- •1. Определение и вывод уравнения эллипса.
- •9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
- •10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
- •12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.
- •13. Цилиндрические поверхности
- •14. Конические поверхности второго порядка.
- •15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.
- •21. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •22. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, их основное свойство (с доказательством).
- •25. Базис и рамерность линейного пространства. Координаты вектора
- •26. Изоморфизм линейных пространств одинаковой размерности
- •27. Связь между базисами линейного пространства, преобразование координат при изменении базиса
- •28.Подпространства линейного пространства. Операции на подпространствах
- •29.Формула Грассмана. Прямая сумма подпространств
- •Вопрос 30: Линейная оболочка системы векторов
- •Вопрос 31:Классификация и примеры лин-ых отображений
- •32. Свойства линейных отображений
- •33. Линейный оператор, его матрица.
- •Вопрос 34:Координаты образа вектора при дейсвии линйного оператора
- •Вопрос 35:Изменение матрицы оператора при замене базиса
- •36.Ядро и образ линейного отображения.
- •37. Ранг и дефект лин оператора
- •38. Действия над лин опер и их связь с действиями над матрицами
- •39. Подобие матриц. Опред лин опер
- •40.Характеристич мног лин опер. Собственные значения и собственные век
- •41.Инвариантные подпространства.
- •42.Диагонализируемость линейного пространства.
- •43.Опред и примеры евклидовых пространств.
- •44.Неравенство Коши-Буняковского
- •45.Процесс ортогонализации Грамм-Шмидта.
- •46.Ортонормированный базис.
- •47.Изоморфизм евклид прост.
- •48.Сопряжонный лин оператор
- •49.Ортогональны лин опер
- •50.Самосопряжонный лин опер.Свойства
- •51. Критерий самосопряженности линейного оператора
- •52.Ортогональное дополнение
- •53. Определение квадратичной формы.Лин преобраз переменных
- •54.Метод Лагранжа приведение квадратичной формы к квадратичному виду.
- •55. Индекс и закон инерций квадратичных форм
- •56.Приведение действительной квадратичной формы к канонич виду с помощью ортогонального преобраз перемененных.
- •57.Нормальный вид действительной квадратичной формы.
- •58.Нормальный вид комплексной квадратичной формы.
- •59.Знакоопределённые квадратичные формы.
- •60.Критерий Сильвестра
9. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах отличны от нуля
Классификация фигур 2-го порядка
Фигурой 2-го порядка на пл-ти назыв-ся мн-во точек коорд. Пл-ти ХУ, корд-ты которой удовлетв-ют ур-ю:
ах2+вху+су2+dy+ey+f=0 (1), где а2+в2+с2≠0
Покажем, что с помощью преобр-я поворотом, в (1) можно избавиться от х*у
a()2+b()()+
+c()2+d()+e()+f=0 (1’)
x’*y’:-2acos +bcos2- bsin2+2csin=0;
(c-a)sin2+bcos2=0;
tg2=, a≠c, угол пов-та сущ-ет, задача решаема всегда, получаем
a'x'2+c'y'2+d'x'+e'y'+f'=0; (2)
a’≠0,c’≠0;
a’(x’2+2x’+()2)-+ c’(y’2+2y’+()2)-+f’=0;
a’(x’+)2+ c’(y’+)2+( : f”
- преобр-е явл-с паралл. переносом (x',y')->XY, т.О(0,0)->O’(- , -); a’X2+c’Y2+f”=0 ; (3)
Рассм-м 2 подслучая:
а) если f”≠0, -> + = 1 ; (4)
Ур-е (4) может опред-ть след. Линии:
-действит. Эллипс (оба знамен-ля положит) =1;
-мнимый эллипс (отриц) +=-1;
-гипербола, когда знам-ли имеют разный знак;
б) f''=0; a’X2+c’Y2 =0;
-если a’,c’ >0,<0, то (0,0) – задает пару мнимых пересек. Прямых с действ. Точкой пересечения.
-если a',c' – разных знаков, то Y=±X; - пара пересек. Действ. Прямых.
10. Упрощение ур-я ф-ры 2-го порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т. Приведение к виду без произв-я коорд-т и случай, когда оба коэфф-та при квадр. Коорд-тах равны нулю
Классификация фигур 2-го порядка
Фигурой 2-го порядка на пл-ти назыв-ся мн-во точек коорд. Пл-ти ХУ, корд-ты которой удовлетв-ют ур-ю:
ах2+вху+су2+dy+ey+f=0 (1), где а2+в2+с2≠0
Покажем, что с помощью преобр-я поворотом, в (1) можно избавиться от х*у
a()2+b()()+
+c()2+d()+e()+f=0 (1’)
x’*y’:-2acos +bcos2- bsin2+2csin=0;
(c-a)sin2+bcos2=0;
tg2=, a≠c, угол пов-та сущ-ет, задача решаема всегда, получаем
a'x'2+c'y'2+d'x'+e'y'+f'=0; (2)
2. Когда a'=0, c'≠0, тогда ур-е (2) принимает вид c'y'2+d'x'+e'y'+f'=0
a) Пусть d’≠0
c’(y’2+2y’+()2) +d’x’+=0; :f’’;
c’(y’+)2+d’(x’+ )=0;
в т.О’ (- ; -) – парал перенос, - парабола
c'Y+d’X=0
б) d'=0
dy’2+e’y’+f’=0
c’(y’2+2y’+()2) +=0; :f’’;
c’(y’+)2+f’’=0;
- парал перенос, в т O'(0,- );
c’Y2+f’’=0 Y2= - ≤0;
-2 парал прямые
-2 мнимые парал прямые
-2 совпад парал прямые
Вывод: при упрощ-и общ ур-я фигуры 2 порядка на пл-ти с помощью преобр-я с-мы коорд-т, могут быть получены:
-
эллипс ( + = 1);
-
мнимый эллипс ( + = -1);
-
гипербола ( -- = 1 );
-
парабола ( y2=2px );
-
пара мнимых пересек прямых с действ точкой пересеч ( + = 0 );
-
пара пересек прямых ( -- = 0);
-
пара парал прямых (y2=a2);
-
пара парал мнимых прямых (y2=- a2);
-
пара совп парал прямых (y2=0)
11. Поверхность вращения.
фигура в пространстве образ вращ кривой около оси назыв поверхностью вращения; поверхностью в пространстве XYZ будем считать множ точек этого пространствакоорд котор удолетвор ур F(X,Y,Z)=0; где F – много чл 3-х переменных, если степень =1 это поверхность если =2 то поверхность 2-ого порядка;Всякая кривую в пространстве можно рассматривать как пересичение 2-ух поверхностей т.к она задаётся сист 2-ух ур;;если это возможно то ур можно решить относит одной переменной – напр Z : (*);рассмотрим способ получ поверхн вращ когда кривая вращ вокруг оси Z; пусть тМ(x,y,z)-производн т поверхности вращения;через тМ проведём плоскость _|_ оси Z, эта плоскость пересик пов вращ по окружн с центром в тО на оси OZ,пусть тN(xyz)-т пересеч получ опр с кривой Фигур т.е тN косн на поверх вращ; тогда имеет место равенство O'M2=XX+YY;O’N2=xx+yy;O’M=O’N(1);т.к тN€Ф то * подставимв(1)
XX+YY=Υ2(Z)+ψ2(Z);