43.Опред и примеры евклидовых пространств.

Опред: V –дейст век прос. Говорим что на V зад скаляр произв, если каждой паре век а,bЄV постав в соответ дейст числа (а,b), причем вып некот аксиомы:

1)(а,b)=(b,a) для всех a,bЄV

2)(a+b,c)=(a,c)+(b,c) для всех a,b,сЄV

3)(αa,c)=α(a,c) для всех a,bЄV и αЄR

4)(0,a)=0, для всех a≠0

Дейст век прос с зад на нем скалярным произ наз Евлидовым пространством.

Пр:

1)V³ cкал произ (a,b)=/a/*/b/*cosα C таким каляр произ становится евклидовым

2)С_[a,b], для всех f,gЄ С_[a,b] (f,g)_a∫^bf(x)g(x)dx

3)Rⁿ, x=(х₁,х₂…х_n)ЄRⁿ ; y=(y₁,y₂…y_n)ЄRⁿ (x,y)= х₁ y₁, х₂ y₂… х_n y_n=

Теорема: всех конечномер век прост можно превратить в Евклидово.

Док: е₁,е₂…е_n ;x=x₁е₁+x₂е₂+…+x_nе_n ;(x,y)=

Опред:длинной век x в Евклид простран наз число //x//=sqrt(x,x) для геомет век

С_[a,b] //f//=sqrt(_a∫^bf²(x)dx) Rⁿ: //x//=sqrt()

Век длинна, кот =1 наз нормированным. Умнож не нулевого век на число обратное длине наз нормирование. Для всех xЄV, x≠θ

//(1/ //x//)//=sqrt((1/ //x//)x,(1/ //x//)x)=sqrt((1/ //x//²)(x,x))=(1/ //x//)sqrt((x,x))=(1/ //x//)//x//=1

44.Неравенство Коши-Буняковского

Теорема: (Коши-Буняковского) Для люб 2 век a,b евклид прос /(a,b)/<=//a//*//b//

Док:с помощ док можно вывести понятие угла между век -1<=((a.b)/ //a//*//b//)<=1

cosφ=(a,b)/ //a//*//b// φЄ[0,π]

Теорема:в евклид прост для люб век a,b верно:

1)//a+b//²=//a//²+//b//²-2//a//*//b//cosφ

2)//a+b//<=//a//+//b//

45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.

Опред: вект a,b евклид прост наз ортогон, если (a,b)=0 (a┴b-обознач). Сист век е₁,е₂…е_n евклид прос наз ортог, если все пары век. Док сист ортог , т.е. е_i┴e_j для всех i≠j.

Будем пологать, если сист сост из 1 ненул век и сист ортог из нормир эта ортонормированная.

Пр: С_[a,b] f(x)=x g(x)=x²

Док, что они ортонорм

(f(x),g(x))=_-1∫¹x*x²dx=x⁴/4 _-1│¹=0

Теорема:ортогон сист ненул век евклид прост лин незав.

Док: е₁,е₂…е_n-ортогон сист ненул век. От противного:док что она лин завис , т.е. сущ коэфф α₁,α₂…α_n, α₁е₁+ α₂е₂+…+α_nе_n=θ.

α₁≠0

умнож обе части рав скал на е_i=> α₁(е₁,е₁)+α₂(е₂,е₁)+…+α_n(е_n,е₁)=(θ,е₁) т.к. сист век ортог

α₁(е₁,е₁)=0 => α₁=0

≠0

Противоречие

Ортог сист играют фундам роль.

Задача: перейти от зад сист век Евклид прост к некот ортог сист .Такой переход назыв процессом.

Рассмотрим процесс ортогонализ Грамма-Шмидта:

Пусть а₁,а₂…а_n лин незав сист век евклид прост Vо век этой сист будем послед строить ортогон сист век b₁,b₂…b_n такие b₁= а₁, b₂=а₂+λ₁b₁, где λ₁-находится ((b₁а₁)/( b₁b₁)) и т.д.

b₁= а₁+ λ₁b₁+ λ₂b₂+…+ λ_e-1b_e-1 λ_i=((a_e;b_i)/(b_i,b_i)) для i=1,e-1.

46.Ортонормированный базис.

Теорема: в ненул конечномерн евкл прос сущ ортонормир базис.

Док:пусть а₁,а₂…а_n нек базис евклид прос .Прин к нему процесс ортогонализ. И получ ортогон сист век b₁,b₂…b_n По пред теореме лин незав .Т.е. мы получ ортогон базисы.

47.Изоморфизм евклид прост.

Теорема:два конечном евклид прос евклидово-изоморфны, т и т т к они совпадают. Каждая n мерное евклид прос изоморфно.

Пр1: x=(х₁,х₂…х_n) y=(y₁,y₂…y_n) f(x,y)=(х₁+х₂+…+х_n)(y₁+y₂+…+y_n)

Может ли эта a служить скал произ в прост Rⁿ

1)f(x,y)=f(y,x) выполняется

2)f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), где z=(z₁,z₂…z_n)

(x₁+y₁)+(x₂+y₂)+…+(x_n+y_n)(z₁+z₂+…+z_n)=(x₁+x₂+…+x_n)(z₁+z₂+…+z_n)+(y₁+y₂+…+y_n) (z₁+z₂+…+z_n)

3)f(αx,y)=αf(x,y)

4)x≠0 f(x,x)>0

a=(1;-1;0;…;0)≠θ

f(a,a)=(-1;1)=0 невып

Пр2: Даны век е₁,е₂,е₃ образ ортог базис евклид прост найти угол φ между векторами а₁=е₁+е₂-е₃

B₁=е₁+е₂+е₃

Если //е₁//=2, //е₂//=1, //е₃//=3 (длины)

cosφ=(a,b)/(//a//*//b//), (a,b)=(е₁+е₂-е₃)(е₁+е₂+е₃)=//е₁//²+//е₂//²-//е₃//²=-4

//a//=sqrt((е₁+е₂-е₃)(е₁+е₂-е₃))=sqrt(//е₁//+//е₂//-//е₃//)=sqrt(14) φ=-4/14=-2/7

Пр3: прим произ ортог по зад базису x₁₌(1;-1;2) x=(-1;0;-1) λ₃=(5;-3;-7) b₁=(1;-2;2)

λ₁=-3/9=-1/3, b₂=x₂-(1/3)*b₁ b₂=(-2/3;2/3;-1/3)

λ₂=(-10/3+6/3+4/3)/(4/9+4/9+1/9)=-1 b₃=()

//b₁//=b₁/ //b₁//, //b₁//=sqrt(9)=3

//b₂//=sqrt(1)=1, //b₃//=sqrt(81)=9, y₁=(1/3;-2/3;2/3) , y₂=( ) , y₃=(2/3;-1/3;2/3)