi. По методу наименьших квадратов определяются неизвестные параметры a0 и a1 на основе составления и решения системы нормальных уравнений вида

n	n
n a0 a1 Qi ki ,
i 1	i 1
n	n	n
a0 Qi a1 Qi2		ki Qi .
i 1	i 1	i 1

Аналогично проводится анализ зависимости между издержками и количеством выпускаемой продукции, который позволяет определить для функции издержек линейную форму связи вида Z = b0 + b1Q. Неизвестные

145

b0 и b1 также находятся на основе решения системы нормальных уравнений вида

0

n

i

n

i

1

nb

b

Q

Z

,

i 1

i 1

n

i

n

i

n

i i

0

1

b

Q

b

Q

2

Z Q .

i 1

i 1

i 1

Оптимальные параметры определяются из соотношений:

Q	opt
N		opt



b		a		0
1
	2a
			1
k	opt		Q
			opt

;

;

Z	opt
P
	opt

b0	b1Qopt			;	kopt		a0	a1Qopt		;
N	opt	Z	opt	a		0	a Q		Q	b
							1	opt	opt	0

b1Qopt

.

Обычно предельный анализ проводится с использованием метода наименьших квадратов путем решения систем линейных уравнений для нахождения функций спроса и издержек. Табличный процессор Excel позволяет существенно уменьшить объем вычислений путем использования встроенных функций линейной регрессии.

Найденные функции спроса k(Q) и издержек Z(Q) позволяют определить функцию прибыли P(Q).

Решение задачи аппроксимации с помощью инструмента «Поиск решения».

Порядок выполнения в Microsoft Excel. На рис. 4.21 введены исходные данные.

Рис. 4.21. Исходные данные

146

1.Ввести таблицу исходных данных. В ячейку В9: =В6*В7, скопировать формулу до столбца G. В ячейку В10: =В9-В8, скопировать формулу до столбца G.

2.В ячейки А16, В16, Е16 и F16 ввести значения 0. Заполнить столбцы Q, k и Z, для этого перенести данные из предыдущей таблицы.

3.Для заполнения столбца Z*=a0+a1*Q в ячейку С19 ввести формулу =$F$16+$E$16*A19, скопировать ее до строки 24.

4.В ячейку D19 ввести формулу =(B19-C19)^2, скопировать до строки

24.

5.В D25: = СУММ(D19:D24).

6.Для нахождения k*=b0+b1*Q в F19: =$B$16+$A$16*A19 скопировать до строки 24.

7.В G19: =(F19-E19)^2скопировать до строки 24.

8.В G25: = СУММ(G19:G24).

9.С помощью инструмента «Поиск решения» найти коэффициенты a1 и а0, для этого целевую ячейку выбрать $G$25, изменяя ячейки $A$16:$B$16 до минимального значения, нажать «Найти решение».

10.Аналогично найти коэффициенты b1 и b2. Целевая ячейка $D$25, изменяя ячейки $E$16:$F$16 до минимума.

11.Построить графики функций и соответствующие им линии тренда.

На рис. 4.22 представлен результат работы формул.

Рис. 4.22. Решение задачи аппроксимации

147

На рис. 4.23. приведены полученные графики с вставленной линией тренда.

Рис. 4.23. Графики с линией тренда

Максимальное значение функции прибыли P(Q) (Popt) при некотором значении Q (Qopt) может быть найдено через «Поиск решения». Для этого необходимо:

1.Установить начальное значение Q (=100 в С17).

2.В С50 ввести формулу для вычисления =(B16+A16*C51)*C51- ($F$16+$E$16*C51).

3.Сервис →«Поиск решения» адрес целевой ячейки С50, установить

флажок на поиск максимального значения, указать адрес изменяемой ячейки С51, нажать «Найти решение».

Создать таблицу, иллюстрирующую зависимость прибыли от объема производства, ячейки А55:А65 заполнить по образцу, в ячейку В55:

=($B$16+$A$16*A55)*A55-($F$16+$E$16*A55), скопировать до строки

45, построить график и добавить линию тренда (квадратичную).

148

Контрольные вопросы

1.Как ставится задача интерполяции?

2.Какие виды интерполяции вы знаете?

3.В чем суть и геометрический смысл линейной интерполяции?

4.Какова схема построения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа?

5.Чему равна сумма вспомогательных многочленов Лагранжа?

6.Как выглядит оценка точности при интерполировании многочленом Лагранжа?

7.Что можно сказать об оценке погрешности при решении задачи интерполирования непрерывной функции, если не накладывать на нее никаких дополнительных ограничений?

8.Что такое сплайн-интерполяция и в чем ее суть?

9.Как ставится задача аппроксимации?

10.Какой метод применяется при нахождении аппроксимирующего полинома?

149

Жак Шарль Франсуа Штурм

(1803 – 1855)

Жозеф Лиувилль

(1809 – 1882)

Огюстен Луи Коши

(1789 – 1857)

5. Нахождение собственных чисел и векторов

Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или собственным значением системы. С задачами на собственные значения инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные

значения определяют главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответствуют собственным частотам колебаний, а собственные вектора характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения

задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных

значений. Методы преобразований подобия несколько сложнее, но позволяют определить все собственные значения и собственные вектора.

В 1826 г. Огюстен Луи Коши при изучении квадратичных форм n

150