Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

Рис. 8.4. Графическая иллюстрация третьей модификации метода Эйлера

В нашем случае на каждом последующем шаге нужно одновременно решать оба уравнения и для y, и для z, т.е. надо решать четыре уравнения при каждом x:

y	1	y		h z	,
i			i	i
	2
				h f x , y				,
z	1	z	i				, z
i					i	i	i
	2

z

i

z

1

i

y y

h

2

,

i

i

2

z

z

h

f x , y

, z

, y

, z

f x

i

i

i

2

i

i

i

i 1

i

1

1

2

2

.

Метод Рунге-Кутта

Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:

y g(t, y, x,...),x f (t, y, x,...),

которые имеют решение y=y(t), x=x(t), где t – независимая переменная; х, y и т.д. – искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. – заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение – частный случай системы с одним элементом. Поэтому далее речь пойдет для определенности о системе уравнений.

Метод может быть полезен и для решения дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, так как они могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка.

231

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для системы дифференциальных уравнений n-го порядка заключается в рекуррентном применении следующих формул:

, где , yi зависимая функция,

j – номер шага.

Для дифференциального уравнения второго порядка, которое раскладывается в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка, рассматриваем применение следующих формул:

		y			y				1	K	i	2K	i	2K		i	K		i	,
				i 1			i		6		0		1			2			3
									1	L								,
	z				z						2L		2L		L
										i		i		i			i
			i 1			i			6	0		1		2			3
	где
										,										,
								,												,
								,												,
								,												.

8.5. Примеры

Пример 8.1

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

с начальными условиями x(0) = 3, y(0) = 0.

Решим систему методом исключения. Cведем систему дифференциальных уравнений к одному дифференциальному уравнению. Выразим из второго уравнения x:

232

Дифференцируем по t

	Подставим x								dy		3y
									dt
		d	2	y		dy			dy
					3						3y
				2			2
		dt				dt			dt

x

dy

3y

dt

dx

d

2

y

обе части полученного уравнения:

3

dt

dt

dx

d

2

y

dy

и

3

в первое уравнение системы:

dt

dt

dt

4 y

d

2

y

dy

. Упростим:

2

2y 0 .

dt

dt

(8.1)

	dy	.
	dt

Получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка с

постоянными коэффициентами:

y''y' 2y 0

.

Составим и решим характеристическое уравнение:

.

D 1 8 9

;

D 3

.

.

1

,

2

– получены

различные

действительные

корни, поэтому

1

1

y t C e

t

C

e

2t

.

1

2

Продифференцируем найденную функцию по t:

y' t C1e

t

C2e

2t

t

C1e

t

2C2e

2t

.

y t C e

Подставим

t

C

2

e

2t

и

y' t C e

t

2C

e

2t

в уравнение (8.1):

1

1

2

x t

dy

3y C e

t

2C e

2t

3 C e

t

C e

2t

dt

1

2

1

2

C e

t

2C

e

2t

3C e

t

3C

e

2t

4C e

t

C

e

2t

,

2

1

1

2

1

2

или короче

x t 4C e

t

C

e

2t

.

1

2

Общее решение системы:

x t

4C e t

C

e2t

1

2

, где С1 и С2 – const.

C e

t

C

e

2t

y t

2

1

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

x(0)=3, y(0)=0.

Частное решение:

x t 4e t e2t ,
	t e2t .
y t e

Проверка начальных условий: x(0)=4-1=3, y(0)=1-1=0. Оба начальных условия выполняются.

Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы dxdt 2x 4 y . Найдем производную функции x(t) 4e t e2t :

233

x'(t)
x'(t) 4e	t

4e	t
2e
		2t

e	2t t	4e	t	2e	2t	. Подставим

в первое уравнение системы:

.

x(t) 4e	t

e2t

,

y(t) e	t	e	2t

и

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению

системы

dy

x

3y

.

Найдем

производную

dt

y'(t) e t

e2t t e t

2e2t .

y(t) e

e

и

y'(t) e

Подставим x(t) 4e

t

e

2t

,

t

2t

t

системы

dy

x 3y

dt

,

,

,

.

функции y(t) e t e2t :

2e

2t

во второе уравнение

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы. Проверка завершена.

Пример 8.2

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям:

x' 2x 5y 3,

y' 5x 6 y 1,

при x(0)=6, y(0)=5.

Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве f(t), g(t) выступают константы. Используем метод исключения.

Из первого уравнения системы выражаем

	1			dx		(8.2)
y					2x 3
	5			dt

234

Дифференцируем по t обе части:

. Подставим

	1				dx
y						2x 3		и
	5				dt
dy	5x 6 y 1						:
dt

Преобразуем:

dy		1			d	2	x		dx
								2
							2
dt		5			dt
									dt

во второе уравнение системы

.

.

Упростим: , .

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

d	2	x
dt		2

Найдем

4 dx 13x dt

общее решение соответствующего однородного уравнения

0 .

Составим и решим характеристическое уравнение:

λ	2		4λ 13
λ		1,2		2 3i

	0	, D 16 52 36 ,	λ1,2		4 6i	,
					2

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому

X

e	2t	C cos3t
		1

C	2

sin3t

.

Частное		решение неоднородного				уравнения ищем в виде				~	A .
										x
Найдем первую и вторую производную:						x	0 ,	x	0 .
						~t		~tt
Подставим	~	, x	,	x	в левую часть неоднородного уравнения:
	x	~t		~tt

0 4 0 13A 13	,
13A 13,
A=1.
Таким образом		~	1	. В результате
		x

Ищем функцию y(t). Сначала найденной функции x(t):

~
x t X x

находим

e	2t	C cos3t C		sin3t
			2
		1

производную от

1

.

