Учебное пособие_Численные методы -26 -дек_2014 (97-2003)

Рис. 3.6. Шаговый метод (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Формулы в Microsoft Excel для шагового метода

Метод половинного деления. Ручной счет

Провести расчеты с точностью 0,1. a =0,8; b=1.

Условие	сходимости:						f(a)∙f(b)<0.	f(a)=-0,3664;		f(b)=1;
f(a)∙f(b)=-0,3664∙1=-0,3664<0.						Следовательно,		условие	сходимости
выполнено.
Итерация 1
a=0,8; b=1; x		a b		0,8 1		0,9 ,
	2		2
							81

f(a)=f(0,8)=-0,3664,

f(x)= f(0,9)=0,94+2∙0,93-0,9-1=0,2141,

│f(x)│=│0,2141│=0,2141 <0,1 – не выполнено, продолжаем вычисления.

f(a)∙f(x)=-0,3664∙0,2141 < 0, значит, a=a, b=x.

Итерация 2

a =0,8; b=0,9;	x	a b		0,8	0,9	0,85	,
		2		2

f(a)=f(0,8)=-0,3664,

f(x)= f(0,85)=0,854+2∙0,853-0,85-1=-0,0997,

│f(x)│=│-0,0997│=0,0997 <0,1 – выполнено.

Ответ: x=0,85 – корень уравнения с точностью 0,1.

Реализация метода половинного деления в Microsoft Excel представлен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Метод половинного деления (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel представлены на рис. 3.9 и рис. 3.10.

Рис. 3.9. Формулы в Microsoft Excel для метода половинного деления

82

Рис. 3.10. Формулы в Microsoft Excel для метода половинного деления (продолжение)

Метод Ньютона. Ручной счет

Провести расчеты с точностью 0,001.

a=0,8; b=1.

Условие сходимости: f(x0)∙f”(x0)>0, где x0=a или x0=b.

f (x) x	4

2x3

x

1

,

f '(x) 4x	3	6x	2

1

,

f ''(x) 12x 2 12x .

Проверяем x0=a=0,8: f(0,8)=-0,3664; f”(0,8)=12∙0,82+12∙0,8=17,28 > 0 –выполнено.

Итерация 1

x=0,8, f(x)=f(0,8)=-0,3664,

f’(x)=f’(0,8)=4∙0,83+6∙0,82-1=4,888,

x 0,8

f (0,8) f "(x)

0,8

	0,3664
	4,888

0,875

,

f(x)= f(0,875)=0,8754+2∙0,8753-0,875-1=0,051,

│f(x)│=│0,051│=0,051<0,001 – не выполнено, продолжаем вычисления.

Итерация 2

f’(x)=f’(0,875)=4∙0,8753+6∙0,8752-1=6,2734,

	x 0,875	f (0,875)	0,875	0,051		0,8669,
		f "(0,875)		6,2734

f(x)=f(0,8669)=0,86694+2∙0,86693-0,8669-1=0,00085,

│f(x)│=│0,00085│=0,00085 <0,001 – выполнено.

Ответ: x=0,8669 – корень исходного уравнения с точностью 0,001.

Решение метода Ньютона в Microsoft Excel представлено на рис. 3.11.

83

Рис. 3.11. Метод Ньютона (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel приведены на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Формулы в Microsoft Excel для метода Ньютона

Метод простой итерации. Ручной счет

Провести расчеты с точностью 0,001.

a=0,8; b=1.

Условие сходимости:│S’(x0)│<1, где x0=a или x0=b. Выразим х из исходного уравнения:

x x	4	2x	3	1, значит			S (x) x			4	2x	3	1	,	S '(x) 4x	3	6x	2	.
S '(a) S (0,8) 4 0,8					3	6 0,8		2	5,888, │S’(0,8)│<1 – не выполнено.

Выразим х из исходного уравнения по-другому:

x	4	x 1 2x	3	, значит S(x)						4	x 1 2x		3	,	S'(x)	1	x 1
																4
						1	0,8 1 2 0,83				3	1 6 0,82 0,8587 ,
S'(a) S'(0,8)
											4
					4
│S’(0,8)│<1 – выполнено,
					3
S'(b) S'(1)			1		1 1 2 13				1 6 12 ,
								4
			4

│S’(1)│<1 – не выполнено.

