Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

Рис. 2.4. Формулы в Microsoft Excel

Метод Зейделя. Ручной счет

В расчетах использовать точность ε=0,1. Условие сходимости:

10 2 3 4	10 9	выполнено ,
21 1 3 4	21 8	выполнено ,
5 0 1 1	5 2	выполнено ,
8 1 1 1	8 3	выполнено .

Итерационные формулы:

					1 2x		i	3x		i	4x	i
	x	i	1				2			3		4	,
	1							10
					3 x
	x					i 1		x	i	,
		i	1			2			4
		3			5

Начальные приближения:

Итерация 1, i=0:

x	0
1

x	i 1
	2
x	i 1
	4
0		,

		2 x		i	1		3x			i	4x			i	,
			1							3				4
							21
	10 x		i 1			x		i 1			x		i 1
														.
		1						2					3
							8
	0	0 ,			0		0		,		0	0 .
x2			x3							x4

x1		1 2x0	3x0		4x0				1 2 0 3 0 4 0			1			0,1,
		2		3		4
1				10						10		10
x1		2 x1		3x0		4x0				2 0,1 3 0 4 0			0,09,
			1		3	4
2				21						21

	x	1
		3

x14

	3 x	1	x		0
		2			4
	5
	10 x1			x1
			1		2
				8

3

x31

( 0,09)

5

10 0,1

00,618,

( 0,09) ( 0,618) 1,326, 8

x1

x	2

x11 x10 0,1 0 0,1

	x	1	x	0	0,09	0
		2		2

<0,1 – не выполнено,

0,09	<0,1 – выполнено,

	x		x	1	x	0	0,618	0	0,618
		3		3		3

<0,1 – не выполнено,

x4 x14 x40

1,326 0 1,326 <0,1 – не выполнено.

41

Условие на точность не выполнено, следовательно, продолжаем вычисления.

Итерация 2, i=1:

	x	2
	1
	x	2
		2
	x	2
		3
	x	2
		4

	1 2x		1		3x					1		4x			1			1 2		( 0,09) 3 ( 0,618) 4 1,326
			2							3					4								0,227,
							10														10
	2 x				2		3x					1	4x			1			2	( 0,227) 3 ( 0,618) 4 (1,326)
																								0,447,
				1								3				4
							21														21
	3 x	2		x				1					3 ( 0,447) 1,326
		2						4													0,424,
	5																	5
	10 x			2		x			2		x			2			10 ( 0,227) ( 0,447) ( 0,424)
																						1,387,
			1						2					3
							8														8

x		x	2	x	1	0,227 0,1 0,327
1		1		1

<0,1 – не выполнено,

x		x	2	x	1	0,447 ( 0,09) 0,356
	2		2		2

<0,1 – не выполнено,

x		x	2	x	1	0,424 ( 0,618) 0,194
	3		3		3

<0,1 – не выполнено,

	x		x	2	x	1	1,387	1,326
		4		4		4

Условие на точность вычисления.

Итерация 3, i=2:

0,061 <0,1 – выполнено.

не выполнено, следовательно, продолжаем

	x	3
	1
	x	3
		2
	x	3
		3
	x	3
		4

	1 2x		2		3x			2	4x			2				1 2		( 0,447) 3 ( 0,424) 4 1,387
			2					3				4									0,238,
						10													10
	2 x			3		3x			2	4x			2				2	( 0,238) 3 ( 0,424) 4 (1,387)
																						0,431,
			1						3				4
						21													21
	3 x	3	x				2			3 ( 0,431) 1,387
		2					4												0,409,
	5															5
	10 x3				x3			x3					10 ( 0,238) ( 0,431) ( 0,409)
			1				2			3										1,385,
					8														8

x
1
x	2
x	3
x	4

x3 1

x3 2

x3 3

x3 4

  

	x	2
	1
	x	2
		2
	x	2
		3
	x	2
		4

0,238 ( 0,227) 0,431 ( 0,447) 0,409 ( 0,424)1,385 1,387 0,002

0,011	<0,1 – выполнено,
0,016	<0,1 – выполнено,
0,015	<0,1 – выполнено,

<0,1 – выполнено.

Условие на Ответ: x1

точность

0,238, x2

выполнено.

0,431, x3

0,409

,

x4 1,385 – решение системы

уравнений с точностью 0,1.

