- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
60.Критерий Сильвестра
Теорема: Действквад форма явл полож опред все гл миноры ее мат полож.Дейст квад форма явл отриц опред все гл миноры нечет порядка отриц, а все гл миноры четногопорядка полож.
Способ распознования характера опред квад формы, основанный на этой теореме наз критерием Сильвестра.
Пр:
1)Запишите мат и найдите ранг квад формы f(х1,х2,x3)=x12+4x1x2+x22-2x3x1-3x2x3+4x1x3
Решение Приведем подобные в квад форме и з запишем ее в симметрич виде:
f(х1,х2,x3)=x12+4x1x2+x22-2x3x1-3x2x3+4x1x3= x12+2x1x2+x1x3+2x2x1+x22-(3/2)x2x3+x3x1-(3/2)x3x2+0x32
Тогда мат квад формы f
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1
A=2 1 -3/2 0 -3 -7/2 0 3 7 0 3 7
1 -3/2 0 0 -7/2 -1 0 7 2 0 0 -43
Т.к. мат А иметь ранг =3, то ранг квад формы f =3
2)При каких значениях λ квад форма
f(x1,x2)=λx12-4x1x2+(λ+3)x22
явл отриц опред?
Решение Составим мат квад формы f
А=λ -2
-2 λ+3
Мат А имеет два численных минора
∆1=/λ/=λ,
∆2=λ -2 = λ2+3λ-4
-2 λ+3
Согласно критерию Сильвестра, квад форма явл отриц опред если :
∆1<0
∆2>0
или
λ<0
λ2+3λ
Решив систему найдем что λЄ(-∞,-4)