Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил.

Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в непрерывном времени. Дифференциальное уравнение связывает изменение показателя (пусть наша система описывается одним показателем x(t)) со скоростью

движения	xt	. Будем считать, что скорость изменения показателя

пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения xe .

Чем дальше показатель отклонился от равновесного значения, тем быстрее он стремится вернуться к нему. Если в уравнении присутствует только первая производная х по времени, а сама связь линейна, то это линейное дифференциальное уравнение. Пусть оно имеет, например,

следующий вид:	x k x x
	e	,
где k- коэффициент.	x xe , общее решение		x xe	ce		. При t=0 получаем
Частное решение					kt
c x 0 xe , x t xe x 0 xe ekt . Если k<0, то		ekt 0		- равновесие устойчиво,

т.е. при отклонении x(t) от значения хе она вновь стремится принять это значение. При k>0 ekt→∞ и соответственно x(t)→ (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Поведение динамических систем

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка обычно полагают, что спрос и предложение зависят только от текущей цены на товар. Однако в реальных ситуациях они зависят еще и от тенденции ценообразования, и от темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производной функции цены P(t).

Пример 7.5 Математические модели экономического роста (уравнения с разделяющимися переменными)

Найти функцию, имеющую постоянную эластичность равную k. По

	условию задачи имеем	y x	k , т.е.	dy x				k .
		y		dx y
				211

Отсюда, при естественном предположении

x

0

, получим

	dy
	y

	dx	k
	x

.

Интегрируя обе части	полученного равенства,					находим
ln y k ln x ln C , откуда следует, что		y Cx		k	.
Автономные уравнения – это уравнения вида						(7.26)
y			g y

Такие уравнения часто встречаются в различных вопросах экономической динамики. Обычно в качестве независимой переменной рассматривается время. Его отсутствие в правой части уравнения (7.26) можно трактовать как неизменность законов, по которым развивается экономическая система в рассматриваемый промежуток времени. Если y*корень уравнения g(y)=0, то y=y*=const является решением (7.26). Такое решение называется стационарным. Кроме того, отметим еще одно интересное свойство, которым обладают решения автономного уравнения.

Теорема. Если y= (х) – решение автономного дифференциального

уравнения, то	y	(х+С) также является решением этого уравнения.

Замечание 1. Геометрическая трактовка данной теоремы заключается в том, что при параллельном переносе вдоль оси Ох интегральные кривые автономного уравнения переходят друг в друга.

Замечание 2. Если g(y) 0, то общее решение автономного уравнения

задается формулой	y	(х+С), где (х) – произвольное частное решение.

Пример 7.6 Модель естественного роста (рост при постоянном темпе)

Пусть y(t) – интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия (отрасли). Мы будем предполагать, что имеет место аксиома о ненасыщаемости потребителя, т.е. что весь выпушенный предприятием товар будет продан, а также то, что объем продаж не является столь высоким, чтобы существенно повлиять на цену товара р, которую ввиду этого мы будем считать фиксировано. Чтобы увеличить интенсивность выпуска y(t), необходимо, чтобы чистые инвестиции I(t) (т.е. разность между общим объемом инвестиций и амортизационными затратами) были больше нуля. В случае I(t) = 0 общие инвестиции только лишь покрывают затраты на амортизацию, и уровень выпуска продукции остается неизменным. Случай I<0 приводит к уменьшению основных фондов и, как следствие, к уменьшению уровня выпуска продукции. Таким образом, мы видим, что скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией от I.

212

Пусть эта зависимость выражается прямой пропорциональностью, т.е. имеет место принцип акселерации

y		mI	m const ,	(7.27)

где 1/m – норма акселерации. Пусть – норма чистых инвестиций, т.е. часть дохода py, которая тратится на чистые инвестиции, тогда

I αpy .		y		αmpy , или
Отсюда выражаем для I в (7.27), получаем
y ky ,				(7.28)
где k mαp const . Разделяя переменные в уравнении (7.28), имеем
dy	kdt .
y

После интегрирования обеих частей находим

ln y kt lnC

или

y Ce	kt

Интегральная кривая уравнения (7.26) представлена на рис. 7.2

(7.29)

Рис.7.2. Интегральная кривая

Если y t0 y0 , то из

y

(7.29)

y	e	k t
0

следует, что C y0 e kt0 , т.е.

t
	0	.

(7.30)

Уравнение называется уравнением естественного роста. Этим уравнением описывается также динамика цен при постоянном темпе инфляции.