уже

t

2t

t

2t

t

2t

t

t e

C cos3t C

sin3t 1

e

C cos3t C

sin3t e

C cos3t C

0

x

2

2

2

sin3t

1

1

1

2e 2t C1 cos3t C2 sin3t e 2t C1 sin3t 3C2 cos3t

2e 2t 2C1 cos3t C2 sin3t 3C1 sin3t 3C2 cos3t

2e	2t	2C 3C		cos3t
		1	2

Подставим в уравнение (8.1)

3C 2С		2
1
x t	e 2t

sin3t .C1os3t C 2sin3t 1 и

xt t 2e 2t 2C1 3C2 cos3t 3C1 2С2 sin3t :

235

Общее решение системы

x 0

Найдем
6	,	y 0

частное

5	:

решение, соответствующее начальным условиям

x 0 C 1 6
	1
	4C1	3C2			→	C 5	,
			1	5		1
y 0
		5

20 3C2

5

4 →

20 3C2

20

→

C2

0

.

Окончательно частное решение

Ответ: частное решение:

Пример 8.3

Дифференциальное уравнение модифицированным методом Эйлера (первая модификация) с начальными условиями x0=a=0,

y0=1/9=0.(1), y'(0)=z0= -3,5.

Для вычислений возьмем n=2, → i=0,1,2.

236

При i=1 получим

При i=2 получим:

Составим сводную табл. 8.1 решений дифференциального уравнения аналитическим методом и методом Эйлера, при этом вычислив относительную и абсолютную погрешности.

				Таблица 8.1
	Расчеты для метода Эйлера первой модификации
x	у первой модификации Эйлера	точное	y		100%
0	1/9	1/9	0		0%
0,5	-1,446	-1,476	0,03		3%
1	-2,78	-2,845	0,065		6,5%

Средняя ошибка вычисления методом Эйлера: S=(3%+6,5%+0%)/3=3,17%, 3,17%<20%, значит, результаты, полученные методом Эйлера, можно считать достаточно верными.

Пример 8.4
Решить дифференциальное	уравнение	, используя
вторую модификацию метода	Эйлера. Начальные	условия: x0=a=0,
y0=1/9=0.(1), y'(0)=z0= -3,5.

Для вычислений возьмем n=2, → i=0,1,2.

При i=1 получим:

х1=x0+hx=0+0,5=0,5,

237

,

,

,

.

При i=2 получим:

х2=x1+hx=0,5+0,5=1,

,

,

,

.

Составим сводную табл. 8.2 решений дифференциального уравнения аналитическим методом и методом Эйлера, при этом вычислив относительную и абсолютную погрешности.

				Таблица 8.2
	Расчеты для метода Эйлера второй модификации
x	у второй модификации Эйлера	y точное	y	100%
0	1/9	1/9	0	0%
0,5	-1,254	-1,476	0,222	22,2%
1	-2,947	-2,845	0,102	10,2%

Средняя ошибка в вычислении второй модификацией метода Эйлера:

S=(22,2%+10,2%+0%)/3=10,8%, 10,8%<20%, значит, результаты, полученные

методом Эйлера, можно считать достаточно верными.

Пример 8.5

Решить дифференциальное уравнение	8y			3y x 5	, с
			2y

начальными условиями x0=a=0, y0=1/9=0,(1), y'(0)=z0= -3,5 методом РунгеКутта.

Запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:

Для вычислений возьмем n=2, → i=0,1,2. При i=1 получим:

238

х1=x0+hx=0+0,5=0,5,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

При i=2 получим:

х2=x1+hx=0,5+0,5=1,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

239

.

Составим сводную таблицу (табл. 8.3) решений дифференциального уравнения аналитическим методом и методом Рунге-Кутта, при этом вычислив относительную и абсолютную погрешности.

				Таблица 8.3
	Расчеты для метода Рунге-Кутта
x	у метода Рунге-Кутта	y точное	y		100%
0	1/9	1/9	0		0%
0,5	-1,476	-1,476	0		0%
1	-2,844	-2,845	0,001		0,1%

Средняя ошибка в вычислении методом Рунге-Кутта:

S=(0,1%+0%+0%)/3=0,03%, 0,03%<20%, значит, результаты, полученные

вычислениями по методу Рунге-Кутта, можно считать достаточно верными.

8.6. Примеры применения решения системы дифференциальных уравнений в экономике

Понятие о разностных уравнениях. Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса

Уравнение вида

F n, xn , xn 1 ,..., xn k 0	,
Разностное уравнение вида

(8.3)

где

B	n	, B	n 1	,..., B	n k	, K

B	x	n	B x	n 1	... B	x	n	k	K
0			1		k
некоторые					функции				от

,	(8.4)
n, называется	линейным

разностным уравнением k-го порядка.

В случае, когда коэффициенты

B	n

, B	n 1	,..., B	n k

являются константами,

методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [22]. Продемонстрируем это для разностных уравнений второго порядка

xn 2

pxn 1

qxn K

(8.5)

Так же, как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (8.5) определяется по формуле

xn x n X n ,

(8.6)

где x(n) – некоторое частное решение уравнения (8.5); X(n) – общее решение соответствующего однородного уравнения (случай K=0). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо вначале решить характеристическое уравнение

240