Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

				1							0										0
B		V B			0	22 8				6 (	6 4) 77 22				6		(7		6)(		6 4		77 22		6 )
	2		2 1
							(7		6)( 6 4					77 22	6 )		22 8		6 (		6 4) 77 22				6
				0
										16 6 16
	16		6 16
			4				(98	28		6)(	6 4			77 22	6 )		.
		2	6 10				(24	14		6)(	6 4			77 22	6 )
Получаем новую систему												A2 X B2 :
6		6 6						5		6 5										5 6 5								X		1
		0	(77 22					6)(	77 22			6		6 4)	(175 50			6)(		6 4			77 22	6 )					X
																														2
		0								0					(24 14			6)(		6 4		77 22		6 )
																												X		3
					16 6 16
		(98 28		6)(			6 4			77	22
												6 ) .
		(24 14		6)(			6 4			77	22	6 )
Отсюда X 1				1		1 .

Пример 2.3

Дана система:

	x		2x		2		4x					3		x				4		21,
		1
		2x		8x					6x						4x							52,
							2							3							4
			1
				10x						8x						8x								79,
	3x							2							3							4
			1
	4x			12x					2	10x						3		6x					4		82.
			1
	Решим систему четырех линейных алгебраических уравнений
методом LU-разложения. Для отыскания решения воспользуемся тем
фактом, что
																1						2			4	1			1		0	0	0		1		2	4	1
																	2					8			6	4				2	1	0	0			0	4	2	2
										A																														LU .
																																						2
																3					10				8	8			3		1	1	0		0		0		3
																4					12 10					6			4		1	2	1		0		0	0	6
Для решения системы LY B используем метод прямой подстановки
	y																				21,
		1
		2 y		y																		52,
						2
			1
				y			y														79,
	3y				2						3
			1
	4 y			y		2		2 y					3		y				4		82.
			1
	Получаем														значения:													y1	21,				y2 52 2 y1					10,		y3 79 y2	3y1 6 ,
y4	82 4 y1 y									2 2 y3								24 .									Таким						образом,						получили		вектор

Y [21, 10, 6, 24] .

Теперь записываем системуUX Y :

51

x		2x	2		4x	3			x	4		21,
	1
		4x2			2x3				2x4			10,
					2x				3x			6,
							3				4
									6x4			24.

Для решения данной системы используем обратную подстановку, получаем значения:

x4		24	4	,	x3		6 3x	4	3	,	x2		10 2x	4	2x	3	2	,
		6					2						4

Получили вектор-решение исходной системы

x1 Х



21 x	4	4x	3	2x	2
1,2,3,4 .

1

.

2.10. Примеры применения СЛАУ в экономике

Пример 2.4

Модель Леонтьева. Понятие межотраслевого баланса. Метод «затраты-выпуск»

Широкие возможности применения количественных методов исследования при изучении межотраслевых связей основывается на том, что в процессе общественного производства между отраслями народного хозяйства складываются определенные количественные пропорции и взаимосвязи [18].

В условиях высокого уровня разделения труда каждая отрасль производства теснейшим образом связана с другими отраслями: с одной стороны, она получает от них сырье, материалы, топливо, оборудование и т.п., а с другой – снабжает их своей продукцией. Отрасли, производящие предметы потребления, обеспечивают своей продукцией потребности населения. Все эти взаимосвязи могут быть определены количественно. На производство единицы продукции при данных условиях производства требуется определенное количество соответствующих видов сырья, материалов, топлива, электроэнергии и конкретные виды оборудования. Количественное изменение объема производства одних отраслей вызывает необходимость соответствующего изменения объема производства отраслей, технологически связанных с производством данного продукта.

Взаимосвязи между отраслями народного хозяйства получают ясное и наглядное выражение в межотраслевом балансе (МОБ) общественного продукта (ВНП). Такой баланс позволяет получить подробную и взаимоувязанную количественную и качественную характеристику межотраслевых связей в производстве.

52

Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции построен на основе метода «затраты–выпуск», исторические корни которого можно обнаружить еще в XVIII-XIX вв. Например, в «Экономической таблице» Ф. Кенэ было представлено движение потоков продукции между крестьянами, земельными собственниками и промышленниками. Элементы метода «Затратывыпуск» есть и у Маркса. Однако в современном виде модель «затратывыпуск» впервые была предложена В. Леонтьевым в 1936 г.

