Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

5.6. Пример применения нахождения собственных значений в экономике

Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид

	0,2		0,3	0,2
		0,4	0,3	0,1
	A
		0,3	0,3	0,5
		0,1	0,1	0,2

	0,2
	0,2
	0,2
	0,4

.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

x	x	2	x	3	x	4	6270.
1
	Решение.							Необходимо	найти собственный вектор x , отвечающий
собственному								значению λ 1 заданной структурной матрицы A , т.е.
решить уравнение A E x 0									, которое в нашем случае имеет вид

	0,8		0,3	0,2
		0,4	0,7	0,1
		0,3	0,3	0,5
		0,1	0,1	0,2

	0,2	x
			1
	0,2	x2
	0,2		x
				3
	0,6
		x4

		0
		0
		0
		0

.

Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной, остальные выражаются через нее.

Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора x :

x1

	140	c
	121

,

x	2

	146	c
	121

,

x	3

	20	c
	11

,

x	4

c

.

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, определим величину c : c 1210.

Откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле: x1 1400, x2 1460, x3 2200 , x4 1210.

161

Контрольные вопросы

1.Что такое характеристический определитель и характеристический многочлен матрицы.

2.Какие значения называются собственными значениями матрицы?

3.Какие векторы называются собственными векторами матрицы?

4.Какие точные и итерационные методы Вы знаете для нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов?

5.Какой собственный вектор можно найти с помощью итерационного метода?

6.Как строится матрица вращения в итерационном методе вращений?

7.Запишите итерационную формулу для итерационного метода нахождения собственных векторов.

8.На чем основан метод Леверрье-Фаддеева?

9.Запишите общий вид нормальной формы Фробениуса.

10.В чем заключается суть метода Данилевского?

162

Б. Кавальери

(1598 – 1647)

И. Кеплер

(1571 – 1630)

Архимед

(287 до н.э.)

6. Численное интегрирование

Вычислением площадей поверхностей и объемов тел занимался еще великий греческий математик и механик Архимед в III в. до н. э. Результаты Архимеда были изложены в обычной для греческой математики геометрической форме, в которой вместо современных предельных переходов использовался так называемый метод исчерпывания. Этот метод был пригоден для доказательства правильности уже найденных иным способом результатов, но не для отыскания этих результатов. В 1906 г. была открыта рукопись

послания Архимеда к Эратосфену, из которой стало ясно, что Архимед получал свои результаты исходя из наглядных представлений о разбиении тел на бесконечно малые элементы.

Первым европейским математиком, систематически употреблявшим такие наглядные рассуждения, был И. Кеплер. В своей «Новой астрономии» (1609 г.) он рассматривает «сумму всех радиус-векторов эллипса», то есть разбивает площадь эллипса на бесконечно малые сектора, вершиной которой является фокус эллипса. В 1615 г. вышла книга Кеплера «Стереометрия винных бочек», в которой он определил объемы и площади поверхности различных тел. Многие результаты Кеплера были новыми по сравнению с

древнегреческой математикой.

К идеям Кеплера примкнул ученик Галилея Б. Кавальер. Представления о бесконечно малом у Кавальери были точнее, чем у Кеплера. Он систематически пользуется понятием «неделимых», движением которых получаются различные фигуры. Например, он считал, что площадь плоской фигуры представляется «совокупностью» всех пересекающих ее прямых, параллельных какой-либо

163

касательной контура. Отсюда он получил «принцип Кавальери», позволяющий доказывать равенство площадей тех или иных фигур, равенство объемов различных тел.

			Ряд новых результатов в вычислении
			площадей и объемов был получен П. Ферма,
			который распространил известные ранее методы
			вычисления площадей параболических сегментов
			на случай алгебраических кривых с дробными и
			отрицательными				показателями. П. Ферма и
			Б. Паскаль применяли, по сути, преобразования
			интегралов. Некоторые теоремы Паскаля об
			объемах		являются геометрическим				эквивалентом
			замены переменных и интегрирования по частям.
Пьер Ферма			Полностью				арифметизирован		предельный
(1601 – 1665)			переход		был		английским
			математиком Дж. Валлисом.
Валлис широко пользовался неполной индукцией.
Взаимно обратный характер задач о вычислении
площади криволинейной трапеции и о проведении
касательной был открыт в 1664 г. английским
математиком		И.	Барроу,	учителем			и	другом
И. Ньютона. Впрочем, связь этих задач была по
существу ясна уже Э. Торричелли и Дж. Грегори.									И. Барроу
Исследование			связи		между		операциями		(1630 – 1677)
дифференцирования и интегрирования, свободное от
геометрической			интерпретации,			было		дано
И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем. Современное
обозначение интеграла принадлежит Лейбницу,
который рассматривал интеграл как «сумму всех
ординат».	Сам		знак	интеграла				является
стилизованной латинской буквой S (первой буквой
слова summa). Название «интеграл» принадлежит
ученику Лейбница Я. Бернулли.									Г. В. Лейбниц
Ньютон и его ученики (Р. Котес и др.)									(1646 - 1716)
рассматривали		интегрирование				иррациональных

функций. Систематическое исследование интегрирования элементарных функций было завершено Эйлером в его книге «Интегральное исчисление». Вскоре выяснилось, что далеко не все интегралы от элементарных функций выражаются через элементарные функции.

