51. Критерий самосопряженности линейного оператора

Т-ма: Лин опер-р f Евкл пр-ва V является самосопряженным ТИТТК м-ца опер-ра явл симметрической в ортонорм базисе.

Док-во:

Необх-ть – Пусть f – самосопр лин опер-р, А – его м-ца в некот ортонорм базисе. Сопряж опер-р f* имеет м-цу А^Т, т.к. по усл f=f*, то А=А^Т, т.е. м-ца симм-на.

Дост-ть – аналогичяно в обратном порядке.

Т-ма!

Любой лин опер-р f конечномерного евкл пр-ва V можно представить в виде f=g*h, где g – самосопр опер-р пр-ва V, h – ортогон опер-р. Такое представление называется полярным разложением.

Следствие: любую действ квадр м-цу можно представить в виде произв-я ортогон и симметр м-ц.

52.Ортогональное дополнение

Определение. Ортогональным дополнением подпространства W евклидова пространства V называется множество W всех векторов из V, каждый из которых ортогонален любому вектору из W: .

Теорема. 1) Для подпространства W евклидова пространства V множество W является подпространством;

2) Если пространство V конечномерно, то .

Доказательство. 1) пусть x,y W, по определению для z W верно (x,z)=0=(y,z), тогда (x+y,z)=(x,z)+(y,z)=0+0=0 x+y W для подпространство.

2) пусть - ортогональный базис подпространства W. Дополним его векторами до базиса пространства V, причем ортогональными векторами. Нетрудно убедиться, что и (самостоятельно).

Следствие. Если W – подпространство конечномерного евклидова пространства V, то W=dimV-dimW.

Лемма 1. Пусть f - самосопряженный линейный оператор конечномерного евклидова пространства V, W – подпространство V. Если подпространство W инвариантно относительно оператора f, то и подпространство W инвариантно относительно f.

Доказательство. Для .

Т.к. W инвариантно относительно f, то f(y) W. Т.к. xW, то (x,f(y))=0(f(x),y)=0, f(x)W.

Лемма 2. Собственные значения самосопряженного оператора в евклидовом пространстве являются действительными числами.

Теорема. Линейный оператор f конечномерного евклидова пространства V является самосопряженным в пространстве V ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора f. (без доказательства).

Следствие. Самосопряженный линейный оператор конечномерного евклидова пространства диагонализируем.

Лемма 2. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна.

Теорема. Для симметрической действительны матрицы A такая ортогональная действительная матрица Т, что TAT - диаг. матрица.

Пример. 1) линейный оператор f в некотором ортогональном базисе евклидова пространства V имеет матрицу . Найдите матрицу сопряжённого оператора f* в базисе .

Решения.

Выпишем матрицу перехода от базиса к базису

Пусть В – матрица оператора f в базисе ; тогда

.

Т.к. ()=0, , то - ортонормированный базис евклидова пространства V. По свойству матрицей оператора f* в базисе будет матрица B=.

2) найдите базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов M={(1,-1,1,1),(1,1,1,1),(1,0,-1,0)}из R.

Решение.

Обозначим a(1,-1,1,1) a(1,1,1,1),a(1,0,-1,0). Тогда в-р можно записать в виде. Пусть x=() в-рW. Очевидно, что xy. Координаты вектора х удовлетворяют системе ,

гдеR. То W = . Значит, базис пространства W состоит из одного вектора (0,-1,0,1).