Замечание. Модель естественного роста целесообразно применять на начальных этапах развития экономической системы в течение ограниченного промежутка времени, поскольку (как это следует из уравнения (7.30)) с течением времени y может принимать какие угодно большие значения, что не может не сказаться на изменении цены (в данной модели мы ее предполагали постоянной).

Пример 7.7 Логистический рост

213

Рассмотрим пунктом. Пусть

более

p p y

общий случай по сравнению с предыдущим

	– убывающая функция	dp	0	, т.е. увеличением
		dy

выпуска будет происходить насыщение рынка, и цена будет падать. Проведя аналогичные рассуждения, получим уравнение

y		kp y y ,	(7.31)

здесь k=l . Уравнение (7.31) представляет собой автономное

дифференциальное уравнение.

Так как k 0

,

p 0

,

y 0

,

то

из

(7.31)

следует, что

y t есть возрастающая функция ( y

0 ). Исследуем

y t на

выпуклость.

Дифференцируя

уравнение

(7.31)

по

t,

получим

y

где

dp	y
ky
dy

	e		p	dp
		y		dy

p

y p

  

или

dp y ky p dy

y

y p

1 , т.е.
			1
	1
ky p
			e
				y

эластичность спроса.

  

,

(7.32)

Из (7.32) вытекает, что если спрос эластичен, т.е.	ey	1	, то	y

(функция спроса – выпуклая функция), а если спрос неэластичен,

ey	1	, то	y		0	(функция спроса – вогнутая функция).

0 ,

т.е.

Пусть, например, принимает вид

p y b ay y k b

(a,

ay

b

y .

> 0), тогда уравнение (7.32)

(7.33)

что

Из (7.33) легко получить, что

y

0 , если y 0

, или

y

0

при

y

b

, и

y

0

при

y

b

(рис. 7.3).

2a

2a

y ba , а также,

Рис. 7.3. Функция спроса

В данном случае довольно легко получить явное выражение для Разделяя переменные в уравнении (7.33), находим

y t

.

214

	dy	kdt , или	dy
	y b ay		b

Проинтегрировав это соотношение,

	1		a
			b ay
y

имеем ln

  

y



kdt . ln b ay

kbt ln C

,

т.е.

y b ay

Cekbt

.

Отсюда получим, что

		Cbe	kbt
	y
		1 Ce		kbt

.

(7.34)

График функции (7.32) называется логистической кривой. Она также описывает некоторые модели распространения информации (рекламы), динамику эпидемий и др.

Замечание. Из графика логистической кривой видно, что при малых t логистический рост схож с естественным ростом, однако при больших t характер роста меняется, темпы роста замедляются, и кривая

асимптотически приближается к прямой

y

b a

. Эта прямая является

стационарным решением уравнения (7.33) и соответствует случаю

p y

0

. Для уравнения (7.33) также существуют решения и при

y

b a

,

имеющие графики (рис. 7.4).

/a

Рис. 7.4. Логистическая кривая

Но, так как	в этом случае	p y
экономической интерпретации.
Замечание.	Более реалистичной

скорость роста зависит не от дохода, а издержки ( , константы) тогда

0 , то эти	графики	не имеют
является	модель,	в которой

от прибыли. Пусть C y αy β

y k p y y αy β .		(7.35)
Если p y b ay , то правая часть уравнения		(7.35) представляет
собой квадратный многочлен	относительно y с отрицательным
коэффициентом перед y 2 . В этом	случае возможны три варианта.

215

1.

D 0	. Следовательно,	y		0	. Издержки настолько велики, что это

приводит к постоянному падению уровня производства и, в конце концов, к банкротству (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Первый вариант (

D

0

)

2.

3.

D 0	. В этом случае	y		0	и имеется одна стационарная кривая. При

этом интегральные кривые, удовлетворяющие начальному условию

y t

0

y

0

y *

, будут асимптотически приближены к

y* на + ∞, а

интегральные кривые, удовлетворяющие условию

y t

0

y *

, будут

асимптотически приближаться к y* на - ∞ (рис. 7.6).

y y*

b

.

a

Рис. 7.6. Второй вариант ( D 0 )

D 0 .	В этом случае существуют два стационарных решения										y y1 ,
y y2 .	( 0 y1 y2 ). При этом	y		0	при	y1 y y2 и	y		0	при	y y2

(рис. 7.7).