Великий русский математик П. Л. Чебышев полностью исследовал этот вопрос для некоторых классов иррациональных функций (так

164

называемых биномиальных дифференциалов). Чтобы выразить интегралы

		от элементарных функций, были введены
		различные новые функции (эллиптические
		функции, интегральный синус, интегральный
		логарифм и т. д.).
			Современное		понятие		определенного
		интеграла как предела интегральных сумм
		принадлежит		Л.	Коши.	Немецкий		математик
		Б. Риман распространил определение Коши							на
П.Л. Чебышев		простейшие		классы		разрывных		функций.
(1821 – 1894)		Детальное изучение интегралов					от	разрывных
		функций начинается со второй половины XIX в.
			Французский математик Г. Дарбу дал
		определение интеграла (верхние и нижние
		интегральные суммы Дарбу). После длительного
		периода поисков наиболее удобное определение
		интеграла		от	разрывной		функции		дал
		французский математик А. Лебег.
			Большой вклад в изучение различных
		обобщенных		интегралов внесли				голландский
Г. Дарбу		математик Т. Стилтьес, французский математик
(1842 – 1917)		А.	Данжуа,	а	также	советские		математики
		Н. Н. Лузин. А. Я. Хинчин,
А. Н. Колмогоров и другие.
Но математический аппарат не давал результата
при интегрировании некоторых функций. Решением
этой задачи с практической точки зрения послужили
квадратуры. Теория квадратурной формы впервые
была изложена А. Лежандром (1798 г.). Общая
теория квадратурных форм создана К. Гауссом - ему
принадлежит	и	термин	квадратурная		формула,		А. Н. Колмогоров
который встречается в его первом					крупном		(1903 – 1987)
сочинении	«Арифметические			исследования»,
опубликованном в 1801 г.

Квадратурные формулы Ньютона–Котеса впервые появились в письме И. Ньютона к Г. Лейбницу в 1676 г., а затем в книге Р. Котеса (1722 г.), где указаны коэффициенты формулы при n=2, 3,.., 10.

Среди формул можно выделить формулу Симпсона, названную по имени Т. Симпсона, который получил её в 1743 г. Формула была известна ранее, например, учёному Дж. Грегори (1668 г. ).

165

6.1. Семейство квадратурных формул Ньютона Котеса

Квадратурные формулы Ньютона Котеса используются для вычисления определенного интеграла при помощи нескольких значений интегрируемой функции.

Квадратурной формулой называется формула вида

где

n
Aj	f (x j	)
j 0

b	n
		f (x j ) ,	(6.1)
f (x)dx Aj
a	j 0
- квадратурная сумма;	Aj - квадратурные коэффициенты, x j -

узлы квадратурной формулы. Остаточным членом квадратурной

	b
Rn	f (x)dx
	a

формулы называется величина

n
Aj	f (x j	) .
j 0

Существуют разные подходы к построению квадратурных формул. Рассмотрим построение формул Ньютона-Котеса. Пусть заданы значения интегрируемой функции f(x) в точках x0 , x1 , x2 ...xn , принадлежащих отрезку

a,b . Для f(x) строим интерполяционный многочлен Лагранжа n-й
степени:	(x x0 )(x x1 )...(x xn )
n
Ln (x) f (x j )											.
	(x x	) (x		x	)(x		x )...(x		x	)
j 0			j			j		j
	j			0			1		n

Тогда формула (6.1) примет вид:

b

b

f (x)dx

a

a

b

(x x )(x x

)...(x

x

)

где

Aj

0

1

n

a

(x x

j

) (x

j

x

0

)(x

j

x

)...(x

j

1

Ln

x	n

(

)

n
x)dx Aj f (x j ) ,	(6.2)
j 0
dx .

Формула (6.2) называется интерполяционной квадратурной

формулой.

Если узлы квадратурной формулы (6.2) равноотстоят друг от друга на

величину

h ,

то, делая

замену

переменных x x0 th и обозначая

x

x

h

i

i 1

,

где

i 0, n 1, получаем новое выражение для квадратурных

коэффициентов:

Aj

h( 1)n j

n t(t 1)(t 2)...(t n)

dt .

j!(n j)!

(t j)

0

166

Поделив

A	j

на

b

a

, учитывая, что

h

b a n

, получим коэффициенты

квадратурной формулы Ньютона-Котеса:

	C	n
		j

		A	j
		(b a)

( 1)	n j	n	t(t
nj!(n j)!
		0

1)...(t n) (t j)

dt

.

