12. Основная теорема о поверхностях 2го порядка.

Опред-е: Поверхностью 2го порядка называется мн-во точек пр-ва, которое в прямоуг с-ме коорд-т удовл следующ ур-ю

a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₂₃yz+2a₁₃xz+2a₁₄x+2a₂₄x+2a₃₄z+a₄₄=0 (1)

Т-ма:

Для любой пов-ти 2го порядка сущ-ет прямоуг с-ма коорд-т, в которой ур-е (1) имеет один из следующих 17 видов канонических ур-ий:

1. + + = 1 – эллипс;

2. + + = -1 – мнимый эллипс;

3. + - = 1 – однополостный гиперболоид;

4. + - = -1 – двуполостный гиперболоид;

5. + - = 0 – конус;

6. + + = 0 – мнимый конус;

7. z = ax²+by² a>b>0 – эллиптический параболоид;

8. z = -ax²+by² a,b>0 – гиперболический параболоид;

9. + = 1 – эллиптический цилиндр;

10. + = -1 – мнимый эллиптический цилиндр;

11. - = 1 – гиперболический цилиндр;

12. y² = 2px – параболический цилиндр;

13. - = 0 – пара пересек пл-тей;

14. + = 0 – пара мнимых пересек пл-тей с действ линией пересеч;

15. y²=a², a≠0 – 2 парал пл-ти;

16. y²+a²=0, a≠0 – две мнимые парал пл-ти;

17. y²=0 – 2 совпад пл-ти.

13. Цилиндрические поверхности

Опр. Цилиндром наз. множество точек пространства образованных движением прямой сохраняющей направление до некоторой кривой.

Прямая образующая цилиндр наз. ее образующей.

Пусть некоторая фигура Ф в пространстве (xyz) задана: F(x;y)=0 (1)

Левая часть ур-ния (1) не содержит z.

Пусть в пл-ти (xyz) задана некоторая кривая γ и пусть некоторая прямая своим движением описывает цилиндр. Пусть т. М₀(x₀,y₀,z₀) – произвольная точка этой поверхности. Возьмем т. отличную от М₀ – М(x₀,y₀,z₀). Если М₀ принадлежит цилиндру, то х₀,у₀ удовл. ур-нию (1) =>М так же принадлежит цилиндру. Получаем, что (1) – ур-ние цилиндра образующая которого параллельна оси оz.

Цилиндром называется линейная поверхность все образующие которой || друг другу.

14. Конические поверхности второго порядка.

Коническими поверхностями 2ого порядка(конусами 2ого порядка) называется множество точек пространства, которые удовлетворяют уравнению

Конической поверхностью(или конусом) наз. такая фигура в пространстве которая образована прямой проходящей через одну и ту же точку О, наз. вершиной и пересекающей неподвижную прямую, наз. направляющей.

Начало системы координат совпадает с вершиной тогда любая точка эллипса (x,y,z)

Составим ур-ние прямой движением которой образован конус. Данная прямая проходит через: т. (x,y,z) и т. О(0,0,0).

Обозначим произвольную т. через (x,y,z). Составим ур-ние прямой в пространстве по двум точкам:

Выразим через z:

Св-ва:

1. Из ур-ния видно что он симметричен относительно всех осей и плоскостей координат.

2. Неограниченая поверхность.

15. Применение универсального метода сечения на примере исследования свойств эллипсоида.

Исследуемая поверхность пересекается координатными плоскостями и пл-тями им параллельными, при этом устанавливается тип линий.

Пл. (xoy):

- эллипс

Пл. (xoz):

- эллипс

Пл. (yoz):

Пл. z=h, h≠0

1. если , то эллипс; , ;

2. если , т.е. ;

3. если , то действительных точек пересечения нет.

Каноническое ур-ние:

16) Построение эллипсоида. Эллипсоид вращения. пусть дано ур эллипса вращ (каконич ур);соверш преобразования: x=X,y=Y,z=bZ/c; (действительн элипсоид);тПересичения с осями координат:OX y=z=0 (±a;0;0) OY x=z=0 (0;±b;0)OZ x=y=0 (0;0;±c);т.к люб перемещ входят в уровн во 2-ой степени то эллипсоид семмитричен относит 3-х коорд осей;xx<=aa,yy<=bb,zz<=cc,т.е люб т эллипсоида нах внутри параллелипипеда; сечения : XOY ; <и ост оси так же>;рассмотрим плоскости II (XOY) : z=k≠0,Всё зависит от K: IKI>C тогда 1-кк/сс<0 и мы получим ур мнимого эл, данная плоск элипсоид не пересекает, IKI=C тогда мы получим в качестве пересичения точки (0;0;±C),IKI<C – уровнение элипса аналогично строятся y=k,x=k;

17) Однополостный гиперболоид. пусть дан однополостн гиперболоид вращения ;соверш преобразования : x=X, y=aY/b,z=bZ/c,a>b>c>0; (канонич ур);св-ва: не проход через (0;0); симметричен относит люб координ осей т.к люб перемещ входят в квадр;располож точек : zz=сc(1+xx/aa+yy/bb), при неогранич возр перем x y то z так же не огранич возврастает => однополо гиперболоид неогранич поверхность;метод сечений XOZ,YOZ-гипербола,XOY (z=h≠0)-эллипс;

18) Двуполостный гиперболоид. рассмотрим 2-полостн гипербол ;соверш преобразования : x=X,y=Y,z=bZ/c; (каконич ур);св-ва: не прохочит через (0;0);симметричен относит координ плоскост; неохранич поверхность;

19) Эллиптический параболоид. возмём парабол вращ xx+yy=2pz;соверш преобразов : x=X,y=sqrt(p/q)*Y,z=Z,p*q>0 => xx/p+yy/q= =2Z(какононич ур);св-ва : проход через (0;0);т.к X,Y в квадратах то симметрично относит XOZ,YOZ; не огранич поверхность;метод сечений : XOY – (0;0;0),XOZ и YOZ – парабола; при z=h≠0

p>0,q>0,h>0 - элипс

p,q,h разн знаков – мнимый эл

p<0,q<0,h<0 – элипс но будет соотв рис -

!!!20) Гиперболический параболоид.

множ т удолетвор усл ,p>0,q>0;св-ва : пов проход через (0;0);т.к в ур входят xx и yy то симметричн относит XOZ и YOZ;располож т поверхности : xx=p(2z+yy/q) если y и z бесконечно возвраст то и х возврастает => бесконечная поверхность; метод сечения : XOY – 2-е пересик прямые пересик в тО; XOZ,YOZ – парабола; z=h≠0; h>0 гипербол, действит ось II OX,h<0…II OY;