Схема межотраслевого баланса может быть представлена в виде таблицы (рис. 2.9), межотраслевой баланс – четырьмя квадрантами.

В первом квадранте – показатели материальных издержек на производство продукции. Во втором – показатели отражают конечную продукцию, используемую на личное потребление, накопление, государственные закупки и экспорт. В третьем показатели добавленной стоимости (заработная плата, прибыль, рента, процент) и импорта. В четвертом – показатели перераспределения чистого национального продукта (ЧНП). Таблица межотраслевых связей отражает по графам затраты, т.е. элементы, образующие стоимость продукции по каждой отрасли, а по строкам – структуру распределения продукции каждой отрасли национальной экономики.

53

Рис. 2.9. Схема межотраслевого баланса

По строкам и графам под номерами 1,2,3,… показаны производственные отрасли (угольная, электроэнергетика, черная металлургия и др.), причем одноименные как по строкам, так и по графам. Вся произведенная продукция по каждой отрасли обозначается через Yi, где индекс i указывает номер отрасли. Затраты продукции одной отрасли на производство продукции другой обозначаются через xij, причем i указывает номер отрасли, продукция которой используется на производственное потребление, аj есть номер отрасли, в которой она потребляется.

Так, если угольной отрасли присвоен №1, электроэнергетике – №2, черной металлургии – №3 и т.д., то, например, x12 обозначает расход угля на выработку электроэнергии, x23 – расход электроэнергии на производство черных металлов, x31 – расход черных металлов на добычу угля, x21 – расход электроэнергии на добычу угля.

54

В межотраслевом балансе количественное выражение экономических связей каждой отрасли производства с другими отраслями может быть представлено в виде системы линейных уравнений. Если рассматривать данные межотраслевого баланса по строкам, то система линейных уравнений для первой отрасли примет вид

Y1 = x11+x12+x13+…+x1j+…+x1m+y1.

Поскольку y1=e1+a1, можно записать уравнение в виде

Y1 = x11+x12+x13+…+x1j+…+x1m+e1+a1.

Тогда сокращенная запись примет вид

		m
Y			x
1			1 j
		j 1

y1

, или

		m
Y			x	e
1			1 j	1
		j 1

a1

,

где Y1 – вся продукция первой отрасли; j– номер отрасли производства по столбцам межотраслевого баланса; m – число отраслей производства по столбцам межотраслевого баланса; x1j – продукция первой отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли j; y1 – продукция первой отрасли, использованная на непроизводственное потребление (e1)

инакопление (a1).

Внашем примере это означает, что весь объем производства угля

(Y1) равен сумме расхода угля на собственные нужды угольной промышленности (x11), на производство электроэнергии (x12), на производство черных металлов (x13), на производство продукции других отраслей (x1m) и расходу угля на непроизводственное потребление и

накопление (y1).

Для i-й отрасли система линейных уравнений примет следующий

вид

		m
Y			x	ij	e	i	a	i
i
		j 1

,

(2.5)

где Yi – вся продукция i-й отрасли; i – номер отрасли производства по строкам межотраслевого баланса; j – номер отрасли производства по столбцам межотраслевого баланса; xij – продукция i-й отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли j; yi – продукция i-й отрасли, использованная на непроизводственное потребление (ei) и

накопление (ai).

Если рассматривать межотраслевой баланс по столбцам, то система линейных уравнений примет вид

n
Yj xij Z j	или
i 1
n
Yj xij W j Pj	,	(2.6)
i 1

где Yj – вся продукция j-й отрасли; xij – продукция i-й отрасли, израсходованная на производство продукции отрасли j; Zi – добавленная стоимость j-й отрасли, имеющая вид

55

Z	j

W	j

Pj

,

где Wi – оплата труда в j-й отрасли; Pj– чистый доход в j-й отрасли. Приведенные системы уравнений (2.5) и (2.6) являются

математическим описанием двустороннего процесса воспроизводства, нашедшего отражение в межотраслевом балансе: процесса кругооборота валового внутреннего продукта (ВВП) по материально-вещественному составу (первая система уравнений) и по затратам (вторая система уравнений).

