Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

	λ	2	pλ q 0 .				(8.7)
	После этого могут возникнуть три варианта.
1.	Оба корня λ1 и λ 2 действительно различны,						тогда общее решение
	находится по формуле		λ1 C2	λ		,	(8.8)
	X n C1				2
			n		n
	где С1 и С2 – произвольные константы.
2.	Оба корня действительны и равны ( λ1 =			λ	2	= λ ), тогда

X n C1 nC2 λ	n	.	(8.9)
3. В случае комплексно сопряженных корней λ1,2			r cos i sin

X n r	n	C cos n
		1

C	2

sin

n

.

Пример 8.6

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла СамуэльсонаХикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

I t V Y t 1 Y t 2 ,

(8.10)

где коэффициент V > 0 – фактор акселерации; I(t) – величина инвестиций в период t; Y(t-1), Y(t-2) – величины национального дохода в (t-1)-м и (t-2)-м периодах соответственно. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е.

C t Y t 1 b .	(8.11)
Условие равенства спроса и предложения имеет вид
Y t I t C y .	(8.12)
Подставляя в (8.12) выражение для I(t) из (8.10) и выражение для
C(t) из (8.9), находим
Y t a V Y t 1 VY t 2 b .	(8.13)

Уравнение (8.12) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины а и V постоянны).

Замечание. Мы можем легко найти частное решение уравнения (8.13), если положим, что

Y t Y t 1 Y t 2 Y * ,	(8.14)
т.е., использовав в качестве частного решения равновесное	решение
Y* const . Из (8.13) в силу (8.14) имеем
241

Y* a V Y * VY * b ,
откуда
1	.	(8.15)
Y* b 1 a
	1	в форме (8.15) носит название
Заметим также, что выражение 1 a

мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.

Пример 8.7

Рассмотрим модель Самуэльсона-Хикса при условии, что а=0,5; V=0,5; b =4. В этом случае уравнение (8.12) принимает вид

	Y t Y t 1 0,5Y t 2 4 .
	Его частным решением будет	y t	4	8	. Найдем корни
			0,5
		1

характеристического уравнения				λ	2
Имеем λ1,2 1 i		π	i sin
	2 cos	4

π 4

λ 0,5

.

0

.

Таким образом, общим уравнения является

~	t
Y

решением

	2	t
		A cos
			1

соответствующего однородного

tπ	A2		tπ	,
4		sin
			4

где А1 и А2 – произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения будет

Y t 8		t	tπ	A2		tπ
	2	A1 cos	4		sin	4	.

Замечание. В зависимости от значений a и V возможны четыре типа динамики. Она может быть растущей или затухающей и при этом иметь или не иметь колебательный характер.

Пример 8.8

При помощи разностных уравнений можно дать трактовку процессов сходимости и расходимости в паутинных моделях рынка. Для упрощения выкладок предположим также, что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложение от цены на предыдущем этапе, т.е. dt a bpt , st m npt 1 , где a, b, m, n – положительные действительные

числа.

Таким образом, если

s	t

d	t

, то
a m bpt	npt 1 .	(8.16)

242

Уравнение (8.16) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. В качестве

частного решения можно использовать равновесное решение

(8.17)

p

t

p const

.

Подставив выражение для pt

из (8.16) и (8.17), легко получить

p

a m

.

b

n

Решая характеристическое

уравнение

bλ n 0 , находим

λ n / b .

Следовательно,

n

t

a m

.

(8.18)

pt

C1

b

b n

Таким образом, из (8.18) вытекает, что динамика цен носит колебательный характер. При этом, если n<b, то последовательность цен {pt} будет сходиться к равновесному состоянию, если n>b, то с течением времени последовательность {pt} будет удаляться от равновесного состояния, если же n=b, то будет иметь место циклические колебания цены относительно равновесного состояния.

Пример 8.9

Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены P и ее производных:

		D(t) 3P P 2P 18,
		S(t) 4P P 3P 3.
		Данные зависимости вполне реалистичны:
		Спрос меняется от изменения темпа цены: если темп роста растет
( P		0 ), рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост

цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком «минус».

Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения

цены, поэтому коэффициент при	P		в функции	S(t) больше, чем в D(t).

Рост цены также увеличивает предложение – потому слагаемое,

содержащее P	, входит в выражение для S(t) со знаком «плюс».
Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку
равновесное	состояние	рынка	характеризуется равенством	D S ,
приравниваем	правые	части	и приводим подобные получаем:

P 2P 5P 15.

243

Пусть в изменения: t

начальный момент времени известны цена и тенденция ее

0, P 4, P 1.

Решение. Выразим из исходного уравнения вторую производную и введем замену z=P’. Получаем задачу в формальном виде

при начальных условиях

t	0	0, P	4, z	0	1.
		0

Промежуток интегрирования:

a=0, b=3. Количество разбиений n=3. Вычислим шаг

	h	b a
		n

3 0

3

1

.

Метод Эйлера (простой). Ручной счет

При i=0 получим

При i=1 получим

При i=2 получим

Составим таблицу (табл. 8.4) значений функции и производной

Таблица 8.4

Расчеты для метода Эйлера (простого)

t	P(t)	P’(t)
0	4	1
1	5	-6
2	-1	-4
3	-5	24

Решение метода Эйлера в Microsoft Excel представлено на рис. 8.5.

244

Рис. 8.5. Метод Эйлера (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Формулы в Microsoft Excel

245

Метод Эйлера с усреднением. Ручной счет

При i=0 получим

При i=1 получим

При i=2 получим

Составим табл. 8.5 значений функции и производной.

Таблица 8.5

Расчеты для метода Эйлера (с усреднением)

t	P(t)	P’(t)
0	4	1
1	1,5	-1,5
2	5,25	2,25
3	-0,375	-3,375

246

Решение метода Эйлера с усреднением в Microsoft Excel представлено на рис. 8.7.

Рис. 8.7. Метод Эйлера с усреднением (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Формулы в Microsoft Excel

247

Метод Эйлера с центрированием. Ручной счет

При i=0 получим:

При i=1 получим:

При i=2 получим:

Составим табл. 8.6 значений функции и производной.

Таблица 8.6

Расчеты для метода Эйлера (с центрированием)

t	P(t)	P’(t)
0	4	1
1	1,5	-1,5
2	5,25	2,25
3	-0,375	-3,375
	248

Решение метода Эйлера с центрированием в Microsoft Excel представлено на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Метод Эйлера с центрированием (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Формулы в Microsoft Excel

Решение при n=100 представлено на рис. 8.11.

249

Рис. 8.11. Решение при n=100

Решение в редакторе Visual Basic представлено на рис. 8.12.

Рис. 8.12. Решение в редакторе Visual Basic

Код программы Visual Basic:

Function Fz(ByVal t As Double, ByVal P As Double, ByVal z As Double) Fz = 15 - 2 * z - 5 * P

End Function

250