28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах

Определение:Непустое множество векторов W линейного пространства V над полем Р называется подпространством , если: 1.х+у принадлежит W, для всех х,у принадлежащих W;2.αх принадлежит W,для всех х принадлежащих W и α принадлежащих Р. Векторное пространство V cамо является своим подпространством.V и {θ}—тривиальное подпростанство.

Определение: Пусть ,,…,— конечная система подпространств векторного пространства V над полем Р.Суммой этих подпространств называется множество векторов х принадлежащих V, представленных в виде х=++…+, где принадлежат , i=1...к. ++…+=. Персечением подпространства ,,…,, называется множество векторов х подпространств V, которые одновременно принадлежат , i=1...n.

Лема 1:Сумма конечного числа подпространств, векторного пространства V над полем Р сама является подпространством.

Док-во:По определению.

Лема 2:Пересечение любого числа векторных подпространств линейного пространства V само является векторным подпространством.

Замечание:По определению следует, что подпространство само является линейным пространством, относительно тех же операий умножения и сложения над числом что и пространство V.Поэтому можно говорить о базисе и размерности подпространства.

Лема 3:Каждое подпространство W n-мерного векторного пространства V— конечномерно,и размерность W≤n :dimW≤n. Если dimW=n, то W=V.

Док-во:Если W={θ}, то лема очевидна.Пусть W≠{θ}, тогдаможно найти базис подпространства (,,...,), который линейнонезависм и может быть дополнен до базиса системы V, (,,...,,,…,), следовательно dim W=к≤n=dimV. Рассмотрим dimW=n. (,,...,)—некоторый базис данного подпространства и это будет базис пространства V.Возьмём любой вектор х принадлежащий V,тогда: X=++...+, i=1...n, следовательно х принадлежит W, т.е. V≤W,т.е.V=W.

Следствие:Каждый базис подпространства W, конечномерного пространства V моно дополнить до базиса пространства.

Теорема:Пусть U и W конечномерные подпространства линейного пространства V над полем P, тогда dim(U+W)=dimU+dimW-dim(UᴖW).Док-во:Рисунок.

29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств

Т-ма:

Пусть U и W – конечномерные подпр-ва лин пр-ва V. Тогда

dim (U+W) = dim U + dim W – dim (U Π W) – формула Грассмана

Опр-е: сумма подпр-в W₁,W₂,…,W_n лин пр-ва W наз-ся прямой суммой, если кажд подпр-во W_i пересек-ся с суммой ост подпр-в по нулевому подпр-ву. Обозначается W₁©W₂©…©W_k=©^k_i=1 W_i

Т-ма:

Для того, чтобы сумма S подпр-в W₁,W₂,…,W_k была прямой, необх-мо и дост-но, чтобы любой эл-т x€S единств образом представлялся x_i€W_i для x₁+x₂+…+x_k , i=1..k;

Т-ма:

Пусть S – прямая сумма подпр-в W₁,W₂,…,W_k лин пр-ва V над полем Р. Если a₁,a₂,…,a_n1 явл базисом W₁; b₁,b₂,…,b_n2 явл базисом W₂; c₁,c₂,…,c_nk – явл базисом W_k , тогда a₁,a₂,…,a_n1,b₁,b₂,…,b_n2,c₁,c₂,…,c_nk – базис суммы S. При этом, сумма разм-ти подпр-в W_i равна разм-ти прямой суммы S.

Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов

Определение: пусть а₁,а₂,…,а_n – система век-ного лин-го прост-ва V над полем Р. Мн-во всех лин-ых комбинаций вект-ой системы а₁,а₂,…,а_n с коэф-ом из поля Р наз-ся линейной оболочкой системы векторов а₁,а₂,…,а_n и об-ся L(а₁,а₂,…,а_n)

L(а₁,а₂,…,а_n)={₁а₁+₂а₂+…+_nа_n/_iР,i=}

Лемма : лин-ая оболочка L(а₁,а₂,…,а_n) сис-ма векторов а₁,а₂,…,а_n лин-го прос-ва V явл. подпр-во простр-ва V.

Док-во: возьмём 2 любых эл-та 1)x,y L(а₁,а₂,…,а_n)x=₁а₁+₂а₂+…+_nа_n/_iР,i=y=₁а₁+₂а₂+…+_nа_n/_iР,i=,x+y=(₁+₁)а₁+(₂+₂)а₂+…+(_n+_n)а_n/_i+_iР,i= L(а₁,а₂,…,а_n)-1-ое условие выполняется

2) x=(₁а₁+₂а₂+…+_nа_n)=( ₁)a₁+(₂)a₂+…+(_n)a_{n,,, i}Р,i= L(а₁,а₂,…,а_n)

Теорема: 1)если е₁,е₂,…,е_k-базис подпр. и вект-ое прост. V над Р,то U=L(е₁,е₂,…,е_k) 2)если U= L(а₁,а₂,…,а_n) W= L(b₁,b₂,…,b_s)= L(а₁,а₂,…,а_n, b₁,b₂,…,b_s)