Поскольку в межотраслевом балансе итоги по одноименным отраслям, записанные по строкам и графам, одинаковы и равняются объему валовой продукции соответствующей отрасли, а в целом по всем строкам и графам – всему ВВП, то могут быть записаны следующие равенства:

для отдельных одноименных отраслей материального производства

m		n
xkj ek	ak	xik Wk	P k ,
j 1		i 1

для всего ВВП

n	m	n		n	m
xij		ai	ei	xij
i 1	j 1	i 1		i 1	j 1

k=1,2,…,n,m.

m
W j	Pj .
j 1

(2.7)

(2.8)

При этом продукция, использованная на потребление и накопление (по строкам), равна добавленной стоимости (по графам) только в целом по итогу всех отраслей производства, где она выражает величину национального дохода (НД):

n		m
ai	ei	W j
i 1		j 1

Pj

.

По каждой отрасли в отдельности эти итоги не равны, так как экономическое содержание их разное: yi по каждой отрасли выражает процесс использования продукции данной отрасли на непроизводственное потребление и накопление, а Wj+Pj добавленную стоимость по каждой отрасли.

Приведенные системы уравнений (2.5) и (2.6) отражают линейную зависимость между затратами на производство и выпуском продукции. Если увеличить производство продукции по какой-либо отрасли, то соответственно (при прочих равных условиях) возрастут затраты на производство продукции данной отрасли. Количественно эта связь выражается через коэффициенты затрат продукции одной отрасли на производство продукции другой. Коэффициенты эти принято обозначать через aij. Они показывают расход продукции i-й отрасли на производство

56

продукции j-й отрасли и исчисляются по формуле

	a			X
		ij		Y

ij j

, откуда

X	ij	a	Y	j
		ij

,

где aij – коэффициенты затрат продукции отрасли i на

производство единицы продукции отрасли j; xij – общий объем затрат продукции отрасли i на производство продукции отрасли j; Yj – общий объем производства продукции отрасли j.

Коэффициенты затрат aij отражают прямые связи между отраслями, например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициенты прямых затрат.

Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей xij через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли aijYj, то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий вид:

		m
Y			a	Y	j	y	i
i			ij
		j 1

, i = 1,2,…,n

(2.9)

Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат aij в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат, характеризующих производственные связи между отраслями. Матрица эта имеет следующий вид:

	a		a	...
		11	12
	a21		a22 ...
	A
		... ... ...
			an2 ...
	an1

a
	1m
a	2m
...
a	nm

     

.

Приведенную выше систему уравнений (2.9) в матричной форме

можно записать в виде Y AY y или
E A Y y	(2.10)

где E – единичная матрица. Матрицу А также называют технологической матрицей. Уравнение (2.8) называют матричным уравнением Леонтьева.

Таким образом, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска y, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Заметим, что матрица E A 1 называется матрицей полных затрат. Элементы этой матрицы называются коэффициентами полных материальных затрат и включат в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к

57

предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Рассмотренная межотраслевая модель является статической, то есть такой, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причем в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определенные упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений, прежде всего, следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

В качестве примера рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса, предполагая, что экономика страны состоит из трех отраслей (1 - промышленности, 2 - сельского хозяйства и 3 - транспорта).

Пусть технология производства характеризуется коэффициентами технологических затрат: с11=0,1; с12=0,2; с13=0,2; с21=0,2; с22=0,2; с23=0,4;

с31=0,3; с32=0,4; с33=0,1. При полном использовании производственных возможностей отрасль 1 может произвести 668,2; отрасль 2 – 1197,47; отрасль 3 – 1310,53 ед. продукции. Каков должен быть спрос на конечную продукцию этих отраслей, чтобы их производственные мощности использовались полностью?

y	1
y	2
y	3

111

c		x
11		1
c	22	x
		1
c	33	x
		1

c12 x2

c21 x1

c31 x1

 

c			x		3
13
c		23		x		3
c	33		x		3

 

0,9 668,42 0,2 1197,47 0,2 1310,53 0,8 1197,47 0,2 668,42 0,4 1310,53 0,9 1310,53 0,3 668,42 0,4 1197,47

100 ,

300 ,

500 .