Метод Зейделя. Решение в Microsoft Excel представлено на рис. 2.5.

42

Рис. 2.5. Метод Зейделя (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Метод Зейделя (решение в Microsoft Excel)

Решение в редакторе Visual Basic представлена на рис. 2.7.

43

Рис. 2.7. Решение в редакторе Visual Basic

Выполним команду Сервис – Макрос – Редактор Visual Basic, в

открывшемся окне выберем Insert - Module и введем код программы на языке Visual Basic:

Function toch(ByRef x() As Double, ByRef G() As Double) e = ActiveSheet.Cells(10, 3).Value

toch = True For i = 1 To 4

If Abs(x(i) - G(i)) > e Then toch = False

End If Next i

End Function

Private Sub CommandButton1_Click() n = 4

Dim A() As Double: ReDim A(1 To n, 1 To n) Dim AA() As Double: ReDim AA(1 To n, 1 To n) Dim F() As Double: ReDim F(1 To n)

Dim FF() As Double: ReDim FF(1 To n) Dim B() As Double: ReDim B(1 To n, 1 To n) Dim G() As Double: ReDim G(1 To n)

Dim x() As Double: ReDim x(1 To n) Dim i As Integer

44

Dim j As Integer

Dim k As Integer

For i = 1 To n For j = 1 To n

A(i, j) = ActiveSheet.Cells(3 + i, j).Value AA(i, j) = ActiveSheet.Cells(3 + i, j).Value Next j

F(i) = ActiveSheet.Cells(3 + i, 5).Value FF(i) = ActiveSheet.Cells(3 + i, 5).Value

Next i

'метод Гаусса

For k = 1 To n - 1 For j = k + 1 To n

B(k, j) = AA(k, j) / AA(k, k) Next j

G(k) = FF(k) / AA(k, k) For i = k + 1 To n

For j = k + 1 To n

AA(i, j) = AA(i, j) - AA(i, k) * B(k, j)

Next j

FF(i) = FF(i) - AA(i, k) * G(k) Next i

Next k

G(n) = FF(n) / AA(n, n) x(n) = G(n)

ActiveSheet.Cells(15, 2).Value = x(n) For k = n - 1 To 1 Step -1

x(k) = G(k)

For j = k + 1 To n

x(k) = x(k) - B(k, j) * x(j) Next j

ActiveSheet.Cells(11 + k, 2).Value = x(k) Nextk

'Проверка условия сходимости

ActiveSheet.Cells(17, 1).Value = ""

U1 = Abs(A(1, 1)) >Abs(A(1, 2)) + Abs(A(1, 3)) + Abs(A(1, 4)) U2 = Abs(A(2, 2)) >Abs(A(2, 1)) + Abs(A(2, 3)) + Abs(A(2, 4)) U3 = Abs(A(3, 3)) >Abs(A(3, 1)) + Abs(A(3, 2)) + Abs(A(3, 4)) U4 = Abs(A(4, 4)) > Abs(A(4, 1)) + Abs(A(4, 2)) + Abs(A(4, 3)) If U1 And U2 And U3 And U4 Then

ActiveSheet.Cells(17, 1).Value = "Условие сходимости выполнено" 'Метод простой итерации

Fori = 1 Ton x(i) = 0

G(i) = 100

Next i k = 0

While toch(x(), G()) = False For i = 1 To n

G(i) = x(i)

45

Next i

x(1) = (F(1) - A(1, 2) * G(2) - A(1, 3) * G(3) - A(1, 4) * G(4)) / A(1, 1) x(2) = (F(2) - A(2, 1) * G(1) - A(2, 3) * G(3) - A(2, 4) * G(4)) / A(2, 2) x(3) = (F(3) - A(3, 1) * G(1) - A(3, 2) * G(2) - A(3, 4) * G(4)) / A(3, 3) x(4) = (F(4) - A(4, 1) * G(1) - A(4, 2) * G(2) - A(4, 3) * G(3)) / A(4, 4) k = k + 17