Выразим х из исходного уравнения по-другому:

				3
		3
	2x			4

1

6x	2

.

	x 3		x 1 x4		, значит, S(x)
			2
	S'(a) S'(0,8)					1 4 0,83
						6 0,5 0,8 1 0,84

3	x

2

3

1 x	4		1 4x	3
	,	S'(x)	6 0,5 x 1 x			3
2						2
					4

0,2226,

84

.

│S’(0,8)│<1 – выполнено,

	1 4 1
	3
S'(b) S'(1)	6 0,5 1 1 1	3
		2
	4

0,7937

,

│S’(1)│<1 – выполнено, значит, условие сходимости выполнено.

Итерация 1 x=0,8,

	0,8 1 0,8	4
x S(x) S(0,8) 3
	2

0,8859

,

f (x) f (0,8859) f (x)0,1206

	4	3	0,8859 1
0,8859		2 0,8859
0,1206	<0,1 – не выполнено,

0,1206,

продолжаем вычисления.

Итерация 2

		4
	x S(x) S(0,8859) 3	0,8859 1 0,8859
		2

0,8595

,

f (x)

f (0,8595) 0,85954

2 0,85953

0,8595 1

0,0439

,

f (x)

0,0439

0,0439

<0,1

– выполнено.

Ответ: x=0,8595 – корень исходного уравнения с точностью 0,1. Решение метода простой итерации в Microsoft Excel представлено на

рис. 3.13.

Рис. 3.13. Метод простой итерации (решение в Microsoft Excel)

Формулы в Microsoft Excel приведены на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Формулы в Microsoft Excel для метода простой итерации

85

Решение в редакторе Visual Basic

Код программы Visual Basic:

Function F(ByVal x As Double)

F = x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - x - 1

End Function

Function F1(ByVal x As Double)

F1 = 4 * x ^ 3 + 6 * x ^ 2 - 1

End Function

Private Sub CommandButton1_Click()

ActiveSheet.Cells(10, 1).Value = "Корень на выбранном промежутке не найден" xn = ActiveSheet.Cells(3, 5).Value

xk = ActiveSheet.Cells(4, 5).Value xh = ActiveSheet.Cells(5, 5).Value x = xn

While x <= xk F11 = F(x)

F12 = F(x + xh)

If F11 * F12 < 0 Then

ActiveSheet.Cells(10, 1).Value = "Корень принадлежит промежутку (" & Str(x) & ";" & Str(x + xh) & ")"

A = x an = x

B = x + xh End If

x = x + xh Wend

k = 0

e = ActiveSheet.Cells(6, 5).Value ActiveSheet.Cells(13, 1).Value = "" While Abs(F(x)) > e

x = (A + B) / 2

If F(A) * F(x) < 0 Then B = x

Else

A = x End If

k = k + 1 Wend

ActiveSheet.Cells(13, 1).Value = "Корень =" & Str(x) & " c точностью" & Str(e) & "

вычислена " & Str(k) & " итерации"

k = 0 x = an

86

ActiveSheet.Cells(16, 1).Value = "" While Abs(F(x)) > e

x = x - F(x) / F1(x) k = k + 1

Wend

ActiveSheet.Cells(16, 1).Value = "Корень =" & Str(x) & " c точностью" & Str(e) & "

вычисленна " & Str(k) & " итерации"

k = 0 x = an

ActiveSheet.Cells(19, 1).Value = "" While Abs(F(x)) > e

x = ((x + 1 - x ^ 4) / 2) ^ 0.3333 k = k + 1

Wend

ActiveSheet.Cells(19, 1).Value = "Корень =" & Str(x) & " c точностью" & Str(e) & "

вычислен на " & Str(k) & " итерации"

End Sub

Результат работы программы приведен на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Результат работы программы Visual Basic

87

Шаговый метод, метод половинного деления, метод Ньютона, метод простой итерации. Решение в Microsoft Visual Studio

Код программы С++:

// pr2 NELIN common.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.