216

Рис. 7.7. Третий вариант (

D

0

)

	Пример. 7.8 Неоклассическая модель роста
	Пусть	Y F K, L	национальный				доход, где К – объем
капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда, F K, L - линейно-
однородная производственная функция ( F tK,tL tF K, L ).									Пусть	f k –
производительность труда:				F K.L
			f k		F	K		F k, l ,
							,1
				L		L
где	k K / L – фондовооруженность.					Как		известно,
									f k f	k 0 .

Предполагаем, что:

1)происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е.

L αL

α const ;

2)инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е.

L K

βK

(7.36)

( – норма амортизации).

Пусть l – норма инвестиций (т.е. I = lY), тогда

lY K βK  K lY βK .

(7.37)

Дифференцируя эти соотношения по t, получим

k

K

L

.

k

K

L

Подставляя сюда значения для

L

и

K из (7.36) и (7.37), находим

k

lY βK

α ,

k

K

т.е. k

lYK

β α k .

K

Учитывая, что f

Y

, получим

L

k lf k β α k .

(7.38)

Уравнение (7.38) называется уравнением неоклассического роста.

Замечание. У автономного дифференциального уравнения (7.38)

существует стационарное решение k k *. Действительно, так как	f	k 0 ,
то графики lf k и ( + )k обязательно пересекутся (рис. 7.8).

	217	y=(+)k
		y=lf(k)

Рис. 7.8. Графический вид уравнения неоклассического роста

Кроме того, так как	f	k		непрерывная				монотонно
функция, то существует такое		kl	,	что	f kl		α β		(т.е. у	k t
							l

убывающая

существует

точка перегиба). Итак, при k k * имеем k 0			; при	k k * будет	k
k kl имеем k 0 , а при k kl , k 0.
Ввиду	этого интегральная	кривая	уравнения (7.38)
напоминает	логистическую кривую	(рис. 7.9).

0

. При

очень

k

k*

	t
Рис. 7.9. Логистическая кривая
Пример 7.9
Рассмотрим уравнение Самуэльсона		(7.39)
p	k d p S p .
Моделирующее связь между изменением цены		p и

неудовлетворенным спросом

d p s p (здесь

d p и

s p соответственно

величины спроса и предложения при цене p,	k 0 ).	Предположим, что
спрос и предложения задаются линейными функциями
d p a bp , s p m np ,		(7.40)

где a, b, m, n – некоторые положительные числа. С учетом (7.40) уравнение (7.39) примет вид

p		k n p p k a m .	(7.41)

Уравнение (7.41) является линейным дифференциальным уравнением. Найдем решение соответствующего ему однородного уравнения. Имеем

218

		dp	k n b p ;	dp	k n b dt ;
		dt		p
			ln p k n b t ln C ;
			p t Ce		ln n b t	.
В качестве частного решения уравнения (7.41) можно
стационарное равновесное решение				p t p const			, где
уравнения	d p s p	(в этом случае обе части уравнения

(7.42)

использовать

p		корень
(7.39)		будут

равны нулю). Из (7.41) нетрудно найти, что (рис. 7.10)

p

s

p	d

p

a m b n

q

.

Рис. 7.10. Стационарное равновесное решение

Таким образом, общее решение уравнения (7.41) имеет вид

p t	a m	Ce	k n b t	.
	b n

(7.43)

Из (7.43), в частности, вытекает, что если интегральные кривые будут отдаляться от

(рис. 7.11).

p

n>b, то с течением времени

состояния равновесия

p

Рис. 7.11. Интегральные кривые отдаляются от состояния равновесия

Если n = b, то p(t) = const (рис. 7.12).

219

Рис. 7.12. График случая n = b

Если же n>b, то с течением времени интегральные кривые будут асимптотически приближаться к состоянию равновесия p (рис. 7.13).

p

Рис. 7.13. Интегральные кривые асимптотически приближаются к состоянию равновесия

Пример 7.10

Для заданных функций спроса и предложения найти зависимость равновесной цены от времени, при заданном начальном моменте времени.

Решение. Получаем уравнение

2 p (t) 4 p(t) 20

0, p(0)

20

.

Выразим из исходного уравнения производную. Получаем задачу в

формальном виде:

при начальных условиях

0

0

f (t, P) 10 2P

t

0, P

20.

Промежуток интегрирования: a=0, b=3. Количество разбиений n=3.

Вычислим шаг

h

b a

3 0

1

.

n

3

Методы Эйлера, решение в Microsoft Excel представлено на рис. 7.14.

220