Wend

ActiveSheet.Cells(16, 3).Value = k For i = 1 To n

ActiveSheet.Cells(11 + i, 3).Value = x(i) Next i

'Метод Зейделя

For i = 1 To n x(i) = 0 G(i) = 100

Next i k = 0

While toch(x(), G()) = False For i = 1 To n

G(i) = x(i) Next i

x(1) = (F(1) - A(1, 2) * x(2) - A(1, 3) * x(3) - A(1, 4) * x(4)) / A(1, 1) x(2) = (F(2) - A(2, 1) * x(1) - A(2, 3) * x(3) - A(2, 4) * x(4)) / A(2, 2) x(3) = (F(3) - A(3, 1) * x(1) - A(3, 2) * x(2) - A(3, 4) * x(4)) / A(3, 3) x(4) = (F(4) - A(4, 1) * x(1) - A(4, 2) * x(2) - A(4, 3) * x(3)) / A(4, 4) k = k + 1

Wend

ActiveSheet.Cells(16, 4).Value = k For i = 1 To n

ActiveSheet.Cells(11 + i, 4).Value = x(i) Next i

End If End Sub

Создание кнопки описано во введении.

Метод простой итерации и метод Зейделя. Решение в Microsoft Visual Studio.

Код программы на языке С++:

// pr1 SLAU.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.

//

#include"stdafx.h" #include"stdafx.h" #include<iostream> #include<math.h> usingnamespace std;

double a[4][4]={{10, 2, 3, 4}, {-1, 21, -3, 4}, {0, 1, -5, 1}, {1, 1, 1, 8}};

double b[4]={1, -2, 3, 10}; double x[4]={0, 0, 0, 0};

46

double e=0.001;

bool shod(double a[4][4]){

bool s0=fabs(a[0][0])>fabs(a[0][1])+fabs(a[0][2])+fabs(a[0][3]); bool s1=fabs(a[1][1])>fabs(a[1][0])+fabs(a[1][2])+fabs(a[1][3]); bool s2=fabs(a[2][2])>fabs(a[2][0])+fabs(a[2][1])+fabs(a[2][3]); bool s3=fabs(a[3][3])>fabs(a[3][0])+fabs(a[3][1])+fabs(a[3][2]); if(s0 && s1 && s2 && s3)returntrue;

elsereturnfalse;

}

bool toch(double b[4], double c[4]){ int i=0;

for(i=0; i<4; i++){ if(fabs(b[i]-c[i])>e){ returnfalse;

}

}

returntrue;

}

void pr_iter(){

double x0[4]={-1,-1,-1,-1}; int k_iter=0, i; if(shod(a)==true){ while(toch(x0,x)==false){ k_iter++;

for(i=0; i<4; i++){ x0[i]=x[i];

}

x[0]=(b[0]-a[0][1]*x0[1]-a[0][2]*x0[2]-a[0][3]*x0[3])/a[0][0]; x[1]=(b[1]-a[1][0]*x0[0]-a[1][2]*x0[2]-a[1][3]*x0[3])/a[1][1]; x[2]=(b[2]-a[2][0]*x0[0]-a[2][1]*x0[1]-a[2][3]*x0[3])/a[2][2]; x[3]=(b[3]-a[3][0]*x0[0]-a[3][1]*x0[1]-a[3][2]*x0[2])/a[3][3];

}

}

cout<<"Metod prostoi iteracii: k = "<<k_iter<<endl; for(i=0; i<4; i++){

cout<<"\tx["<<i+1<<"] = "<<x[i]<<endl;

}

}

void zeid(){

double x0[4]={-1,-1,-1,-1}; int k_iter=0, i;

for(i=0; i<4; i++) x[i]=0; if(shod(a)==true){ while(toch(x0,x)==false){ k_iter++;

for(i=0; i<4; i++){ x0[i]=x[i];

}

x[0]=(b[0]-a[0][1]*x0[1]-a[0][2]*x0[2]-a[0][3]*x0[3])/a[0][0]; x[1]=(b[1]-a[1][0]*x[0]-a[1][2]*x0[2]-a[1][3]*x0[3])/a[1][1]; x[2]=(b[2]-a[2][0]*x[0]-a[2][1]*x[1]-a[2][3]*x0[3])/a[2][2]; x[3]=(b[3]-a[3][0]*x[0]-a[3][1]*x[1]-a[3][2]*x[2])/a[3][3];

}

}

cout<<"Metod Zeidelya: k = "<<k_iter<<endl; for(i=0; i<4; i++){

cout<<"\tx["<<i+1<<"] = "<<x[i]<<endl;