//

#include"stdafx.h" #include<iostream> #include<iomanip> #include<math.h> usingnamespacestd;

double xx0, xx1; // промежуток в ответе шагового метода

double a=0, b=1, h=0.2, e=0.1;		// исходные данные
double	F(double x)
{return pow(x,4.0)+2.0*pow(x,3.0)-x-1.0;}
double	F1(double x)

{return 4.0*pow(x,3.0)+6.0*pow(x,2.0)-1.0;} double S(double x)

{return pow((x+1.0-pow(x,4.0))/2.0,1.0/3.0);} void shag_metod(){

double x0=a, x1=x0+h; while (x1<=b) {

x1=x0+h;

if (F(x0)*F(x1)<0){

cout<<"x na intervale ["<<x0<<","<<x1<<"]"<<endl; xx0=x0;

xx1=x1;	}
x0=x1; }}
void pol_del(){
int k=0;
double x=xx0;
a=xx0;
b=xx1;
while(fabs(F(x))>e) {
x=(a+b)/2;
if (F(a)*F(x)<0) b=x;
else a=x;
k=k+1; }

cout<<setw(26)<<"METOD POLOVINNOGO DELENIA:"; cout<<setw(5)<<"x="<<setw(10)<<x<<setw(5)<<"k="<<setw(5)<<k<<endl;}

void nuton(){ int k=0; double x2=xx0;

while(fabs(F(x2))>e) { x2=x2-F(x2)/F1(x2); k=k+1; }

cout<<setw(26)<<"METOD N'UTONA:"; cout<<setw(5)<<"x="<<setw(10)<<x2<<setw(5)<<"k="<<setw(5)<<k<<endl;}

void pros_iter(){
int k=0;
double x3=xx0;
while (fabs(F(x3))>e)	{
x3=S(x3);
k=k+1; }

cout<<setw(26)<<"METOD PROSTOI ITERACII:"; cout<<setw(5)<<"x="<<setw(10)<<x3<<setw(5)<<"k="<<setw(5)<<k<<endl;}

int main (){ cout<<"e="<<e<<endl; shag_metod(); pol_del();

nuton(); pros_iter(); return 0;}

88

Результат выполнения программы с различной точностью приведен на рис. 3.16 – рис. 3.19.

Рис. 3.16. Результат выполнения программы с точностью 0,1

Рис. 3.17. Результат выполнения программы с точностью 0,01

Рис. 3.18. Результат выполнения программы с точностью 0,001

Рис. 3.19. Результат выполнения программы с точностью 0,0001

Пример 3.3	f (x) x		3x 3.25 5 cos(x)	к виду, удобному для
Привести уравнение		2

итераций, и решить его.

Решение. Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [-0,4;0]. Значение функций на концах отрезка f ( 0.4) 0,004695, f (0) 1,75 имеет различные знаки и функция непрерывна, значит, в этом промежутке есть корень.

89

Приведем уравнение к виду x = (x), где

(x)

x	2

5cos(x) 3,25 3

.

Проверим условие сходимости: ’(x)

2 x 5 sin(x).

3 3

Максимальное значение

модуля производной итерационной функции достигается на конце отрезка в точке x = -0,4, при этом (-0,4) = 0,916. Построим таблицу из пяти итерационных шагов

Таблица 3.2

Реализация метода простой итерации

№ итерации	x	(x)
1	-0,4	-0,39843499
2	-0,39843499	-0,3998653857
3	-0,3998653857	-0,3985582517
4	-0,3985582517	-0.3997529063
5	-0,3997529063	-0.3986611858

x

Найденное приближенное

0,3991826759 на величину

значение отличается от точного решения

- 0,3986611858 - (-0,3991826759) 0,00052149.

Пример 3.4

Вычислить

методом

Ньютона

отрицательный

корень

уравнения

f (x) x

4

3x

2

75x 10000 0

с пятью верными знаками.

Решение.

Полагая в левой части уравнения x 0, 10, 100,... получим

f (0) 10000,

f ( 10) 1050,

f ( 100) 108.

Следовательно, искомый корень

находится в интервале 100 ξ 10.

Сузим найденный интервал. Так как

f ( 11) 3453,

то

11 ξ 10.

В

этом

последнем

интервале

f (x) 0 и

Так как

и

то

f ( 11) f

( 11) 0 и мы можем

f (x) 0.

f ( 11) 0

f

( 11)

0,

принять

за

начальное

приближение

x0 11.

Последовательные

приближения xn

(n 1, 2, ...)

вычисляются по схеме, представленной в табл.

3.3.

Таблица 3.3

Реализация метода Ньютона

n

xn

f(xn)

f’(xn)

hn

f (xn )

f (xn )

0

-11

3453

-5183

0,7

1

-10,3

134,3

-4234

0,03

2

-10,27

37,8

-4196

0,009

3

-10,261

0,2

--------

--------

90