Сама же формула Ньютона-Котеса имеет вид

b

a

n

f (x)dx (b a) C n j

j 0

f

(x	j

)

.

(6.3)

На самом деле, формула (6.3) определяет семейство квадратурных формул. Параметром этого семейства является число n - степень интерполяционного многочлена, которым заменяется подынтегральная

функция.
C j	При заданных значениях n коэффициенты формулы Ньютона-Котеса
	принимают значения, приведенные в табл. 6.1.
n
								Таблица 6.1
			Коэффициенты формулы Ньютона-Котеса
n \ i		1	2	3	4	5	6	знаменатели
	2	1						2
	3	1	4					6
	4	1	3					8
	5	7	32	12				90
	6	19	75	50				288
	7	41	216	27	272			840
	8	751	3577	1323	2989			17280
	9	989	5888	-928	10496	-4540		28350
	10	2857	15741	1080	19344	5778		89600
	11	16067	106300	-48525	272400	-260550	427368	598752

Кквадратурам Ньютона-Котеса относятся:

Метод левых прямоугольников;

Метод правых прямоугольников;

Метод средних прямоугольников;

Метод трапеций;

Метод Симпсона.

167

6.2. Метод левых прямоугольников

Рис. 6.1. Графическая реализация метода левых прямоугольников

Метод основан на аппроксимации функции f(x) на каждом частичном интервале xi ; xi 1 многочленом Лагранжа нулевой степени yi 1 a0 const .

Другими

площади

S	n		f (x	n 1

словами, для нахождения

прямоугольников	S1 f
)h (рис. 6.1) и сложить их.

значения

(x0 )h ,

S2

интеграла необходимо

f (x1 )h , …,

Si

f (xi 1 )

найти h , …,

b	0	1
	f (x)dx h[ f (x	) f (x ) ...
a

f

(x	n 1	)]

.

6.3. Метод правых прямоугольников

Рис. 6.2. Графическая реализация метода правых прямоугольников

Метод основан на аппроксимации функции f(x) на каждом частичном

интервале xi ; xi 1 многочленом Лагранжа нулевой степени

yi 1

a0

const .

Другими словами, для нахождения значения интеграла необходимо найти

площади прямоугольников S1 f (x1 )h ,

S2

f (x2 )h , …,

Si

f (xi

)h , …,

S	n		f (x	n	)h

(рис. 6.2) и сложить их.

b

f (x)dx h[ f (x1 ) f (x2 ) ... f (xn )].

a

168

6.4. Метод средних прямоугольников

Рис. 6.3. Графическая реализация метода средних прямоугольников

Метод основан на аппроксимации функции f(x) на каждом частичном

интервале

x ; x
i	i 1

многочленом Лагранжа нулевой степени

y	i 1
	2

a	0

const

.

Другими словами, для нахождения значения интеграла необходимо найти

	среднее значение х, используя каждые две соседние точки						xc1		x	x	,
									0	1
										2
	xc2		x x		и т.д., определить площади	S1 f (xc1 )h , S2 f (xc 2 )h , … Sn			f (xcn )h
			1	2
				2

(рис. 6.3) и сложить их.

b f (x)dx h[ f (xc0 ) a

f (x	c1	) ...

f

(x	cn

)]

.

6.5. Метод трапеций

Рис. 6.4. Графическая реализация метода трапеций

Метод основан на аппроксимации функции f(x) на каждом частичном

интервале

xi ; xi 1

многочленом Лагранжа первой степени

yi

a0 a1x .

Другими словами, для нахождения значения интеграла необходимо найти

	площади	S1	f (x0 ) f (x1 )	h ,	S2	f (x1 ) f (x2 )	h , …,	Sn	f (xn 1 ) f (xn )	h
			2			2			2

(рис. 6.4), равные площадям получившихся трапеций, и сложить их.

169

b
f (x)dx h
a

f (x	)
0
	2

	f (x		)	n 1
		n
				i 1

f

(x )
i

.

6.6. Метод Симпсона (парабол)

Рис. 6.5. Графическая реализация метода Симпсона (парабол)

Метод основан на аппроксимации функции f(x) на каждом частичном

интервале xi 1 ; xi 1 (количество частичных отрезков	xi 1 ; xi должно быть
четным) многочленом Лагранжа второй степени yi a0 a1 x a2 x		2	, т.е.

параболой. Он имеет вид

.

Проинтегрируем (x)

Таким образом, получим

Оценим теперь	погрешность интегрирования по формуле Симпсона.
Будем считать, что	у f на отрезке [x0 , x0 2h] существуют непрерывные

производные

f ',

f ' ',

f ' ' ',

f

' ' ' '

. Составим разность

170