}

}

int main(){ pr_iter(); zeid(); return 0;}

47

Результат выполнения программы представлен на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Результат выполнения программы

Пример 2.2

Дана система линейных уравнений:

																											X		1	X			2				X		3	3,
																														1 X 2								3X 3				6,
																											2 X
																												X		2X								2 X				1.
																													1								2				3
Эту систему можно записать в матричном виде																																												AX B ,
	1			1		1										X		1													3
A		2		1		3							X				X											B				6
										,								2					,											.
	1			2		2										X															1
																		3
Решим						эту				систему								методом														отражений.											В	качестве
																															1
первый столбец матрицы																						A :						S				2					,			S		6	в качестве
																															1
						6
				1
S S e						2								12 2					6
																								.
						1
															1				6
															12 2									6
																	2
Находим ω :												ω														.
															12 2									6
																	1
															12 2									6
Найдем матрицу V1:
					1 6										2														1
ω*																																				,
				12 2 6									12 2 6													12 2 6

48

S

e

возьмем

			1
	:	e		0		,
			0

								7 2				6	2 2		6	1		6
	ωω*					1						6		4			2
				12 2			6	2 2										.
									1			6		2			1
	1		0	0							7	2	6	2	2	6	1		6								6 1		2	6 2
							1																1
V		0	1	0							2	2	6		4			2								2	6 2		2		6
1						6			6													6		6
	0		0	1							1		6		2			1									6 1			2
Домножаем						A	слева на V1:
																		6	6			5	6 5				5 6 5
																	6
											A1 V1 A				1
															6	6		0					6 4				8	6	.
																		0				7		6			3 6
																												17
Домножаем						B	слева на V1:
																					16		6 16
														B	V B			1					4
																										.
														1	1		6		6
																						2	6 10
Получаем новую систему														1	A1 X				1			B1	или			A1 X B1 .
																		6
													6		6					6

6 5

	1
	2
	6

.

На 2-м шаге в качестве						S
		0
в качестве	e : e		1		.
		0

возьмем

			0
	S		6 4
		7		6

,

S

77 22

6

,

	S S e			6	4

Находим ω

		0
		77 22		6			154 44	6 2(	6 4)	77 22	6
	7		6

					0
				6 4				77 22				6
:	ω																			.
							2			4
		154 44				6			6			77 22				6
							7
								6
							2			4
		154 44										77 22
						6			6							6

7,819

.

Найдем матрицу V2 :

49

												6 4			77 22			6							7		6
ω*					0
							154 44					6 2(			6 4)			77 22		6	154 44			6 2( 6 4)						77 22	6
.
ωω*												1
						154 44					6 2( 6 4)					77 22			6
	0											0									0
		0				(	6				4	77	22		6 )	2		(7		6)(	6 4		77 22		6 )		,
				(7							6 4		77 22								(7		2
	0						6)(										6 )					6)
			1			0	0										1
V				0		1	0
	2										77 22			6 (		6 4)			77 22		6
			0			0	1
	0											0									0
		0				(	6				4	77	22		6 )	2		(7		6)(	6 4		77 22		6 )
				(7							6 4		77 22								(7		2
	0						6)(										6 )					6)
											1
	77 22						6 (				6 4)			77 22			6
	1											0										0
		0			22		8			6 (		6 4) 77 22						6	(7		6)(	6 4		77 22			6 )		.
					(7				6)( 6 4					77 22				6 )	22 8		6 (	6 4) 77 22					6
	0

Домножаем

системы

A1 X B1

A1

на

слева на

77 22

6

V2		,
		1
(	6

предварительно домножив обе части

:

4)

77 22

6

					1								0									0
A		V		A		0		22	8	6 (			6 4) 77 22					6	(7	6)(		6 4	77 22	6 )
	2			2 1
								(7		6)(	6 4				77 22		6 )		22 8	6 (		6 4) 77 22		6
					0
	6		6 6		5		6 5		5	6 5
			0				6 4		8		6
			0		7			6	3	6 17
	6		6 6							5	6 5										5	6 5
			0		(77 22				6)( 77 22					6		6 4)		(175 50		6)(	6 4		77 22	6 )		.
			0								0								(24 14	6)(	6 4		77 22	6 )

Домножаем

B1

слева на

V	2

50