Теперь рассмотрим обратную задачу. Пусть в экономике, состоящей из трех отраслей – 1, 2, и 3, технология производства характеризуется следующими коэффициентами технологических затрат: с11=0,1; с12=0,2;

с13=0,2; с21=0,2; с22=0,2; с23=0,4; с31=0,3; с32=0,4; с33=0,1. Спрос на конечную продукцию каждой отрасли соответственно равен y1=100;

y2=300; y3=500. Найти выпуски продукции каждой отрасли, удовлетворяющие данному спросу. Задача может быть решена численно на ЭВМ с использованием языков программирования либо одного из стандартных пакетов прикладных программ. При больших порядках системы (в реальной ситуации количество отраслей существенно больше,

58

чем в нашем	примере) более правильно использовать не прямые, а
итерационные	методы решения систем линейных уравнений. Введем
следующие переобозначения:		a11 1 c11 ,	a12 c12 ,	a13 c13 ,	a21 c21 ,

a22 1 c22

,

a 23 c23

,

a31 c31

,

система принимает вид

a	32

c	32

,

a	33	1

c	33

,

b
1

y1

,

b	2

y	2

,

b	3

y	3

. Тогда

	a		11	x	a	12	x	2		a	13		x		3		b	,
				1													1
		a		x	a		x			a				x			b		,
			21			22			2			23				3
				1													2
		a		x	a		x			a				x			b .
			31			32			2			33				3
				1													3

Записав систему в приведенном виде, получим итерационную формулу для нахождения вектора неизвестных:

	x	k 1		1	b	a			x			k			a			x		k		,
	1			a	1	12						2			13					3
				11
	x	k 1		1	b	a					x			k	a				x		k		,
		2		a22	2			21					1				23				3
		k 1		1	b	a				x			k		a				x		k		.
x
		3		a33	3		31					1				32					2

Эта система может быть решена методом

выполняется условие сходимости метода:	aii
		j i

простой итерации, если aij . В нашем примере

		0,9	0,2
	A	0,2	0,8
		0,3	0,4

0,2
0,4
0,9

;

B

	100
	300
	500

.

Условие сходимости выполняется. В качестве начального

приближения выбираем нулевой вектор	X	0	0;0;0 . Итерационный

процесс продолжается вплоть до достижения каждой из компонент

вектора неизвестных заданной точности:| xi		xi	| ε .
k		k 1
Пример решения задачи в пакете	Microsoft Excel приведен на
рис. 2.10.

59

Рис. 2.10. Решение задачи межотраслевого баланса

Последовательность действий:

1.Оформить все заголовки, в ячейки B4:E6 ввести исходные данные.

2.В ячейку G4 ввести точность 5.

3.В I4 ввести формулу «=1-B4», в J4формулу «=-C4», в K4 формулу «=-D4», в L4 формулу «=E4», I5 ввести формулу «=-B5», в J5 формулу «=1-C5», в K5 формулу «=-D5», в L5 формулу «=E5», в I6 ввести формулу «=-B6», в J6 формулу «=-C6», в L5 формулу «=1-D6», в K5 формулу «=E6».

4.Ячейки А8:А12 оформить заголовками, как в образце, в области B8:B11 задать начальные значения переменных (нули), ячейки С8:Р8 заполнить цифрами от 1 до 14, при необходимости можно продлить ряд.

5.В ячейку С9 записать формулу «=(1/$I$4)*($L$4-$J$4*B10- $K$4*B11)».

6.В ячейку С10 записать формулу «=(1/$J$5)*($L$5-$I$5*B9- $K$5*B11)».

7.В ячейку С11 записать формулу «=(1/$K$6)*($L$6-$I$6*B9- $J$6*B10)».

8.В ячейку С12 записать формулу «=ЕСЛИ(ABS(C9-B9)>$G$4;" нет";

ЕСЛИ(ABS(C10-B10)>$G$4;"нет ";ЕСЛИ(ABS(C11-B11)>$G$4;"нет ";"да")))»

9.Выделить диапазон С8:С12 и скопировать его до столбца Р, используя прием протаскивания. При появлении в строке 12 сообщения «да» соответствующий столбец будет содержать приближенные значения

60